2020届青海省玉树州高三联考数学（文）试题（解析版）

2020届青海省玉树州高三联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】求出集合A的范围，根据集合B为整数集，即可求得。

【详解】

解不等式可得集合

因为集合

所以

所以选C

【点睛】

本题考查了一元二次不等式的解法，集合交集的基本运算，属于基础题。

2．若复数满足,则(　　)

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】把已知等式变形，利用复数代数形式的除法运算化简，再由复数模的计算公式求解．

【详解】

解：由，得，

∴．

故选C．

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．

3．如图是一个边长为3的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷1089个点，其中落入白色部分的有484个点，据此可估计黑色部分的面积为（  ）

A．4 B．5 C．8 D．9

【答案】B

【解析】由几何概型中的随机模拟试验可得：，将正方形面积代入运算即可．

【详解】

由题意在正方形区域内随机投掷1089个点，

其中落入白色部分的有484个点，

则其中落入黑色部分的有605个点，

由随机模拟试验可得：，又，

可得，故选B．

【点睛】

本题主要考查几何概型概率公式以及模拟实验的基本应用，属于简单题，求不规则图形的面积的主要方法就是利用 模拟实验，列出未知面积与已知面积之间的方程求解.

4．若双曲线()的焦点到渐近线的距离是，则的值是（   ）

A． B． C．1 D．

【答案】A

【解析】由双曲线的方程求出双曲线的焦点坐标以及渐近线方程，利用点到直线的距离公式列方程求解即可.

【详解】

双曲线的焦点坐标为，

渐近线方程为，

所以焦点到其渐近线的距离，故选A.

【点睛】

本题主要考查双曲线的方程、焦点坐标以及渐近线方程，考查了点到直线距离公式的应用，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于基础题.

5．已知变量，满足则的取值范围是

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【解析】本道题目关键绘制出可行域，同时理解的意义，结合图像，即可得出答案。

【详解】

理解的意义,为点与连线的斜率,A(2,3)所以斜率为负数时满足,当(x,y)与平行的时候，无交点

故，故选A。

【点睛】

本道题目考查了线性规划问题，注意理解题目的意义，即可得出答案。

6．在中，，若，则　　

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据平面向量的线性运算法则，用、表示出即可.

【详解】

即：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查平面向量的加法、减法和数乘运算，属于基础题.

7．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第五天走的路程为（    ）

A．48里 B．24里 C．12里 D．6里

【答案】C

【解析】根据等比数列前项和公式列方程，求得首项的值，进而求得的值.

【详解】

设第一天走，公比，所以，解得，所以.故选C.

【点睛】

本小题主要考查等比数列前项和的基本量计算，考查等比数列的通项公式，考查中国古典数学文化，属于基础题.

8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题目中的三视图还原几何体，可知是由半圆锥和四棱锥组成，然后计算几何体的体积

【详解】

由三视图可得该组合体是由半圆锥和四棱锥组成

由已知图中数量可得：

故选

【点睛】

本题主要考查了三视图，要先还原几何体，然后再计算体积，还原几何体是难点，还需要有一定空间想象能力。

9．已知，且，则下列结论正确的是（  ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】用二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式化简，由此得出正确结论.

【详解】

有，得，，，由于，所以，故选A.

【点睛】

本小题主要考查三角恒等变换，考查二倍角公式、两角差的正弦公式和诱导公式，属于中档题.

10．如图，在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案

【详解】

在棱长为2的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示：

则，，

则截面的面积

故选

【点睛】

本题主要考查的知识点是空间立体几何中截面的形状的判断，面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答本题的关键是画出截面，并分析其几何特征，属于中档题。

11．函数的图象大致为（     ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】先判断函数为偶函数，然后通过构造函数，，可判断是单调递增函数，从而可得到时，，即可判断时，，，从而可确定在上单调递增，即可得到答案。

【详解】

因为，所以为偶函数，选项B错误，，令，则恒成立，所以是单调递增函数，则当时，，

故时，，,

即在上单调递增，故只有选项A正确。

【点睛】

本题考查了函数图象的识别，考查了函数的单调性与奇偶性，属于中档题。

12．设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】有三个零点等价于与的图象有三个交点，利用导数分析函数的单调性与最值，画出函数图象，数形结合可得结果.

【详解】

设，

则，

在上递减，在上递增，

，且时，，

有三个零点等价于与的图象有三个交点，

画出的图象，如图，

由图可得，时，与的图象有三个交点，

此时，函数有三个零点，

实数的取值范围是，故选D.

【点睛】

本题主要考查分段函数的性质、利用导数研究函数的单调性、函数的零点，以及数形结合思想的应用，属于难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．

二、填空题

13．某公司生产、、三种不同型号的轿车，产量之比依次为，为了检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，那么            .

