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试卷 2020年全国中考数学压轴题——函数篇（原卷版）
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这是一份试卷 2020年全国中考数学压轴题——函数篇（原卷版），共76页。试卷主要包含了与x轴交于点A，B，两点，交y轴于点C，分别相交于点P，Q，，作直线BC等内容，欢迎下载使用。
2020年全国中考数学压轴题——函数篇
1．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC=152，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
2．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
3．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y=34x+94与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG=59S△OEG时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2020•朝阳）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；
（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．
5．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的14时，请直接写出线段AM的长．
6．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y=-12x+2经过B，C两点．
（1）直接写出二次函数的解析式 ；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）函数F1为y=3x，当PQ＝6时，t的值为 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t=bb时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
8．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．
9．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+94x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，72），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
10．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，PQAP是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
11．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1=23S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝23时，请直接写出点G的坐标为 ．
12．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）
13．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及ACBC的值；
（2）随着a的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
14．（2020•眉山）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2020•河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：
y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．
16．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
17．（2020•绵阳）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（3，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为433，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
18．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．
19．（2020•海南）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
20．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y=-12x+m与抛物线交于B，D两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求m的值和D点坐标．
（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．
（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（-45，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．
21．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．
【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】
（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；
（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
…
（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．
22．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
23．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q（1，-32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
24．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
25．（2020•毕节市）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．
26．（2020•鄂尔多斯）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
27．（2020•鸡西）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．
28．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x=32，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
29．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2-433，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．
30．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．
31．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求S1S2的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2020•鄂州）如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y=12x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=-12x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
36．（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2020•湘西州）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM=12S△ACE时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+12，当2AM+2DM的最小值为2724时，求b的值．
38．（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+32．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标：
（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．
39．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
40．（2020•恩施州）如图1，抛物线y=-14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=-14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=2（如图2）．
①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．
41．（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点H（0，458），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2020•十堰）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
43．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝ ，n＝ ；
（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．
②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．
44．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（ ）；
②y=mx（m≠0）（ ）；
③y＝3x﹣1（ ）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
45．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2-154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
46．（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=-12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
47．（2020•山西）综合与探究
如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
48．（2020•广东）如图，抛物线y=3+36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC=3CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线BD的函数解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
49．（2020•荆门）如图，抛物线L：y=12x2-54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y=12x2-54x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．
50．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+83（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的34，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
51．（2020•西宁）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
52．（2020•广西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．
（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
53．（2020•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；
（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．
54．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
55．（2020•贵港）如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠PAC＝45°时，求m的值．
