2020届重庆市第一中学高三上学期期末考试 数学（文）

秘密★启用前  【考试时间：1 月 19 日】

2020年重庆一中高2020级高三上期期末考试

数 学（文科）试 题 卷 2020.1

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题，共分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则（  ）

A．            B．            C．         D．

2．复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于（  ）

A．第一象限      B． 第二象限        C．第三象限        D．第四象限

3.（原创）设,则的大小顺序是（  ）

A．    B．    C．    D．

4.（原创）设为实数，直线，，则“”是“”的（  ）

A．充分不必要条件     B．必要不充分条件

C．充要条件             D．既不充分也不必要条件

5. 执行如右图所示的程序框图，输出的结果是（  ）

A．       B．      C．     D．

6. 一个几何体的三视图如右图所示（单位：m），则该几何体的体积为（  ）

A．    B．   C．   D．

7. 正三角形中,是线段上的点,,,则=（  ）

A．3        B． 6       C． 9       D．12

8.（原创）已知函数的部分图象如右图所示，则函数在上的值域为（  ）

A．       B．        C．          D．

9.（原创）在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为,其焦点到渐近线的距离为，过点的直线与双曲线交于两点. 若是的中点,则直线的斜率为（  ）

A．2              B． 4            C． 6            D．8

10. 元旦晚会一次猜奖游戏中，四个盒子里摆放了四件奖品（每个盒里仅放一件）. 甲同学说：号盒里是，号盒里是；乙同学说：号盒里是，号盒里是；丙同学说：号盒里是，号盒里是；丁同学说：号盒里是，号盒里是.如果他们每人都猜对了一半，那么号盒里是（   ）

A．            B．            C．              D．

11.（原创）在锐角三角形中，内角的对边分别为.若，且，则的取值范围为（   ）

A．     B．      C．    D．

12． 定义在上且周期为4的函数满足：当时， ，若在区间上函数恰有三个不同的零点，则实数的取值范围是（   ）

A．            B．

C．            D．

第Ⅱ卷（非选择题，共分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 在等比数列中，已知，，则=         ．

14. （原创）已知是定义在上的奇函数，若时，，则曲线在点处的切线斜率为______．

15. 设不等式组所表示的平面区域为,函数的图象与轴所围成的区域为,向内随机投一个点,则该点不落在内的概率为______．

16. 已知一个圆锥的底面直径为，其母线与底面的夹角的余弦值为. 圆锥内有一个内接正方体，该内接正方体的顶点都在圆锥的底面或侧面上，则这个正方体的外接球表面积为_________．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23为选考题。考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17. 已知数列{}中,.

（1）求证：数列{}是等比数列;

（2）求数列{}的前项和.

18．对某居民最近连续几年的月用水量进行统计，得到该居民月用水量 (单位：吨)的频率分布直方图，如图一．

（1）求的值，并根据频率分布直方图估计该居民月平均用水量；

（2）已知该居民月用水量与月平均气温(单位：)的关系可用回归直线模拟．2019年当地月平均气温统计图如图二，把2019年该居民月用水量高于和低于的月份作为两层，用分层抽样的方法选取个月，再从这个月中随机抽取个月，求这个月中该居民恰有个月用水量超过的概率．

19. 已知四棱锥中，底面是边长为的菱形，，,.点是棱的中点，点在棱上，且， ∥平面．

（1）求实数的值；

（2）求四棱锥的体积．

20. 已知椭圆过圆的圆心，且右焦点与抛物线的焦点重合.

（1）求椭圆的方程;

（2）过点作直线交椭圆于,两点,若,求直线的方程.

21. 已知函数是的导函数.

（1）讨论函数的极值点个数；

（2）若，，若存在，使得，试比较与的大小.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22. [选修4－4：坐标系与参数方程]

（原创）在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为 (为参数),以为极点, 轴的非负半轴为极轴,曲线的极坐标方程为: .

（1）求曲线的普通方程和曲线的参数方程;

（2）若点在曲线上运动，求点到曲线距离的最小值及对应的点的坐标.

23. [选修4－5：不等式选讲]

（原创）已知函数．

（1）当时，证明：；

（2）若的值域为，且，解不等式.

2020年重庆一中高2020级高三上期末考试

数 学（文科）试 题 卷 2020.1

一、选择题：

CDBCB  ABDCA  CB

二、填空题：

13.        14.       15.        16.

三、解答题：

17.（1）证明:因为

所以…………4分

又因为则，……………………………………5分

所以数列{}是首项为2,公比为2的等比数列.   …………………………6分

（2）由(Ⅰ)知所以……………………………7分

 所以  

  ……………………………9分

 ………………………………………………………11分

…………………………………………………………12分

18.（1）由图一可知, ……3分

该居民月平均用水量约为……6分

（2）由回归直线方程知, 对应的月平均气温刚好为

,………………………………………………7分

再根据图二可得,该居民2019年月和月的用水量刚好为,且该居民2019年有个月每月用水量超过,有个月每月用水量低于,…………………………………8分

因此,用分层抽样的方法得到的样本中,有个月(记为)每月用水量超过,有个月(记为)每月用水量低于,从中抽取个,有,共种结果, ……………10分

其中恰有一个月用水量超过的有共种结果, ………11分

设“这个月中恰有个月用水量超过”为事件,则…………12分

19.（1）连接，设，则平面平面，…………1分

//平面， // ，…………………2分

∽， ，………4分

，…………………5分

．……………………………………………6分

（2），

又 ，

， ， 平面，……………………9分

所以=

…………12分

20.解：(1)因为抛物线的焦点为,所以,…………………………1分

因为在椭圆上,  所以,由,得,,所以椭圆的方程为………………………………………………………5分
(2)由得: ,即,可得,……………………………………6分

①当垂直轴时, ,此时满足题意,所以此时直线的方程为;…………………………………………………7分

②当不垂直轴时,设,,直线的方程为,

由消去得,

所以,,…………………………………………8分

代入可得: ,

代入,,得,

代入化简得: ,……………………………………10分

解得,

经检验满足题意,则直线的方程为………………………………11分

综上所述直线的方程为或………………………………12分

21.解：(1)，……………………………………………1分

当时，，在上单调递增，无极值点；……………2分

当时，，故在上单调递增，在上单减，故有1个极小值点，无极大值点. ……………………………………………………4分

综上：当时，有0个极值点；当时，有1个极值点. ………5分

（2），，

，

故

==，…………………………7分

令，，……………………………………8分

则，所以在上单调递增，则，

………………………9分

，……………10分

，又在上单调递增，………………11分

，即……………………………………………12分

22.解：（1）;………………………………………………………2分

……………………………………5分

（2）设点，则

点到曲线的距离

=（其中）

=，…………………………………………………………………7分

当时，，此时即,所以，，故……………………………………………………………………………10分

23.（1）证明：…………………4分

当且仅当时，取等号………………………………………………………………5分

（2），，……………………………6分

又，…………………………7分

由题意可得………………9分

故原不等式的解集为…………………………………………………10分