【答案】 

【解析】试题分析：整体分为有明显差异的三部分（即三种不同型号的轿车），采用分层抽样，根据产量的比例，可知三种不同型号的轿车分别抽取即，依题意样本中种型号的轿车比种型号的轿车少8辆，所以.

【考点】1.随机抽样中的分层抽样.

14．在等差数列中，Sn是它的前n项和，,则Sn最小时，n=_________

【答案】15

【解析】设等差数列{an}的公差是d，利用等差数列的前n项和公式化简S10=S20，求出公差d的值，由此根据等差数列的前n项和公式求出Sn，利用二次函数的性质求出Sn的最小值和对应的n的值．

【详解】

设等差数列{an}的公差是d，
由a1=-29，S10=S20得，

解得d=2，则，
∴当n=15时，前n项之和最小.

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及利用二次函数的性质求出Sn的最小值，属于中档题．

15．椭圆：的两个顶点，，过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），若，则椭圆的离心率为_____．

【答案】

【解析】本题首先依题意可得直线：以及直线：．联立椭圆方程可得、，再通过可得，即，最后得出椭圆的离心率。

【详解】

依题意可得，

因为过，分别作的垂线交椭圆于，（不同于顶点），

所以直线：，直线：．

由，

所以.

由，

所以，.

因为，，

由可得，所以，

椭圆的离心率，故答案为：。

【点睛】

本题考查椭圆及双曲线的离心率公式，考查椭圆及双曲线的几何性质，考查计算能力，考查化归与转化思想，属于中档题。

16．函数的值域为_________．

【答案】

【解析】利用换元法，得到，利用导数求得函数的单调性和最值，即可得到函数的值域，得到答案．

【详解】

由题意，可得，

令，，即，

则，

当时，，当时，，

即在为增函数，在为减函数，

又，，，

故函数的值域为：．

【点睛】

本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数，再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题．

三、解答题

17．如图，在四边形ABCD中，.

(1)求的大小；

(2)若，求AD的长．

【答案】（1）；（2）

【解析】(1)本题首先可以在中通过解三角形面积公式计算出的长度，然后通过的长度等于的长度即可得出结果；

(2)首先可以根据以及(1)中的结论得出的度数，然后通过余弦定理计算出的长度，最后在中通过正弦定理即可得出结果。

【详解】

（1）在中，

所以，，，

又因为，所以；

（2）因为，所以，

由余弦定理得

，

所以，

在中由正弦定理得，，

所以。

【点睛】

本题考查了解三角形的相关性质，主要考查解三角形正弦定理、解三角形余弦定理、解三角形面积公式的使用，考查数形结合思想，考查计算能力与推理能力，是中档题。

18．为了研究高二阶段男生、女生对数学学科学习的差异性，在高二年级所有学生中随机抽取25名男生和25名女生，计算他们高二上学期期中、期末和下学期期中、期末的四次数学考试成绩的各自的平均分，并绘制成如图所示的茎叶图．

（1）请根据茎叶图判断，男生组与女生组哪组学生的数学成绩较好？请用数据证明你的判断；

（2）以样本中50名同学数学成绩的平均分x0(79.68分)为分界点，将各类人数填入如下的列联表：

（3）请根据（2）中的列联表，判断能否有99%的把握认为数学学科学习能力与性别有关？

附：K2=

【答案】（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好．证明略（2）见解析；（3）没有99%的把握认为男生和女生对数学学习具有明显的差异．

【解析】（1）根据男生成绩分布在的较多，其他分布关于茎具有初步对称性；女生成绩分布在的较多，其它分布茎70具有初步对称性，因此可判定男生成绩比女生成绩较好；

（2）计算样本50个数据的平均值为，依次为分界点，将各类人数填入列联表即可；

（3）根据公式，计算出的值，结合临界值表，即可得到结论．

【详解】

解：（1）男生组数学成绩比女生组数学成绩好．

理由如下：

①由茎叶图可知：男生成绩分布在的较多，其它分布关于茎80具有初步对称性；女生成绩分布在的较多，其它分布关于茎70具有初步对称性．

因此男生成绩比女生成绩较好．

②由茎叶图可知：男生组25人中，有17人（占68%）超过80分，女生组25人中，只有8人（占32%）超过80分，因此男生组成绩比女生组成绩好．

③由茎叶图可知：男生组成绩的中位数是85分，女生组成绩的中位数是75分，85＞75，由此初步判定男生组成绩比女生组成绩好．

④用茎叶图数据估计：男生组成绩的平均分是83．4，女生组成绩的平均分是75.96分，因此男生组成绩比女生组成绩高．或者，由茎叶图直观发现，男生平均成绩必然高于80分，女生平均成绩必然低于80分，可以判断男生成绩高于女生成绩．

（2）计算样本50个数据的平均值为，以此为分界点，将各类人数填入列联表如下：

（3）计算得，

所以没有99%的把握认为男生和女生对数学学习具有明显的差异．（或者回答为：没有充足的证据表明男生和女生对数学学习具有明显的差异．）

【点睛】

本题主要考查了独立性检验的应用，其中解答中认真审题，根据独立性检验的公式，准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

19．如图，菱形ABCD和直角梯形CDEF所在平面互相垂直，.

