2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学（文）试题（解析版）

2020届陕西省宝鸡市金台区高三教学质量检测数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据交集定义求解.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题考查交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．设i是虚数单位，复数，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先化简复数，再根据共轭复数概念得结果.

【详解】

故选：B

【点睛】

本题考查共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.

3．已知向量，则（    ）

A．1 B．2 C．3 D．

【答案】D

【解析】先求，再根据模的坐标表示得结果.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题考查向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.

4．某英语初学者在拼写单词“”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“”、“”、“”三个字母组成并且“”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为（   ）.

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意列举出满足题意的字母组合，即可求出结果.

【详解】

满足题意的字母组合有四种，分别是，，，，拼写正确的组合只有一种，所以概率为.

故选B.

【点睛】

本题主要考查古典概型，熟记概率计算公式即可，属于常考题型.

5．从A地到B地有三条路线：1号路线，2号路线，3号路线.小王想自驾从A地到B地，因担心堵车，于是向三位司机咨询，司机甲说:“2号路线不堵车，3号路线不堵车，”司机乙说:“1号路线不堵车，2号路线不堵车，”司机丙说:“1号路线堵车，2号路线不堵车.”如果三位司机只有一位说法是完全正确的，那么小王最应该选择的路线是（）

A．1号路线 B．2号路线 C．3号路线 D．2号路线或3号路线

【答案】B

【解析】分别假设甲、乙、丙说得对，分析出有矛盾的说法，由此得出正确结论.

【详解】

①若甲说得对，则2号路线，3号路线都不堵，由于乙是错误的，所以1号路线堵车，这样丙也说得对，这与只有一人说法正确矛盾；

②若乙说得对，则1号路线，2号路线都不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时丙也是错误的，符合条件；

③若丙说得对，则1号路线堵车，2号路线不堵，由于甲是错误的，所以3号路线堵车，此时乙也是错误的，符合条件综上所述，由于②③中都有2号路线不堵，所以小王最应该选择2号路线.

故选B.

【点睛】

本题考查逻辑与推理，考查推理论证能力和创新意识，属于基础题.

6．设则的大小关系是（ ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由在区间是单调减函数可知，，又，故选.

【考点】1.指数函数的性质；2.函数值比较大小.

7．下列命题正确的是（    ）．

A．过平面外一点有无数条直线与这个平面垂直

B．过平面外一点有无数个平面与这个平面平行

C．过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直

D．过平面外一点只有一条直线与这个平面平行

【答案】C

【解析】根据线面位置关系逐一验证

【详解】

过平面外一点有一条直线与这个平面垂直，所以A错误；

过平面外一点有一个平面与这个平面平行，所以B错误；

过平面外一点有无数条条直线与这个平面平行，所以D错误；

过平面外一点有无数个平面与这个平面垂直，所以C正确，

选C.

【点睛】

本题考查线面平行与垂直关系判断，考查基本分析论证判断能力，属中档题

8．已知函数的一个零点是，且在内有且只有两个极值点，则（  ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】根据正弦函数的单调性，逐项判断函数的单调性，求出极值点，即可得出结果.

【详解】

A选项，因为在内为增函数，无极值点；不满足题意；

B选项，由得；

由得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减；

故在内有一个极值点；不满足题意；

C选项，由得；

由得；

所以函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

在内有极大值点，极小值点为，满足题意；

D选项，由得；

由得；

所以函数在上单调递增；在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

所以在内有三个极值点，，，不满足题意.

故选C

【点睛】

本题主要考查三角函数的性质，熟记正弦函数的性质即可，属于常考题型.

9．若抛物线的焦点是双曲线的一个焦点，则（    ）

A．2 B．3 C．4 D．8

【答案】C

【解析】先求抛物线焦点，再根据双曲线焦点列方程，解得结果.

【详解】

因为的焦点是，双曲线的焦点是   

所以

故选：C

【点睛】

本题考查抛物线焦点以及双曲线焦点，考查基本分析求解能力，属基础题.

10．已知曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为（    ）

A．-4 B．-1 C． D．4

【答案】C

【解析】先求导数得切线斜率，再根据切线方程列等量关系，解得结果.

【详解】

.

因为曲线在点处的切线与直线垂直，

所以

故选：C

【点睛】

本题考查导数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.

11．已知 则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据二倍角正余弦公式化简,再根据平方关系求得结果.

【详解】

故选：A

【点睛】

本题考查二倍角正余弦公式以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属基础题.