56．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线y=23x-a与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
57．（2020•陕西）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
58．（2020•兰州）如图，二次函数y=14x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
（1）求二次函数y=14x2+bx+c的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
59．（2020•济南）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
60．（2020•日照）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
61．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
62．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y=-12x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当tan∠EMF=43时，请直接写出t的值；
（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的12，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
63．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
64．（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x-25）2+6415与x轴交于点A（-65，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线F1的表达式；
（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
65．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
66．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
67．（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-23x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（52，34）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜52）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
68．（2020•深圳）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y=92作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME﹣MF=14？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．
69．（2020•天水）如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
70．（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣23x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
71．（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
72．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
73．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC=35S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
74．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线L）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．
（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜-52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．
（3）若AB2=c2-2c+6c，点P的坐标为（-x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的L的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线L交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．
75．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
76．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
77．（2020•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为452，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
78．（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：
A ，B ，C ，D ；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．
①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
79．（2020•绥化）如图1，抛物线y=-12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．
（1）求抛物线y1的解析式与k的值；
（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
80．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
81．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
82．（2020•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．
（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
83．（2020•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
84．（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B （3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
85．（2020•武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=-4kx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．
86．（2020•襄阳）如图，直线y=-12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
87．（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
88．（2020•金昌）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
89．（2020•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
90．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．
（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
91．（2020•齐齐哈尔）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 ，点M的坐标为 ，cos∠ABO＝ ；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 ；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
92．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝22．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是22？
93．（2020•泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m=12时，求点P的坐标；
②求m的最大值．
94．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于12AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为 ，其理由为： ．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标
…
（﹣2，0）
（0，0）
（2，0）
（4，0）
…
P的坐标
…
（0，﹣1）
（2，﹣2）
…
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是 ．
验证：
（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点B（﹣1，3），C（1，3），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．
95．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
96．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
97．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
98．（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
99．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
100．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，-12），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
101．（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
102．（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
103．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求35PC+PB的最小值．
104．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
105．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．
106．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y=-23x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
107．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
108．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
109．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
110．（2020•南充）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．
111．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
112．（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
113．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值．
②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．
114．（2020•黔东南州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
115．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
116．（2020•嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．
①求OD的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．
117．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
