2020全国新高考培优高考仿真模拟（三）文科数学（解析版）

这是一份2020全国新高考培优高考仿真模拟（三）文科数学（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020高考仿真模拟(三)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集为实数集R，集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{x|log2x>0}，则(∁RA)∩B＝(　　)
A．(－∞，0]∪(1，＋∞) B．(0,1]
C．[3，＋∞) D．∅
答案　C
解析　因为A＝(0,3)，所以∁RA＝(－∞，0]∪[3，＋∞)．又B＝(1，＋∞)，所以()∩B＝[3，＋∞)．
2．复数z＝的共轭复数是(　　)
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
答案　D
解析　∵z＝＝＝－1＋i，∴＝－1－i，故选D.
3．“搜索指数”是网民通过搜索引擎，以每天搜索关键词的次数为基础所得到的统计指标．“搜索指数”越大，表示网民对该关键词的搜索次数越多，对该关键词相关的信息关注度也越高．下图是2018年9月到2019年2月这半年中，某个关键词的搜索指数变化的走势图．

根据该走势图，下列结论正确的是(　　)
A．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度呈周期性变化
B．这半年中，网民对该关键词相关的信息关注度不断减弱
C．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年10月份的方差小于11月份的方差
D．从网民对该关键词的搜索指数来看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值
答案　D
解析　A错误，并无周期变化；B错误，并不是不断减弱，中间有增强；C错误，10月份的波动大于11月份，所以方差要大；D正确，由图可知，12月份起到1月份有下降的趋势，所以12月份的平均值大于1月份．故选D.
4．阅读下面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为19，则输出N的值为(　　)

A．0 B．1 C．2 D．3
答案　C
解析　阅读流程图可得，程序执行过程如下：
首先初始化数值为N＝19，
第一次循环：N＝N－1＝18，不满足N≤3；
第二次循环：N＝＝6，不满足N≤3；
第三次循环：N＝＝2，满足N≤3；
此时跳出循环体，输出N＝2.故选C.
5．已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝(　　)
A．100 B．99 C．98 D．97
答案　C
解析　设{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式及通项公式，得解得
an＝a1＋(n－1)d＝n－2，∴a100＝100－2＝98.故选C.
6．一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为(　　)

A.＋ B.＋
C.＋ D．1＋
答案　C
解析　由三视图可知四棱锥为正四棱锥，底面正方形的边长为1，四棱锥的高为1，球的直径为正四棱锥底面正方形的外接圆的直径，所以球的直径2R＝，则R＝，所以半球的体积为R3＝，又正四棱锥的体积为×12×1＝，所以该几何体的体积为＋.故选C.
7．已知数列{an }是等差数列，且a1＋a4＋a7＝2π，则tan(a3＋a5 )的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
答案　A
解析　a1＋a4＋a7＝2π，所以3a4＝2π，a4＝，a3＋a5＝2a4＝，tan(a3＋a5)＝tan＝.
8．如图，在圆O中，已知弦AB＝4，弦AC＝6，那么A·B的值为(　　)

A．10 B．2 C. D．－10
答案　A

9．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段．下表为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．

在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则(　　)
A．2号学生进入30秒跳绳决赛
B．5号学生进入30秒跳绳决赛
C．8号学生进入30秒跳绳决赛
D．9号学生进入30秒跳绳决赛
答案　B
解析　取a＝b＝20，即知A，C，D错误；从而选B.事实上，假设5号学生不能进入30秒跳绳决赛，则1号和4号学生也都不能进入30秒跳绳决赛，于是至多只能有5人同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛，与“同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人”矛盾．故选B.
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为(　　)
A. B．2 C．2 D．4
答案　A
解析　由题意，易知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立可得y2－y－4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，y1y2＝－4，则|y1－y2|＝＝4，由弦长公式可得 ×|y1－y2|＝4＝6，∴k2＝2，|y1－y2|＝2.三角形的面积为S＝|OF|×|y1－y2|＝×1×2＝.故选A.
11．中国古代名词“刍童”原来是草堆的意思，关于“刍童”体积计算的描述，《九章算术》注曰：“倍上袤，下袤从之．亦倍下袤，上袤从之．各以其广乘之，并，以高乘之，六而一．”其计算方法是：将上底面的长乘二，与下底面的长相加，再与上底面的宽相乘；将下底面的长乘二，与上底面的长相加，再与下底面的宽相乘；把这两个数值相加，与高相乘，再取其六分之一．已知一个“刍童”的下底面是周长为18的矩形(这个矩形的长不小于宽)，上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，则该“刍童”的体积的最大值为(　　)
A. B. C．39 D.
答案　B
解析　设下底面的长为x，则下底面的宽为＝9－x.由题可知上底面矩形的长为3，宽为2，“刍童”的高为3，所以其体积V＝×3×[(3×2＋x)×2＋(2x＋3)·(9－x)]＝－x2＋＋，故当x＝时，体积取得最大值，最大值为－2＋×＋＝.故选B.
12．已知函数f(x)＝x3－4x，若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝m，其中x1 A．x1>－2 B．x＋x<4
C．x＋x<6 D．x3>2
答案　C
解析　因为f(x)＝x3－4x，所以f′(x)＝3x2－4，令f′(x)>0，得x<－或x>，令f′(x)<0，
得－4，04，x＋x<<6，所以C正确，B不正确．故选C.