12．已知、是双曲线的焦点，是双曲线M的一条渐近线，离心率等于 的椭圆E与双曲线M的焦点相同，P是椭圆E与双曲线M的一个公共点，则（  ）

A．8 B．6 C．10 D．12

【答案】D

【解析】利用、是双曲线的焦点, 是双曲线的一条渐近线，离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，求出椭圆的长轴长，再利用椭圆、双曲线的定义，即可得出结论．

【详解】

解：由题意， ∴双曲线∴（0，−3），（0，3），

∵离心率等于的椭圆与双曲线的焦点相同，∴,

∵是椭圆与双曲线的一个公共点，,

故选：D．

【点睛】

本题考查椭圆、双曲线的定义，考查学生的计算能力，确定椭圆的长轴长是关键．

二、填空题

13．如图，及其内部的点组成的集合记为,为中任意一点，则的最大值为________．

【答案】10

【解析】视D为可行域，则根据目标函数所表示直线，结合图形确定最优解，代入求得结果.

【详解】

D为可行域，则表示直线，当此直线过点A时截距最大，即取最大值：，

故答案为：10

【点睛】

本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．从1，2，3，4，5这5个数中任取两个数，其中：

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数．

上述事件中，是对立事件的是________．

【答案】③

【解析】根据对立事件定义逐一判断选择.

【详解】

①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；

②至少有一个是奇数和两个都是奇数不是互斥事件，也不是对立事件；

③至少有一个是奇数和两个都是偶数是互斥事件，也是对立事件；

④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数不是互斥事件，也不是对立事件；

故答案为：③

【点睛】

本题考查对立事件定义，考查基本分析判断能力，属基础题.

15．的内角的对边分别为，若的面积为，，，则________．

【答案】6

【解析】先根据三角形面积公式求得关系，与联立解得，最后根据余弦定理求结果.

【详解】

因为的面积为，所以

故答案为：6

【点睛】

本题考查三角形面积公式以及余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．如下图所示，用一个边长为的正方形硬纸板，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为的鸡蛋(视为球体)放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为________．

【答案】

【解析】先确定蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面到球心距离，再加上此平面到底面距离即可.

【详解】

由题意得蛋巢四个小三角形直角顶点围成一个正方形，对角线长为1，

因为表面积为的球半径为1，所以球心到蛋巢四个小三角形直角顶点所形成平面距离为

又小三角形直角顶点到底面距离为，所以鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为

故答案为：

【点睛】

本题考查球表面积以及球截面，考查基本分析求解能力，属基础题.

三、解答题

17．如图，四棱柱的所有棱长都相等，，，四边形和四边形均为矩形．

（1）证明：底面；

（2）设四棱柱的棱长为，若，求四棱锥的体积．

【答案】（1）证明见解析 （2）

【解析】（1）先根据矩形性质得线线垂直，再根据线面垂直判定定理得结果；

（2）先确定四棱锥的高，再根据锥体体积公式求结果.

【详解】

解：（1）证明：因为四边形ACC1A1为矩形，所以CC1⊥AC.同理DD1⊥BD.

因为CC1∥DD1，所以CC1⊥BD.

而AC∩BD＝O，因此CC1⊥底面ABCD.

由题设知，O1O∥C1C，故O1O⊥底面ABCD.

（2）由（1）知四边形为正方形，其面积为，

点到平面的距离为，

故

【点睛】

本题考查线面垂直判定定理以及锥体体积公式，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.

18．在等差数列中，，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是首项为1，公比为的等比数列，求数列的前项和.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据条件列关于首项与公差的方程，解得结果代入等差数列通项公式得结果；

（2）先根据等比数列通项公式得，解得通项公式，再根据分组求和公式得结果.

【详解】

解：（1）设等差数列的公差为，则，

∴.   

∴，解得

∴数列的通项公式为；

（2）∵数列是首项为1，公比为的等比数列，

∴，即.   ∴.

∴

.

∴.

【点睛】

本题考查等差数列通项公式、等比数列通项公式以及分组求和公式，考查综合分析求解能力，属中档题.

19．某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲、乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195，210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图

图1：乙流水线样本频率分布直方图

表1：甲流水线样本频数分布表

（1）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数和平均数（估算平均数时，同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；

（2）若将频率视为概率，某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出的不合格品约多少件？

【答案】(1)中位数 ，平均数204.5  (2)1500,1000

【解析】（1）根据中位数定义列式求解，再根据组中值求平均数；

（2）先根据古典概型概率分别求甲、乙不合格品概率，再根据概率估计不合格品件数.