118．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-12（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
119．（2020•新疆）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．
①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使S△A′MN=56S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．
120．（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．
121．（2020•黔西南州）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
122．（2020•哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y=34x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG=2AF，求点P的坐标．
123．（2020•广西）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；
（2）s关于t的函数解析式为s=14t2+bt-54，t＜-1或t＞5a(t+1)(t-5)，-1＜t＜5，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
124．（2020•宜昌）已知函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得|m|﹣（b﹣1）1-b=0成立，求函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1图象间的距离；
（3）当m＞1时，函数y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，将函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移562m+1个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上．设y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
2020年全国中考数学压轴题——函数篇
1．（2020•西藏）在平面直角坐标系中，二次函数y=12x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣2，0），B（4，0）两点，交y轴于点C，点P是第四象限内抛物线上的一个动点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）如图甲，连接AC，PA，PC，若S△PAC=152，求点P的坐标；
（3）如图乙，过A，B，P三点作⊙M，过点P作PE⊥x轴，垂足为D，交⊙M于点E．点P在运动过程中线段DE的长是否变化，若有变化，求出DE的取值范围；若不变，求DE的长．
2．（2020•德阳）如图1，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）与x轴交于点A，B．与y轴交于点C．连接AC，BC．已知△ABC的面积为2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）平行于x轴的直线与抛物线从左到右依次交于P，Q两点．过P，Q向x轴作垂线，垂足分别为G，H．若四边形PGHQ为正方形，求正方形的边长；
（3）如图2，平行于y轴的直线交抛物线于点M，交x轴于点N（2，0）．点D是抛物线上A，M之间的一动点，且点D不与A，M重合，连接DB交MN于点E．连接AD并延长交MN于点F．在点D运动过程中，3NE+NF是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
3．（2020•锦州）在平面直角坐标系中，抛物线y=-13x2+bx+c交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图，直线y=34x+94与抛物线交于A，D两点，与直线BC交于点E．若M（m，0）是线段AB上的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线BC于点H．
①当点F在直线AD上方的抛物线上，且S△EFG=59S△OEG时，求m的值；
②在平面内是否存在点P，使四边形EFHP为正方形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2020•朝阳）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，点C坐标为（0，4）．
（1）求抛物线表达式；
（2）在抛物线上是否存在点P，使∠ABP＝∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；
（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到△GHQ，直接写出△GHQ周长的最小值．
5．（2020•鞍山）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）经过点A（﹣2，﹣4）和点C（2，0），与y轴交于点D，与x轴的另一交点为点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接BD，在抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝2∠BDO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接AC，交y轴于点E，点M是线段AD上的动点（不与点A，点D重合），将△CME沿ME所在直线翻折，得到△FME，当△FME与△AME重叠部分的面积是△AMC面积的14时，请直接写出线段AM的长．
6．（2020•赤峰）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A（1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线y=-12x+2经过B，C两点．
（1）直接写出二次函数的解析式 ；
（2）平移直线BC，当直线BC与抛物线有唯一公共点Q时，求此时点Q的坐标；
（3）过（2）中的点Q作QE∥y轴，交x轴于点E．若点M是抛物线上一个动点，点N是x轴上一个动点，是否存在以E，M，N三点为顶点的直角三角形（其中M为直角顶点）与△BOC相似？如果存在，请直接写出满足条件的点M的个数和其中一个符合条件的点M的坐标；如果不存在，请说明理由．
7．（2020•大连）在平面直角坐标系xOy中，函数F1和F2的图象关于y轴对称，它们与直线x＝t（t＞0）分别相交于点P，Q．
（1）如图，函数F1为y＝x+1，当t＝2时，PQ的长为 ；
（2）函数F1为y=3x，当PQ＝6时，t的值为 ；
（3）函数F1为y＝ax2+bx+c（a≠0），
①当t=bb时，求△OPQ的面积；
②若c＞0，函数F1和F2的图象与x轴正半轴分别交于点A（5，0），B（1，0），当c≤x≤c+1时，设函数F1的最大值和函数F2的最小值的差为h，求h关于c的函数解析式，并直接写出自变量c的取值范围．
8．（2020•桂林）如图，已知抛物线y＝a（x+6）（x﹣2）过点C（0，2），交x轴于点A和点B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为D，对称轴DE交x轴于点E，连接EC．
（1）直接写出a的值，点A的坐标和抛物线对称轴的表达式；
（2）若点M是抛物线对称轴DE上的点，当△MCE是等腰三角形时，求点M的坐标；
（3）点P是抛物线上的动点，连接PC，PE，将△PCE沿CE所在的直线对折，点P落在坐标平面内的点P′处．求当点P′恰好落在直线AD上时点P的横坐标．
9．（2020•葫芦岛）如图，抛物线y＝ax2+94x+c（a≠0）与x轴相交于点A（﹣1，0）和点B，与y轴相交于点C（0，3），作直线BC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上方的抛物线上存在点D，使∠DCB＝2∠ABC，求点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，点F的坐标为（0，72），点M在抛物线上，点N在直线BC上．当以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点N的坐标．
10．（2020•呼伦贝尔）如图，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上的动点（与点B，C不重合），连接AP并延长AP交抛物线于点Q，连接CQ，BQ，设点Q的横坐标为m．
（1）求抛物线的解析式和点C的坐标；
（2）当△BCQ的面积等于2时，求m的值；
（3）在点P运动过程中，PQAP是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
11．（2020•沈阳）如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线y=12x2+bx+c经过点B（6，0）和点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图2，线段OC绕原点O逆时针旋转30°得到线段OD．过点B作射线BD，点M是射线BD上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接NM，NB．
①直接写出△MBN的形状为 ；
②设△MBN的面积为S1，△ODB的面积为是S2．当S1=23S2时，求点M的坐标；
（3）如图3，在（2）的结论下，过点B作BE⊥BN，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜120°）得到线段BF，过点F作FK∥x轴，交射线BE于点K，∠KBF的角平分线和∠KFB的角平分线相交于点G，当BG＝23时，请直接写出点G的坐标为 ．
12．（2020•大庆）如图，抛物线y＝ax2+bx+12与x轴交于A，B两点（B在A的右侧），且经过点C（﹣1，7）和点D（5，7）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接AD，经过点B的直线l与线段AD交于点E，与抛物线交于另一点F．连接CA，CE，CD，△CED的面积与△CAD的面积之比为1：7，点P为直线l上方抛物线上的一个动点，设点P的横坐标为t．当t为何值时，△PFB的面积最大？并求出最大值；
（3）在抛物线y＝ax2+bx+12上，当m≤x≤n时，y的取值范围是12≤y≤16，求m﹣n的取值范围．（直接写出结果即可）
13．（2020•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及ACBC的值；
（2）随着a的变化，ACBC的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
14．（2020•眉山）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点B坐标为（3，0），点C坐标为（0，3）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P为直线BC上方抛物线上的一个动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标；
（3）如图2，点M为该抛物线的顶点，直线MD⊥x轴于点D，在直线MD上是否存在点N，使点N到直线MC的距离等于点N到点A的距离？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2020•河池）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于（p，0），（q，0），则该抛物线的解析式可以表示为：
y＝a（x﹣p）（x﹣q）＝ax2﹣a（p+q）x+apq．
（1）若a＝1，抛物线与x轴交于（1，0），（5，0），直接写出该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若a＝﹣1，如图（1），A（﹣1，0），B（3，0），点M（m，0）在线段AB上，抛物线C1与x轴交于A，M，顶点为C；抛物线C2与x轴交于B，M，顶点为D．当A，C，D三点在同一条直线上时，求m的值；
（3）已知抛物线C3与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），线段EF的端点E（0，3），F（4，3）．若抛物线C3与线段EF有公共点，结合图象，在图（2）中探究a的取值范围．
16．（2020•雅安）已知二次函数y＝ax2+2x+c（a≠0）的图象与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），
（1）求二次函数的表达式及A点坐标；
（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；
（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．
17．（2020•绵阳）如图，抛物线过点A（0，1）和C，顶点为D，直线AC与抛物线的对称轴BD的交点为B（3，0），平行于y轴的直线EF与抛物线交于点E，与直线AC交于点F，点F的横坐标为433，四边形BDEF为平行四边形．
（1）求点F的坐标及抛物线的解析式；
（2）若点P为抛物线上的动点，且在直线AC上方，当△PAB面积最大时，求点P的坐标及△PAB面积的最大值；
（3）在抛物线的对称轴上取一点Q，同时在抛物线上取一点R，使以AC为一边且以A，C，Q，R为顶点的四边形为平行四边形，求点Q和点R的坐标．