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22～23题为选考题，考生根据要求作答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________．
答案　
解析　f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，则函数f(x)是奇函数，因为f′(x)＝ex＋e－x>0，
所以f(x)在定义域R上是增函数，
则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价为f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，
则2x＋1>－x＋2，即x>，
故不等式的解集为.
14．若x，y满足约束条件则z＝4x＋3y的最大值为
________．
答案　8
解析　由约束条件作出可行域如图中阴影部分所示．

又目标函数z＝4x＋3y可化为y＝－x＋，因此，当直线y＝－x＋在y轴上截距最大时， z＝4x＋3y取最大值，由图象可得，令直线y＝－x＋过点A时，截距最大，由x－2y－2＝0，令y＝0，易得A(2,0)，此时zmax＝8.

15. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为________．

答案　
解析　过P点作底面ABCD的垂线PQ，垂足为Q.则“点P到直线CC1的距离”就转化为“两条平行线PQ与直线CC1之间的距离”，进而转化为“点Q到直线CC1的距离，即QC”．当CQ⊥DE时，QC有最小值为，即点P到直线CC1的距离的最小值为.

16．《九章算术》是我国古代一部重要的数学著作，书中有如下问题：“今有良马与驽马发长安，至齐．齐去长安三千里，良马初日行一百九十三里，日增一十三里，驽马初日行九十七里，日减半里．良马先至齐，复还迎驽马，问几何日相逢．”其大意为：“现在有良马和驽马同时从长安出发到齐去，已知长安和齐的距离是3000里，良马第一天行193里，之后每天比前一天多行13里，驽马第一天行97里，之后每天比前一天少行0.5里．良马到齐后，立刻返回去迎驽马，多少天后两马相遇．”试确定离开长安后的第________天，两马相逢．
答案　16
解析　设两匹马n天之后相遇，则两匹马合计行走的路程为6000里．依题意，＋＝6000.经估算可知，15 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分12分)如图，ABCD是边长为2的菱形，∠DAB＝60°，EB⊥平面ABCD，FD⊥平面ABCD，EB＝2FD＝4.

(1)求证：EF⊥AC；
(2)求几何体EFABCD的体积．

解　(1)证明：如图，连接BD，
∵FD⊥平面ABCD，EB⊥平面ABCD，
∴EB∥FD，∴E，F，D，B四点共面，
∵AC⊂平面ABCD，∴AC⊥EB.
设DB∩AC＝O，∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥DB.
∵DB∩EB＝B，∴AC⊥平面EFDB，
∵EF⊂平面EFDB，∴AC⊥EF.
(2)∵EB∥FD，EB⊥BD.∴四边形EFDB为直角梯形，
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝2，BD＝2，AO＝CO＝，
∴梯形EFDB的面积S＝＝6，
∵AC⊥平面EFDB，
∴V几何体EFABCD＝V四棱锥C－EFDB＋V四棱锥A－EFDB
＝S·AO＋S·CO＝4.
18．(本小题满分12分)已知△ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2acosC＝2b－c.
(1)求角A的大小；
(2)若AB＝3，AC边上的中线BD的长为，求△ABC的面积．
解　(1)∵2acosC＝2b－c，
由正弦定理可得sinAcosC＋sinC＝sinB，
∴sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC.
∴sinC＝cosAsinC，∵sinC≠0，∴cosA＝，
∴由A∈(0，π)，可得A＝.
(2)在△ABD中，AB＝3，BD＝，cosA＝，
由余弦定理可得13＝9＋AD2－3AD，解得AD＝4(负值舍去)，
∵BD为AC边上的中线，∴D为AC的中点，∴AC＝2AD＝8，
∴S△ABC＝AB·AC·sinA＝×3×8×＝6.
19．(本小题满分12分)在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中，教委对本区A，B，C，D四所高中学校按各校人数分层抽样，随机抽查了100人，将调查情况进行整理后制成下表：