(1)求证：；

(2)求四棱锥的体积．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】(1)本题首先可以通过菱形和直角梯形所在平面互相垂直来证明出平面，然后通过平面证明出，再通过菱形的性质证明出，最后通过线面垂直的相关性质即可证明出平面以及；

(2)本题首先可以过点向做垂线，垂线就是四棱锥的高，再通过四棱锥的体积公式即可得出结果。

【详解】

（1）因为，，所以，

又因为平面平面，且平面平面，

所以平面，

因为平面，所以，

因为四边形是菱形，所以，

又因为平面、平面、，所以平面，

又因为平面，所以；

（2）

如图所示，过点向做垂线，垂足为，即，

因为平面平面，且平面平面，平面，

在直角三角形中有、，所以，

所以四棱锥的体积。

【点睛】

本题主要考查了线线垂直的证明以及四棱锥体积的求法，线线垂直可以通过线面垂直来证明，四棱锥的体积公式为，考查数形结合思想，考查空间想象能力，锻炼了学生的几何思维，是中档题。

20．设抛物线，点，过点的直线与交于两点．

（1）当点为中点时，求直线的方程；

（2）设点关于轴的对称点为，证明：直线过定点．

【答案】(1) ；(2)见证明

【解析】（1）由已知设的坐标，利用中点坐标公式得到的坐标，把两坐标代入抛物线方程，联立求得坐标，进一步求得直线的斜率，则直线方程可求；（2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，再设的坐标，利用根与系数的关系及斜率公式可得的斜率，代入直线方程，化简整理即可得到直线过定点．

【详解】

（1）设，则，

由在抛物线上，得，

解得，故的斜率为．

∴直线的方程为；

证明：（2）由题意知，的斜率存在且不为0，设．

代入，得．

由，得．

设，则，

．

∴，故直线的方程为．

整理得：．

∴直线过定点（2，0）．

【点睛】

本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查整体运算思想方法，是中档题．

21．已知函数（，为常数）.

（1）当时，若方程有实根，求的最小值；

（2）设，若在区间上是单调函数，求的取值范围.

【答案】(1) 最小值为0. (2)

【解析】（1）当时，利用导数求得的最小值为，所以，故的最小值为.

（2）首先求得的解析式，利用二次求导的方法，结合在区间上是单调函数，将分成和两种情况进行分类讨论，由此求得的取值范围.

【详解】

（1）当时，，

.

当时，，为减函数；

当时，，为增函数.

∴.

由，得，

又，∴.即的最小值为0.

（2）∵，∴.

设，则，

可知在上为减函数.

从而.

①当，即时，，在区间上为增函数，

∵，∴在区间上恒成立，即在区间上恒成立.

∴在区间上是减函数，故满足题意；

②当，即时，设函数的唯一零点为，

则在上单调递增，在上单调递减.

又∵，∴，∴在上单调递增，

∵，∴在上递减，

这与在区间上是单调函数矛盾.

∴不合题意.

综合①②得：.

【点睛】

本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.

22．在平面直角坐标系中，曲线，曲线的参数方程为

（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求曲线，的极坐标方程；

（2）在极坐标系中，射线与曲线，分别交于，两点（异于极点），定点，求的面积

【答案】（1），；（2）

【解析】试题分析：（1）第（1）问，先把参数方程化成普通方程，再利用极坐标的公式把普通方程化成极坐标方程. (2) 先利用极坐标求出弦长|AB|,再求高，最后求的面积．

试题解析：

（1）曲线的极坐标方程为： ，

因为曲线的普通方程为： ，        

曲线的极坐标方程为．

（2） 由（1）得：点的极坐标为， 点的极坐标为

点到射线的距离为

的面积为 .

23．已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）对于任意的实数，存在实数，使得不等式成立，求实数的取值范围。

【答案】（1）； （2）.

【解析】（1）去掉绝对值符号，得到分段函数，然后求解不等式的解集．

（2）不等式　，根据已知条件，结合绝对值不等式的几何意义，转化求解即可．

【详解】

因为，所以．

（1）当时，

所以由，可得或 或 ，

解得或，

故原不等式的解集为．

（2）因为，

令，则由题设可得 ，

由，得．

因为，所以．

故，从而，即，

又已知，故实数的取值范围是．

【点睛】

本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值不等式的几何意义的应用；绝对值不等式问题中的求参数范围问题，一般思路是：借助绝对值的几何意义、零点分段法等，先求出相关函数的最值或值域，再根据题目要求求解.