18．（2020•长春）在平面直角坐标系中，函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与y轴交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）当此函数图象经过点（1，2）时，求此函数的表达式，并写出函数值y随x的增大而增大时x的取值范围．
（3）当x≤0时，若函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象的最低点到直线y＝2a的距离为2，求a的值．
（4）设a＜0，Rt△EFG三个顶点的坐标分别为E（﹣1，﹣1）、F（﹣1，a﹣1）、G（0，a﹣1）．当函数y＝x2﹣2ax﹣1（a为常数）的图象与△EFG的直角边有交点时，交点记为点P．过点P作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为P′（P′与P不重合），过点A作y轴的垂线，与此函数图象的另一个交点为A′．若AA′＝2PP′，直接写出a的值．
19．（2020•海南）抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0）和点B（2，0），与y轴交于点C．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是该抛物线上的动点，且位于y轴的左侧．
①如图1，过点P作PD⊥x轴于点D，作PE⊥y轴于点E，当PD＝2PE时，求PE的长；
②如图2，该抛物线上是否存在点P，使得∠ACP＝∠OCB？若存在，请求出所有点P的坐标：若不存在，请说明理由．
20．（2020•丹东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+c与x轴交于A，B两点，A点坐标为（﹣2，0），与y轴交于点C（0，4），直线y=-12x+m与抛物线交于B，D两点．
（1）求抛物线的函数表达式．
（2）求m的值和D点坐标．
（3）点P是直线BD上方抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交直线BD于点F，过点D作x轴的平行线，交PH于点N，当N是线段PF的三等分点时，求P点坐标．
（4）如图2，Q是x轴上一点，其坐标为（-45，0）．动点M从A出发，沿x轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M的运动时间为t（t＞0），连接AD，过M作MG⊥AD于点G，以MG所在直线为对称轴，线段AQ经轴对称变换后的图形为A′Q′，点M在运动过程中，线段A′Q′的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A′Q′与抛物线有公共点时t的取值范围．
21．（2020•益阳）如图，在平面直角坐标系中，点F的坐标是（4，2），点P为一个动点，过点P作x轴的垂线PH，垂足为H，点P在运动过程中始终满足PF＝PH．
【提示：平面直角坐标系内点M、N的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2），则MN2＝（x2﹣x1）2+（y2﹣y1）2】
（1）判断点P在运动过程中是否经过点C（0，5）；
（2）设动点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数表达式；填写下表，并在给定坐标系中画出该函数的图象；
x
…
0
2
4
6
8
…
y
…
…
（3）点C关于x轴的对称点为C'，点P在直线C'F的下方时，求线段PF长度的取值范围．
22．（2020•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-12x2+bx+32与x轴正半轴交于点A，且点A的坐标为（3，0），过点A作垂直于x轴的直线l．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ⊥l于点Q，M是直线l上的一点，其纵坐标为﹣m+32．以PQ，QM为边作矩形PQMN．
（1）求b的值．
（2）当点Q与点M重合时，求m的值．
（3）当矩形PQMN是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN内的部分所对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围．
23．（2020•永州）在平面直角坐标系xOy中，等腰直角△ABC的直角顶点C在y轴上，另两个顶点A，B在x轴上，且AB＝4，抛物线经过A，B，C三点，如图1所示．
（1）求抛物线所表示的二次函数表达式．
（2）过原点任作直线l交抛物线于M，N两点，如图2所示．
①求△CMN面积的最小值．
②已知Q（1，-32）是抛物线上一定点，问抛物线上是否存在点P，使得点P与点Q关于直线l对称，若存在，求出点P的坐标及直线l的一次函数表达式；若不存在，请说明理由．
24．（2020•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
25．（2020•毕节市）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于点C（﹣2，0），且经过点B（8，4），连接AB，BO，作AM⊥OB于点M，将Rt△OMA沿y轴翻折，点M的对应点为点N．解答下列问题：
（1）抛物线的解析式为 ，顶点坐标为 ；
（2）判断点N是否在直线AC上，并说明理由；
（3）如图（2），将图（1）中Rt△OMA沿着OB平移后，得到Rt△DEF．若DE边在线段OB上，点F在抛物线上，连接AF，求四边形AMEF的面积．
26．（2020•鄂尔多斯）如图1，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点D为y轴上一点，如果直线BD与直线BC的夹角为15°，求线段CD的长度；
（3）如图2，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO，求点P的坐标．
27．（2020•鸡西）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+c经过点A（﹣2，0）和点C（0，94），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如图，点E，F分别在线段AB，BD上（点E不与点A，B重合），且∠DEF＝∠DAB，DE＝EF，直接写出线段BE的长．
28．（2020•随州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+1的对称轴为直线x=32，其图象与x轴交于点A和点B（4，0），与y轴交于点C．
（1）直接写出抛物线的解析式和∠CAO的度数；
（2）动点M，N同时从A点出发，点M以每秒3个单位的速度在线段AB上运动，点N以每秒2个单位的速度在线段AC上运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t（t＞0）秒，连接MN，再将线段MN绕点M顺时针旋转90°，设点N落在点D的位置，若点D恰好落在抛物线上，求t的值及此时点D的坐标；
（3）在（2）的条件下，设P为抛物线上一动点，Q为y轴上一动点，当以点C，P，Q为顶点的三角形与△MDB相似时，请直接写出点P及其对应的点Q的坐标．（每写出一组正确的结果得1分，至多得4分）
29．（2020•黄石）在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+kx﹣2k的顶点为N．
（1）若此抛物线过点A（﹣3，1），求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，若抛物线与y轴交于点B，连接AB，C为抛物线上一点，且位于线段AB的上方，过C作CD垂直x轴于点D，CD交AB于点E，若CE＝ED，求点C坐标；
（3）已知点M（2-433，0），且无论k取何值，抛物线都经过定点H，当∠MHN＝60°时，求抛物线的解析式．
30．如图1，在平面直角坐标系中，A（﹣2，﹣1），B（3，﹣1），以O为圆心，OA的长为半径的半圆O交AO延长线于C，连接AB，BC，过O作ED∥BC分别交AB和半圆O于E，D，连接OB，CD．
（1）求证：BC是半圆O的切线；
（2）试判断四边形OBCD的形状，并说明理由；
（3）如图2，若抛物线经过点D且顶点为E．
①求此抛物线的解析式；
②点P是此抛物线对称轴上的一个动点，以E，D，P为顶点的三角形与△OAB相似，问抛物线上是否存在一点Q．使S△EPQ＝S△OAB？若存在，请直接写出Q点的横坐标；若不存在，说明理由．
31．（2020•娄底）如图，抛物线经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）是抛物线上的动点，当﹣3＜m＜0时，试确定m的值，使得△PAC的面积最大；
（3）抛物线上是否存在不同于点B的点D，满足DA2﹣DC2＝6，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
32．（2020•郴州）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0），与y轴交于点C．已知直线y＝kx+n过B，C两点．
（1）求抛物线和直线BC的表达式；
（2）点P是抛物线上的一个动点．
①如图1，若点P在第一象限内，连接PA，交直线BC于点D．设△PDC的面积为S1，△ADC的面积为S2，求S1S2的最大值；
②如图2，抛物线的对称轴l与x轴交于点E，过点E作EF⊥BC，垂足为F．点Q是对称轴l上的一个动点，是否存在以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（2020•鄂州）如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．直线y=12x﹣2经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、M．PN⊥BC，垂足为N．设M（m，0）．
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使△PNC与△AOC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
34．（2020•包头）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=13x2﹣2x经过坐标原点，与x轴正半轴交于点A，该抛物线的顶点为M，直线y=-12x+b经过点A，与y轴交于点B，连接OM．
（1）求b的值及点M的坐标；
（2）将直线AB向下平移，得到过点M的直线y＝mx+n，且与x轴负半轴交于点C，取点D（2，0），连接DM，求证：∠ADM﹣∠ACM＝45°；
（3）点E是线段AB上一动点，点F是线段OA上一动点，连接EF，线段EF的延长线与线段OM交于点G．当∠BEF＝2∠BAO时，是否存在点E，使得3GF＝4EF？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
35．（2020•玉林）如图，已知抛物线：y1＝﹣x2﹣2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C．
（1）直接写出点A，B，C的坐标；
（2）将抛物线y1经过向右与向下平移，使得到的抛物线y2与x轴交于B，B'两点（B'在B的右侧），顶点D的对应点为点D'，若∠BD'B'＝90°，求点B'的坐标及抛物线y2的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点Q在x轴上，则在抛物线y1或y2上是否存在点P，使以B′，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
36．（2020•云南）抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．点P为抛物线y＝x2+bx+c上的一个动点．过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
（1）求b、c的值；
（2）设点F在抛物线y＝x2+bx+c的对称轴上，当△ACF的周长最小时，直接写出点F的坐标；
（3）在第一象限，是否存在点P，使点P到直线BC的距离是点D到直线BC的距离的5倍？若存在，求出点P所有的坐标；若不存在，请说明理由．
37．（2020•湘西州）已知直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的一个交点为A（﹣1，0），点M（m，0）是x轴正半轴上的动点．
（1）当直线y＝kx﹣2与抛物线y＝x2﹣bx+c（b，c为常数，b＞0）的另一个交点为该抛物线的顶点E时，求k，b，c的值及抛物线顶点E的坐标；
（2）在（1）的条件下，设该抛物线与y轴的交点为C，若点Q在抛物线上，且点Q的横坐标为b，当S△EQM=12S△ACE时，求m的值；
（3）点D在抛物线上，且点D的横坐标为b+12，当2AM+2DM的最小值为2724时，求b的值．
38．（2020•广州）平面直角坐标系xOy中，抛物线G：y＝ax2+bx+c（0＜a＜12）过点A（1，c﹣5a），B（x1，3），C（x2，3）．顶点D不在第一象限，线段BC上有一点E，设△OBE的面积为S1，△OCE的面积为S2，S1＝S2+32．
（1）用含a的式子表示b；
（2）求点E的坐标：
（3）若直线DE与抛物线G的另一个交点F的横坐标为6a+3，求y＝ax2+bx+c在1＜x＜6时的取值范围（用含a的式子表示）．
39．（2020•徐州）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣ax2+2ax+3a（a＞0）的图象交x轴于点A、B，交y轴于点C，它的对称轴交x轴于点E．过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，连接DE并延长交y轴于点F，交抛物线于点G．直线AF交CD于点H，交抛物线于点K，连接HE、GK．
（1）点E的坐标为： ；