学校
A
B
C
D
抽查人数
50
15
10
25
“创城”活动中参与的人数
40
10
9
15

注：参与率是指：一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值
假设每名高中学生是否参与“创城”活动是相互独立的．
(1)若该区共2000名高中学生，估计A学校参与“创城”活动的人数；
(2)在随机抽查的100名高中学生中，随机抽取1名学生，求恰好该生没有参与“创城”活动的概率；
(3)在上表中从B，C两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人，求恰好B，C两校各有1人没有参与“创城”活动的概率．
解　(1)A学校高中生的总人数为50÷＝1000，
A学校参与“创城”活动的人数为1000×＝800.
(2)设恰好该生没有参与“创城”活动这一事件为M，
则P(M)＝＝.
(3)B校没有参与“创城”活动的这5人分别记为B1，B2，B3，B4，B5，C校没有参与“创城”活动的这1人记为C1，
任取2人共15种情况，如下：B1B2，B1B3，B1B4，B1B5，B1C1，B2B3，B2B4，B2B5，B2C1，B3B4，B3B5，B3C1，B4B5，B4C1，B5C1，这15种情况发生的可能性是相等的．
设事件N为抽取2人中B，C两校各有1人没有参与“创城”活动，有B1C1，B2C1，B3C1，B4C1，B5C1，共5种情况．
则P(N)＝＝.
故恰好B，C两校各有1人没有参与“创城”活动的概率为.
20．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)经过点A(0,1)，右焦点到直线x＝的距离为.
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)过点A作两条互相垂直的直线l1 ，l2分别交椭圆于M，N两点．求证：直线MN恒过定点P.
解　(1)由题意知，－c＝，b＝1，a2＝b2＋c2，
解得a＝2，b＝1，c＝.
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)证明：显然直线l1，l2的斜率存在．
设直线l1的方程为y＝kx＋1，
联立方程组
得(4k2＋1)x2＋8kx＝0，
解得x1＝－，x2＝0，
所以xM＝－，yM＝.
由l1，l2垂直，可得直线l2的方程为y＝－x＋1.
用－替换前式中的k，可得xN＝，yN＝.
则kMP＝＝＝，
kNP＝＝＝，
所以kMP＝kNP，
故直线MN恒过定点P.
21．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝－ax(a∈R)．
(1)若a＝0，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)若a<－1，求函数f(x)的单调区间；
(3)若1 解　(1)若a＝0，则f(1)＝－1，f′(x)＝，
f′(1)＝2，
所以f(x)在点(1，－1)处的切线方程为2x－y－3＝0.
(2)x∈(0，＋∞)，f′(x)＝.
令g(x)＝2－ax2－ln x，则g′(x)＝.
令g′(x)＝0，得x＝± .
由g′(x)>0，得x> ；
由g′(x)<0，得0 所以，g(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，g(x)min＝g＝－ln .
因为a<－1，所以0<－<，ln <0.
所以g(x)>0，即f′(x)>0.
所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．
(3)证明：由x>0，f(x)<－1，等价于－ax<－1，等价于ax2－x＋1－ln x>0.
设h(x)＝ax2－x＋1－ln x，只须证h(x)>0成立．
因为h′(x)＝2ax－1－＝，1 由h′(x)＝0，得2ax2－x－1＝0有异号两根．
令其正根为x0，则2ax－x0－1＝0.
在(0，x0)上h′(x)<0，在(x0，＋∞)上h′(x)>0.
则h(x)的最小值为h(x0)＝ax－x0＋1－ln x0＝－x0＋1－ln x0＝－ln x0.
又h′(1)＝2a－2>0，h′＝2＝a－3<0，
所以0，－ln x0>0.
因此－ln x0>0，即h(x0)>0.
所以h(x)>0，所以f(x)<－1.
请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．
22．(本小题满分10分)选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l的极坐标方程是ρsin＝0，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程是(α为参数)．
(1)求直线l被曲线C截得的弦长；
(2)从极点作曲线C的弦，求各弦中点轨迹的极坐标方程．
解　(1)直线l的极坐标方程是ρsin＝0，
展开可得ρ＝0，
化为直角坐标方程为y－x＝0.
曲线C的参数方程是(α为参数)，
消去参数α可得，x2＋(y－2)2＝4，
圆心C(0,2)，半径r＝2.
∴圆心C到直线l的距离d＝＝1，
∴直线l被曲线C截得的弦长为
2＝2×＝2.
(2)设Q是圆C上的任意一点，P(x，y)为线段OQ的中点，
则Q(2x,2y)，代入圆C的方程可得，(2x)2＋(2y－2)2＝4，化为x2＋y2－2y＝0，可得ρ2－2ρsinθ＝0，
即ρ＝2sinθ为各弦中点轨迹的极坐标方程．
23．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.
(1)求(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；
(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.
解　(1)因为[(x－1)＋(y＋1)＋(z＋1)]2
＝(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2＋2[(x－1)(y＋1)＋(y＋1)(z＋1)＋(z＋1)(x－1)]≤3[(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2]，
所以由已知得(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2≥，
当且仅当x＝，y＝－，z＝－时等号成立．
所以(x－1)2＋(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值为.
(2)证明：因为[(x－2)＋(y－1)＋(z－a)]2＝(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2＋2[(x－2)(y－1)＋(y－1)·(z－a)＋(z－a)(x－2)]≤3[(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2]，
所以由已知得(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥，
当且仅当x＝，y＝，z＝时等号成立．
所以(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2的最小值为.
由题设知≥，解得a≤－3或a≥－1.