【详解】

解：（1）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x，

因为0.48＝(0.012＋0.032＋0.052)×5<0．5<(0．012＋0．032＋0．052＋0．076)×5＝0.86，

则(0.012＋0.032＋0.052)×5＋0.076×(x－205)＝0.5，解得x＝．

平均数估计为：0.012×5×192.5＋0.032×5×197.5＋0.052×5×202.5+0.076×5×207.5＋0.028×5×212.5=204.5

（2）由甲、乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，

则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为 P甲＝＝，

乙流水线生产的产品为不合格品的概率为   P乙＝(0．012＋0．028)×5＝，

于是，若某个月内甲、乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲、乙两条流水线生产的不合格品件数分别约为：5000×＝1500，5000× ＝1000．

【点睛】

本题考查根据频率分布直方图求中位数、平均数及概率，考查基本分析求解能力，属基础题.

20．已知点在椭圆：上，为坐标原点，直线：的斜率与直线的斜率乘积为

（1）求椭圆的方程；

（2）不经过点的直线：（且）与椭圆交于，两点，关于原点的对称点为（与点不重合），直线，与轴分别交于两点，，求证：.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）根据椭圆的中点弦所在直线的斜率的性质，得到，得到，再结合椭圆所过的点的坐标满足椭圆方程，联立方程组，求得，进而求得椭圆的方程；

（Ⅱ）将直线方程与椭圆方程联立，消元，利用韦达定理得到两根和与两根积，将证明结果转化为证明直线，的斜率互为相反数，列式，可证.

【详解】

（Ⅰ）由题意，，

即①    又②

联立①①解得

所以，椭圆的方程为：.

（Ⅱ）设，，，由，

得，

所以，即，

又因为，所以，，

，，

解法一：要证明，可转化为证明直线，的斜率互为相反数，只需证明，即证明.

∴

∴，∴.

解法二：要证明，可转化为证明直线，与轴交点、连线中点的纵坐标为，即垂直平分即可.

直线与的方程分别为：

，，

分别令，得，

而，同解法一，可得

，即垂直平分.

所以，.

【点睛】

该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点有椭圆方程的求解，用到的结论有椭圆中点弦所在直线的斜率的特征，再者就是直线与椭圆相交的综合题，认真审题是正确解题的关键，注意正确的等价转化.

21．已知函数．

（1）判断函数的奇偶性并求当时函数的单调区间；

（2）若关于的方程在范围内有实数解，求实数的取值范围．

【答案】(1) 偶函数．递增区间是，递减区间是．(2)

【解析】（1）先求定义域，再根据偶函数定义进行判断；求导数，再求导函数零点，根据零点确定导函数符合即得函数单调区间；

（2）先分离变量，转化为求对应函数值域，利用导数研究新函数单调性，确定函数值域，即得结果.

【详解】

解：（1）函数的定义域为且，且，

为偶函数．

当时，．

若，则，递减；

若，则，递增．

得的递增区间是，递减区间是．

（2）由，得：．

令．

当，，显然（1）．

当时，，为减函数；当时，，为增函数．

时，（1）．

的值域为．

若方程在范围内有实数解，则实数的取值范围是 ．

【点睛】

本题考查函数奇偶性、利用导数求函数单调性以及利用导数研究函数有解问题，考查综合分析求解能力，属较难题.

22．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为 （为参数），直线与曲线分别交于两点．

（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（2）若点的极坐标为，，求的值．

【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.

【解析】（1）利用代入法消去参数方程中的参数，可得直线的普通方程，极坐标方程两边同乘以利用 即可得曲线的直角坐标方程；（2）直线的参数方程代入圆的直角坐标方程，根据直线参数方程的几何意义，利用韦达定理可得结果.

【详解】

（1）由，得，

所以曲线的直角坐标方程为，

即， 直线的普通方程为.

(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，

得. 因为直线与曲线交于，两点．

所以，解得.

由根与系数的关系，得，.

因为点的直角坐标为，在直线上.所以，

解得，此时满足.且，故.．

【点睛】

参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式，等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．

23．已知函数.

（1）若时，解不等式；

（2）若关于的不等式在上有解，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：

（1）当时，不等式为，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当时，有解，即上有解，故只需（，由此可得结论．

试题解析：

（1）当时，不等式为，

若，则原不等式可化为，所以；

若，则原不等式可化为，所以；

若，则原不等式可化为，所以．

综上不等式的解集为．

（2）当时，由，得

即

故，

又由题意知（，

所以．

故实数m的取值范围为．