（2）当△HEF是直角三角形时，求a的值；
（3）HE与GK有怎样的位置关系？请说明理由．
40．（2020•恩施州）如图1，抛物线y=-14x2+bx+c经过点C（6，0），顶点为B，对称轴x＝2与x轴相交于点A，D为线段BC的中点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P为线段BC上任意一点，M为x轴上一动点，连接MP，以点M为中心，将△MPC逆时针旋转90°，记点P的对应点为E，点C的对应点为F．当直线EF与抛物线y=-14x2+bx+c只有一个交点时，求点M的坐标．
（3）△MPC在（2）的旋转变换下，若PC=2（如图2）．
①求证：EA＝ED．
②当点E在（1）所求的抛物线上时，求线段CM的长．
41．（2020•黄冈）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C（0，3）．顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点C的直线交线段AB于点E，且S△ACE：S△CEB＝3：5，求直线CE的解析式；
（3）若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点D，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标；
（4）已知点H（0，458），G（2，0），在抛物线对称轴上找一点F，使HF+AF的值最小．此时，在抛物线上是否存在一点K，使KF+KG的值最小？若存在，求出点K的坐标；若不存在，请说明理由．
42．（2020•十堰）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c过点A（﹣1，0）和C（0，3），与x轴交于另一点B，顶点为D．
（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；
（2）如图1，E为线段BC上方的抛物线上一点，EF⊥BC，垂足为F，EM⊥x轴，垂足为M，交BC于点G．当BG＝CF时，求△EFG的面积；
（3）如图2，AC与BD的延长线交于点H，在x轴上方的抛物线上是否存在点P，使∠OPB＝∠AHB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
43．（2020•淮安）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝ ，n＝ ；
（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；
（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D（如图②）．
①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．
②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB、FC、OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．
44．（2020•长沙）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．
①y＝2x（ ）；
②y=mx（m≠0）（ ）；
③y＝3x﹣1（ ）．
（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．
（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．
45．（2020•邵阳）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边BC与x轴、y轴的交点分别为C（8，0），B（0，6），CD＝5，抛物线y＝ax2-154x+c（a≠0）过B，C两点，动点M从点D开始以每秒5个单位长度的速度沿D→A→B→C的方向运动到达C点后停止运动．动点N从点O以每秒4个单位长度的速度沿OC方向运动，到达C点后，立即返回，向CO方向运动，到达O点后，又立即返回，依此在线段OC上反复运动，当点M停止运动时，点N也停止运动，设运动时间为t．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当点M，N同时开始运动时，若以点M，D，C为顶点的三角形与以点B，O，N为顶点的三角形相似，求t的值；
（4）过点D与x轴平行的直线，交抛物线的对称轴于点Q，将线段BA沿过点B的直线翻折，点A的对称点为A'，求A'Q+QN+DN的最小值．
46．（2020•青海）如图1（注：与图2完全相同）所示，抛物线y=-12x2+bx+c经过B、D两点，与x轴的另一个交点为A，与y轴相交于点C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）设抛物线的顶点为M，求四边形ABMC的面积．（请在图1中探索）
（3）设点Q在y轴上，点P在抛物线上．要使以点A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐标．（请在图2中探索）
47．（2020•山西）综合与探究
如图，抛物线y=14x2﹣x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为（4，﹣3）．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m（m≥0），过点P作PM⊥x轴，垂足为M．PM与直线l交于点N，当点N是线段PM的三等分点时，求点P的坐标；
（3）若点Q是y轴上的点，且∠ADQ＝45°，求点Q的坐标．
48．（2020•广东）如图，抛物线y=3+36x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC=3CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直线BD的函数解析式；
（3）点P在抛物线的对称轴上且在x轴下方，点Q在射线BA上．当△ABD与△BPQ相似时，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标．
49．（2020•荆门）如图，抛物线L：y=12x2-54x﹣3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B．
（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；
（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，将抛物线L：y=12x2-54x﹣3向右平移得到抛物线L'，直线AB与抛物线L'交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L'的解析式．
50．如图，在直角坐标系中，四边形OABC是平行四边形，经过A（﹣2，0），B，C三点的抛物线y＝ax2+bx+83（a＜0）与x轴的另一个交点为D，其顶点为M，对称轴与x轴交于点E．
（1）求这条抛物线对应的函数表达式；
（2）已知R是抛物线上的点，使得△ADR的面积是▱OABC的面积的34，求点R的坐标；
（3）已知P是抛物线对称轴上的点，满足在直线MD上存在唯一的点Q，使得∠PQE＝45°，求点P的坐标．
51．（2020•西宁）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于A，B两点，且B点坐标为（0，4），以点A为顶点的抛物线解析式为y＝﹣（x+2）2．
（1）求一次函数的解析式；
（2）如图2，将抛物线的顶点沿线段AB平移，此时抛物线顶点记为C，与y轴交点记为D，当点C的横坐标为﹣1时，求抛物线的解析式及D点的坐标；
（3）在（2）的条件下，线段AB上是否存在点P，使以点B，D，P为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，求出所有满足条件的P点坐标；若不存在，请说明理由．
52．（2020•广西）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知B（3，0），C（0，﹣3），连接BC，点P是抛物线上的一个动点，点N是对称轴上的一个动点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）当△PAB的面积为8时，求点P的坐标．
（3）若点P在直线BC的下方，当点P到直线BC的距离最大时，在抛物线上是否存在点Q，使得以点P，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
53．（2020•巴中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），交y轴正半轴于点C，M为BC中点，点P为抛物线上一动点，已知点A坐标（﹣1，0），且OB＝2OC＝4OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当△PCM≌△POM时，求PM的长；
（3）当4S△ABC＝5S△BCP时，求点P的坐标．
54．（2020•广安）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，过点A的直线l交抛物线于点C（2，m）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P是线段AC上一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，求线段PE最大时点P的坐标．
（3）点F是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
55．（2020•贵港）如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与x轴相交于A（﹣6，0），B（1，0），与y轴相交于点C，直线l⊥AC，垂足为C．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）若直线l与该抛物线的另一个交点为D，求点D的坐标；
（3）设动点P（m，n）在该抛物线上，当∠PAC＝45°时，求m的值．
56．（2020•柳州）如图①，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣4x+a（a＜0）与y轴交于点A，与x轴交于E、F两点（点E在点F的右侧），顶点为M．直线y=23x-a与x轴、y轴分别交于B、C两点，与直线AM交于点D．
（1）求抛物线的对称轴；
（2）在y轴右侧的抛物线上存在点P，使得以P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求a的值；
（3）如图②，过抛物线顶点M作MN⊥x轴于N，连接ME，点Q为抛物线上任意一点，过点Q作QG⊥x轴于G，连接QE．当a＝﹣5时，是否存在点Q，使得以Q、E、G为顶点的三角形与△MNE相似（不含全等）？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
57．（2020•陕西）已知抛物线L：y＝﹣x2+bx+c过点（﹣3，3）和（1，﹣5），与x轴的交点为A，B（点A在点B的左侧）．
（1）求抛物线L的表达式；
（2）若点P在抛物线L上，点E、F在抛物线L的对称轴上，D是抛物线L的顶点，要使△PEF∽△DAB（P的对应点是D），且PE：DA＝1：4，求满足条件的点P的坐标．
58．（2020•兰州）如图，二次函数y=14x2+bx+c的图象过点A（4，﹣4），B（﹣2，m），交y轴于点C（0，﹣4）．直线BO与抛物线相交于另一点D，连接AB，AD，点E是线段AB上的一动点，过点E作EF∥BD交AD于点F．
（1）求二次函数y=14x2+bx+c的表达式；
（2）判断△ABD的形状，并说明理由；
（3）在点E的运动过程中，直线BD上存在一点G，使得四边形AFGE为矩形，请判断此时AG与BD的数量关系，并求出点E的坐标；
（4）点H是抛物线的顶点，在（3）的条件下，点P是平面内使得∠EPF＝90°的点，在抛物线的对称轴上，是否存在点Q，使得△HPQ是以∠PQH为直角的等腰直角三角形，若存在，直接写出符合条件的所有点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
59．（2020•济南）如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C．在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜3），过点E作直线l⊥x轴，交抛物线于点M．
（1）求抛物线的解析式及C点坐标；
（2）当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
（3）如图2，连接BM并延长交y轴于点N，连接AM，OM，设△AEM的面积为S1，△MON的面积为S2，若S1＝2S2，求m的值．
60．（2020•日照）如图，函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x2﹣2x﹣3＝0的两个实数根，且m＜n．
（Ⅰ）求m，n的值以及函数的解析式；
（Ⅱ）设抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD．求证：△BCD∽△OBA；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中所求的函数y＝﹣x2+bx+c，
（1）当0≤x≤3时，求函数y的最大值和最小值；
（2）设函数y在t≤x≤t+1内的最大值为p，最小值为q，若p﹣q＝3，求t的值．
61．（2020•阜新）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
62．（2020•盘锦）如图1，直线y＝x﹣4与x轴交于点B，与y轴交于点A，抛物线y=-12x2+bx+c经过点B和点C（0，4），△ABO沿射线AB方向以每秒2个单位长度的速度平移，平移后的三角形记为△DEF（点A，B，O的对应点分别为点D，E，F），平移时间为t（0＜t＜4）秒，射线DF交x轴于点G，交抛物线于点M，连接ME．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当tan∠EMF=43时，请直接写出t的值；
（3）如图2，点N在抛物线上，点N的横坐标是点M的横坐标的12，连接OM，NF，OM与NF相交于点P，当NP＝FP时，求t的值．
63．（2020•常州）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC、BC、BD、CD．
（1）填空：b＝ ；
（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；
（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．
64．（2020•岳阳）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线F1：y＝a（x-25）2+6415与x轴交于点A（-65，0）和点B，与y轴交于点C．
（1）求抛物线F1的表达式；
（2）如图2，将抛物线F1先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到抛物线F2，若抛物线F1与抛物线F2相交于点D，连接BD，CD，BC．
①求点D的坐标；
②判断△BCD的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，抛物线F2上是否存在点P，使得△BDP为等腰直角三角形，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
65．（2020•营口）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3过点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为直线CD上的一个动点，连接BC；
①如图1，是否存在点P，使∠PBC＝∠BCO？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
②如图2，点P在x轴上方，连接PA交抛物线于点N，∠PAB＝∠BCO，点M在第三象限抛物线上，连接MN，当∠ANM＝45°时，请直接写出点M的坐标．
66．（2020•通辽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．且直线y＝x﹣6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，点P是线段OB上一动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）当△MDB的面积最大时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在点Q，使得以Q，M，N三点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
67．（2020•咸宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=-23x2+bx+c过点B且与直线相交于另一点C（52，34）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线上的一动点，当∠PAO＝∠BAO时，求点P的坐标；
（3）点N（n，0）（0＜n＜52）在x轴的正半轴上，点M（0，m）是y轴正半轴上的一动点，且满足∠MNC＝90°．
①求m与n之间的函数关系式；
②当m在什么范围时，符合条件的N点的个数有2个？
68．（2020•深圳）如图1，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴的交点A（﹣3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接AD，DC，CB，将△OBC沿x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到△O'B'C'，点O、B、C的对应点分别为点O'、B'、C'，设平移时间为t秒，当点O'与点A重合时停止移动．记△O'B'C'与四边形AOCD重合部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，过该抛物线上任意一点M（m，n）向直线l：y=92作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME﹣MF=14？若存在，请求出F的坐标；若不存在，请说明理由．
69．（2020•天水）如图所示，拋物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为A（﹣2，0），点C的坐标为C（0，6），对称轴为直线x＝1．点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为m（1＜m＜4），连接AC，BC，DC，DB．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）当△BCD的面积等于△AOC的面积的34时，求m的值；
（3）在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
70．（2020•辽阳）如图，抛物线y＝ax2﹣23x+c（a≠0）过点O（0，0）和A（6，0）．点B是抛物线的顶点，点D是x轴下方抛物线上的一点，连接OB，OD．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，当∠BOD＝30°时，求点D的坐标；
（3）如图②，在（2）的条件下，抛物线的对称轴交x轴于点C，交线段OD于点E，点F是线段OB上的动点（点F不与点O和点B重合），连接EF，将△BEF沿EF折叠，点B的对应点为点B'，△EFB'与△OBE的重叠部分为△EFG，在坐标平面内是否存在一点H，使以点E，F，G，H为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点H的坐标，若不存在，请说明理由．
71．（2020•烟台）如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A，B两点，且OA＝2OB，与y轴交于点C，连接BC，抛物线对称轴为直线x=12，D为第一象限内抛物线上一动点，过点D作DE⊥OA于点E，与AC交于点F，设点D的横坐标为m．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当线段DF的长度最大时，求D点的坐标；
（3）抛物线上是否存在点D，使得以点O，D，E为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
72．（2020•宜宾）如图，已知二次函数的图象顶点在原点，且点（2，1）在二次函数的图象上，过点F（0，1）作x轴的平行线交二次函数的图象于M、N两点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）P为平面内一点，当△PMN是等边三角形时，求点P的坐标；
（3）在二次函数的图象上是否存在一点E，使得以点E为圆心的圆过点F和点N，且与直线y＝﹣1相切．若存在，求出点E的坐标，并求⊙E的半径；若不存在，说明理由．
73．（2020•潍坊）如图，抛物线y＝ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点A（﹣2，0）和点B（8，0），与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，BC与抛物线的对称轴l交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的动点，连接PB，PC，当S△PBC=35S△ABC时，求点P的坐标；
（3）点N是对称轴l右侧抛物线上的动点，在射线ED上是否存在点M，使得以点M，N，E为顶点的三角形与△OBC相似？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．
74．（2020•株洲）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线L）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A、B，点A、B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．
（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；
（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜-52时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．
（3）若AB2=c2-2c+6c，点P的坐标为（-x0，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的L的顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线L交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．
75．（2020•怀化）如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．
（1）求点C及顶点M的坐标．
（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN，求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．
（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B、C、D、G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．
（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E、O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
76．（2020•张家界）如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴l与直线BC相交于点P，连接AC，AP，判定△APC的形状，并说明理由；
（3）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
77．（2020•广元）如图，直线y＝﹣2x+10分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C为OB的中点，抛物线y＝x2+bx+c经过A，C两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点D是直线AB下方的抛物线上的一点，且△ABD的面积为452，求点D的坐标；
（3）点P为抛物线上一点，若△APB是以AB为直角边的直角三角形，求点P到抛物线的对称轴的距离．
78．（2020•孝感）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．
（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：
A ，B ，C ，D ；
（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED=43，求a的值和CE的长；
（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．
①用含t的代数式表示f；
②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．
79．（2020•绥化）如图1，抛物线y=-12（x+2）2+6与抛物线y1＝﹣x2+12tx+t﹣2相交y轴于点C，抛物线y1与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线y2＝kx+3交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且OC＝ON．
（1）求抛物线y1的解析式与k的值；
（2）抛物线y1的对称轴交x轴于点D，连接AC，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与△AOC相似，求出DE的长；
（3）如图2，过抛物线y1上的动点G作GH⊥x轴于点H，交直线y2＝kx+3于点Q，若点Q'是点Q关于直线MG的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点Q'落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．
80．（2020•福建）已知直线l1：y＝﹣2x+10交y轴于点A，交x轴于点B，二次函数的图象过A，B两点，交x轴于另一点C，BC＝4，且对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2≥5时，总有y1＞y2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）若直线l2：y＝mx+n（n≠10），求证：当m＝﹣2时，l2∥l1；
（3）E为线段BC上不与端点重合的点，直线l3：y＝﹣2x+q过点C且交直线AE于点F，求△ABE与△CEF面积之和的最小值．
81．（2020•菏泽）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，OA＝2，OB＝4，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接AD，BD，BC，CD．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点D在x轴的下方，当△BCD的面积是92时，求△ABD的面积；
（3）在（2）的条件下，点M是x轴上一点，点N是抛物线上一动点，是否存在点N，使得以点B，D，M，N为顶点，以BD为一边的四边形是平行四边形，若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
82．（2020•湘潭）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．
（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．
①求抛物线的解析式；
②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．
83．（2020•内江）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．
（1）求抛物线所对应的函数表达式；
（2）当△BCD的面积为3时，求点D的坐标；
（3）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．
84．（2020•黑龙江）如图，已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B （3，0），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点P，使∠PAB＝∠ABC，若存在请直接写出点P的坐标．若不存在，请说明理由．
85．（2020•武汉）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．
（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；
（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；
（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y=-4kx与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．
86．（2020•襄阳）如图，直线y=-12x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．
（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；
（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；
（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．
87．（2020•陕西）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点（3，12）和（﹣2，﹣3），与两坐标轴的交点分别为A，B，C，它的对称轴为直线l．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）P是该抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△AOC全等，求满足条件的点P，点E的坐标．
88．（2020•金昌）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣2交x轴于A，B两点，交y轴于点C，且OA＝2OC＝8OB．点P是第三象限内抛物线上的一动点．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若PC∥AB，求点P的坐标；
（3）连接AC，求△PAC面积的最大值及此时点P的坐标．
89．（2020•泸州）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）三点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）经过点B的直线交y轴于点D，交线段AC于点E，若BD＝5DE．
①求直线BD的解析式；
②已知点Q在该抛物线的对称轴l上，且纵坐标为1，点P是该抛物线上位于第一象限的动点，且在l右侧，点R是直线BD上的动点，若△PQR是以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，求点P的坐标．
90．（2020•泰州）如图，二次函数y1＝a（x﹣m）2+n，y2＝6ax2+n（a＜0，m＞0，n＞0）的图象分别为C1、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B．
（1）若P点的坐标为（0，2），C1的顶点坐标为（2，4），求a的值；
（2）设直线PA与y轴所夹的角为α．
①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；
②若α＝90°，试说明：当a、m、n各自取不同的值时，PAPB的值不变；
（3）若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．
91．（2020•齐齐哈尔）综合与探究
在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c经过点A（﹣4，0），点M为抛物线的顶点，点B在y轴上，且OA＝OB，直线AB与抛物线在第一象限交于点C（2，6），如图①．
（1）求抛物线的解析式；
（2）直线AB的函数解析式为 ，点M的坐标为 ，cos∠ABO＝ ；
连接OC，若过点O的直线交线段AC于点P，将△AOC的面积分成1：2的两部分，则点P的坐标为 ；
（3）在y轴上找一点Q，使得△AMQ的周长最小．具体作法如图②，作点A关于y轴的对称点A'，连接MA'交y轴于点Q，连接AM、AQ，此时△AMQ的周长最小．请求出点Q的坐标；
（4）在坐标平面内是否存在点N，使以点A、O、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
92．（2020•天津）已知点A（1，0）是抛物线y＝ax2+bx+m（a，b，m为常数，a≠0，m＜0）与x轴的一个交点．
（Ⅰ）当a＝1，m＝﹣3时，求该抛物线的顶点坐标；
（Ⅱ）若抛物线与x轴的另一个交点为M（m，0），与y轴的交点为C，过点C作直线l平行于x轴，E是直线l上的动点，F是y轴上的动点，EF＝22．
①当点E落在抛物线上（不与点C重合），且AE＝EF时，求点F的坐标；
②取EF的中点N，当m为何值时，MN的最小值是22？
93．（2020•泰安）若一次函数y＝﹣3x﹣3的图象与x轴，y轴分别交于A，C两点，点B的坐标为（3，0），二次函数y＝ax2+bx+c的图象过A，B，C三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点E在抛物线上（y轴左侧），若BC恰好平分∠DBE．求直线BE的表达式；
（3）如图（2），若点P在抛物线上（点P在y轴右侧），连接AP交BC于点F，连接BP，S△BFP＝mS△BAF．
①当m=12时，求点P的坐标；
②求m的最大值．
94．（2020•德州）如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，﹣2），在x轴上任取一点M，连接AM，分别以点A和点M为圆心，大于12AM的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，过点M作x轴的垂线l交直线GH于点P．根据以上操作，完成下列问题．
探究：
（1）线段PA与PM的数量关系为 ，其理由为： ．
（2）在x轴上多次改变点M的位置，按上述作图方法得到相应点P的坐标，并完成下列表格：
M的坐标
…
（﹣2，0）
（0，0）
（2，0）
（4，0）
…
P的坐标
…
（0，﹣1）
（2，﹣2）
…
猜想：
（3）请根据上述表格中P点的坐标，把这些点用平滑的曲线在图2中连接起来；观察画出的曲线L，猜想曲线L的形状是 ．
验证：
（4）设点P的坐标是（x，y），根据图1中线段PA与PM的关系，求出y关于x的函数解析式．
应用：
（5）如图3，点B（﹣1，3），C（1，3），点D为曲线L上任意一点，且∠BDC＜30°，求点D的纵坐标yD的取值范围．
95．（2020•连云港）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y=12x2-32x﹣2的顶点为D，交x轴于点A、B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．
（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；
（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；
（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．
96．（2020•枣庄）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．M为线段OB上的一个动点，过点M作PM⊥x轴，交抛物线于点P，交BC于点Q．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．设M点的坐标为M（m，0），请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
（3）试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
97．（2020•凉山州）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过O（0，0）、A（1，0）、B（32，32）三点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若线段OB的垂直平分线与y轴交于点C，与二次函数的图象在x轴上方的部分相交于点D，求直线CD的解析式；
（3）在直线CD下方的二次函数的图象上有一动点P，过点P作PQ⊥x轴，交直线CD于Q，当线段PQ的长最大时，求点P的坐标．
98．（2020•达州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=12x﹣2与x轴交于点A，与y轴交于点B，过A、B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于另一点C（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使S△PAB＝S△OAB？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）点M为直线AB下方抛物线上一点，点N为y轴上一点，当△MAB的面积最大时，求MN+12ON的最小值．
99．（2020•成都）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣2）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如图1，点D为第四象限抛物线上一点，连接AD，BC交于点E，连接BD，记△BDE的面积为S1，△ABE的面积为S2，求S1S2的最大值；
（3）如图2，连接AC，BC，过点O作直线l∥BC，点P，Q分别为直线l和抛物线上的点．试探究：在第一象限是否存在这样的点P，Q，使△PQB∽△CAB．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
100．（2020•滨州）如图，抛物线的顶点为A（h，﹣1），与y轴交于点B（0，-12），点F（2，1）为其对称轴上的一个定点．
（1）求这条抛物线的函数解析式；
（2）已知直线l是过点C（0，﹣3）且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P（m，n）到直线l的距离为d，求证：PF＝d；
（3）已知坐标平面内的点D（4，3），请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时△DFQ周长的最小值及点Q的坐标．
101．（2020•济宁）我们把方程（x﹣m）2+（y﹣n）2＝r2称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为（1，﹣2）、半径长为3的圆的标准方程是（x﹣1）2+（y+2）2＝9．在平面直角坐标系中，⊙C与x轴交于点A，B，且点B的坐标为（8，0），与y轴相切于点D（0，4），过点A，B，D的抛物线的顶点为E．
（1）求⊙C的标准方程；
（2）试判断直线AE与⊙C的位置关系，并说明理由．
102．（2020•聊城）如图，二次函数y＝ax2+bx+4的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0），与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，垂直于x轴的动直线l分别交抛物线和线段BC于点P和点F，动直线l在抛物线的对称轴的右侧（不含对称轴）沿x轴正方向移动到B点．
（1）求出二次函数y＝ax2+bx+4和BC所在直线的表达式；
（2）在动直线l移动的过程中，试求使四边形DEFP为平行四边形的点P的坐标；
（3）连接CP，CD，在动直线l移动的过程中，抛物线上是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与△DCE相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
103．（2020•乐山）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（5，0）两点，C为抛物线的顶点，抛物线的对称轴交x轴于点D，连结BC，且tan∠CBD=43，如图所示．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设P是抛物线的对称轴上的一个动点．
①过点P作x轴的平行线交线段BC于点E，过点E作EF⊥PE交抛物线于点F，连结FB、FC，求△BCF的面积的最大值；
②连结PB，求35PC+PB的最小值．
104．（2020•甘孜州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx+3分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的正半轴相交于点C（1，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若P为线段AB上一点，∠APO＝∠ACB，求AP的长；
（3）在（2）的条件下，设M是y轴上一点，试问：抛物线上是否存在点N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
105．（2020•自贡）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点N，点M为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，连接AM，点E是线段AM上方抛物线上一动点，EF⊥AM于点F，过点E作EH⊥x轴于点H，交AM于点D．点P是y轴上一动点，当EF取最大值时：
①求PD+PC的最小值；
②如图2，Q点为y轴上一动点，请直接写出DQ+14OQ的最小值．
106．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（-2，0），直线BC的解析式为y=-23x+2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标；
（3）将抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）向左平移2个单位，已知点M为抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形BECD的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
107．（2020•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线OA交二次函数y=14x2的图象于点A，∠AOB＝90°，点B在该二次函数的图象上，设过点（0，m）（其中m＞0）且平行于x轴的直线交直线OA于点M，交直线OB于点N，以线段OM、ON为邻边作矩形OMPN．
（1）若点A的横坐标为8．
①用含m的代数式表示M的坐标；
②点P能否落在该二次函数的图象上？若能，求出m的值；若不能，请说明理由．
（2）当m＝2时，若点P恰好落在该二次函数的图象上，请直接写出此时满足条件的所有直线OA的函数表达式．
108．（2020•重庆）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于A，B两点，其中A（﹣3，﹣4），B（0，﹣1）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB下方抛物线上的任意一点，连接PA，PB，求△PAB面积的最大值；
（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线y＝a1x2+b1x+c1（a1≠0），平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
109．（2020•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（1，0），B（3，0），C（0，6）三点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线的顶点M与对称轴l上的点N关于x轴对称，直线AN交抛物线于点D，直线BE交AD于点E，若直线BE将△ABD的面积分为1：2两部分，求点E的坐标．
（3）P为抛物线上的一动点，Q为对称轴上动点，抛物线上是否存在一点P，使A、D、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
110．（2020•南充）已知二次函数图象过点A（﹣2，0），B（4，0），C（0，4）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC＝90°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角θ，且tanθ=53，求点K的坐标．
111．（2020•上海）在平面直角坐标系xOy中，直线y=-12x+5与x轴、y轴分别交于点A、B（如图）．抛物线y＝ax2+bx（a≠0）经过点A．
（1）求线段AB的长；
（2）如果抛物线y＝ax2+bx经过线段AB上的另一点C，且BC=5，求这条抛物线的表达式；
（3）如果抛物线y＝ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求a的取值范围．
112．（2020•常德）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，94）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知直线l过点A，M（32，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；
（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．
113．（2020•衢州）如图1，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，C分别是直线y=-83x+4与坐标轴的交点，点B的坐标为（﹣2，0），点D是边AC上的一点，DE⊥BC于点E，点F在边AB上，且D，F两点关于y轴上的某点成中心对称，连结DF，EF．设点D的横坐标为m，EF2为l，请探究：
①线段EF长度是否有最小值．
②△BEF能否成为直角三角形．
小明尝试用“观察﹣猜想﹣验证﹣应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．
（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到l随m变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图2）．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想l与m可能满足的函数类别．
（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出l关于m的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段EF长度的最小值．
（3）小明通过观察，推理，发现△BEF能成为直角三角形，请你求出当△BEF为直角三角形时m的值．
114．（2020•黔东南州）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，﹣3），顶点D的坐标为（1，﹣4）．
（1）求抛物线的解析式．
（2）在y轴上找一点E，使得△EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标．
（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；若不存在，请说明理由．
115．（2020•湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c（c＞0）的顶点为D，与y轴的交点为C．过点C的直线CA与抛物线交于另一点A（点A在对称轴左侧），点B在AC的延长线上，连结OA，OB，DA和DB．
（1）如图1，当AC∥x轴时，
①已知点A的坐标是（﹣2，1），求抛物线的解析式；
②若四边形AOBD是平行四边形，求证：b2＝4c．
（2）如图2，若b＝﹣2，BCAC=35，是否存在这样的点A，使四边形AOBD是平行四边形？若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
116．（2020•嘉兴）在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．
（1）求该抛物线的函数表达式．
（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．
①求OD的长．
②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．
117．（2020•铜仁市）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（﹣1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
118．（2020•金华）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数y=-12（x﹣m）2+4图象的顶点为A，与y轴交于点B，异于顶点A的点C（1，n）在该函数图象上．
（1）当m＝5时，求n的值．
（2）当n＝2时，若点A在第一象限内，结合图象，求当y≥2时，自变量x的取值范围．
（3）作直线AC与y轴相交于点D．当点B在x轴上方，且在线段OD上时，求m的取值范围．
119．（2020•新疆）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y＝ax2+bx+c的顶点是A（1，3），将OA绕点O顺时针旋转90°后得到OB，点B恰好在抛物线上，OB与抛物线的对称轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）P是线段AC上一动点，且不与点A，C重合，过点P作平行于x轴的直线，与△OAB的边分别交于M，N两点，将△AMN以直线MN为对称轴翻折，得到△A′MN，设点P的纵坐标为m．
①当△A′MN在△OAB内部时，求m的取值范围；
②是否存在点P，使S△A′MN=56S△OA′B，若存在，求出满足条件m的值；若不存在，请说明理由．
120．（2020•遵义）如图，抛物线y＝ax2+94x+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，3）与x轴的另一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．
121．（2020•黔西南州）已知抛物线y＝ax2+bx+6（a≠0）交x轴于点A（6，0）和点B（﹣1，0），交y轴于点C．
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）如图（1），点P是抛物线上位于直线AC上方的动点，过点P分别作x轴、y轴的平行线，交直线AC于点D，E，当PD+PE取最大值时，求点P的坐标；
（3）如图（2），点M为抛物线对称轴l上一点，点N为抛物线上一点，当直线AC垂直平分△AMN的边MN时，求点N的坐标．
122．（2020•哈尔滨）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线AB与x轴的正半轴交于点A，与y轴的负半轴交于点B，OA＝OB，过点A作x轴的垂线与过点O的直线相交于点C，直线OC的解析式为y=34x，过点C作CM⊥y轴，垂足为M，OM＝9．
（1）如图1，求直线AB的解析式；
（2）如图2，点N在线段MC上，连接ON，点P在线段ON上，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，交OC于点E，若NC＝OM，求PEOD的值；
（3）如图3，在（2）的条件下，点F为线段AB上一点，连接OF，过点F作OF的垂线交线段AC于点Q，连接BQ，过点F作x轴的平行线交BQ于点G，连接PF交x轴于点H，连接EH，若∠DHE＝∠DPH，GQ﹣FG=2AF，求点P的坐标．
123．（2020•广西）如图1，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝x+1与直线l2：x＝﹣2相交于点D，点A是直线l2上的动点，过点A作AB⊥l1于点B，点C的坐标为（0，3），连接AC，BC．设点A的纵坐标为t，△ABC的面积为s．
（1）当t＝2时，请直接写出点B的坐标；
（2）s关于t的函数解析式为s=14t2+bt-54，t＜-1或t＞5a(t+1)(t-5)，-1＜t＜5，其图象如图2所示，结合图1、2的信息，求出a与b的值；
（3）在l2上是否存在点A，使得△ABC是直角三角形？若存在，请求出此时点A的坐标和△ABC的面积；若不存在，请说明理由．
124．（2020•宜昌）已知函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1均为一次函数，m为常数．
（1）如图1，将直线AO绕点A（﹣1，0）逆时针旋转45°得到直线l，直线l交y轴于点B．若直线l恰好是y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1中某个函数的图象，请直接写出点B坐标以及m可能的值；
（2）若存在实数b，使得|m|﹣（b﹣1）1-b=0成立，求函数y1＝x+2m﹣1，y2＝（2m+1）x+1图象间的距离；
（3）当m＞1时，函数y1＝x+2m﹣1图象分别交x轴，y轴于C，E两点，y2＝（2m+1）x+1图象交x轴于D点，将函数y＝y1•y2的图象最低点F向上平移562m+1个单位后刚好落在一次函数y1＝x+2m﹣1图象上．设y＝y1•y2的图象，线段OD，线段OE围成的图形面积为S，试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）
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