河南省鲁山县第一高级中学2020届高三上学期开学考试数学（文）试题 Word版含解析

2019-2020学年河南省平顶山市鲁山一中高三（上）开学数学试卷（文科）

一、选择题（本大题共12小题）

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 复数z满足，则

A. 2i B. 2 C. i D. 1

3. 已知平面内一条直线l及平面，则“”是“”的

A. 充分必要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件

4. 如图是某光纤电缆的截面图，其构成为七个大小相同的小圆外切，且外侧六个小圆与大圆内切，现从大圆内任取一点，恰好在小圆内的概率为
   
    

A.  B.  C.  D.

5. 已知一组样本数据点，，，，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，，的平均数为1，则等于

A. 10 B. 12 C. 13 D. 14

6. 等比数列中，若，则mn不可能为

A. 5 B. 6 C. 8 D. 9

7. 已知二元一次不等式组表示的平面区域为D，命题p：点在区域D内；命题q：点在区域D内．则下列命题中，真命题是

A.  B.  C.  D.

8. 已知中，，，，BC的中点为M，则等于

A.  B. 11 C. 12 D. 15

9. 已知圆C：与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是

A.  B.  C.  D.

10. 已知正实数a，b满足，，则

A.  B.  C.  D.

11. 自然界中具有两种稳定状态的组件普遍存在，如开关的开和关、电路的通和断等，非常适合表示计算机中的数，所以现在使用的计算机设计为二进制．二进制以2为基数，只用0和1两个数表示数，逢2进1，二进制数与十进制数遵循一样的运算规则，它们可以相互转化，如．
    我国数学史上，清代汪莱的参两算经是较早系统论述非十进制数的文献，总结出了八进制乘法口决：，，，，则八进制下等于

A.  B.  C.  D.

12. 若函数为自然对数的底数有两个极值点，则实数a的取值范围是

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题）

13. 已知，则等于______．
14. 已知定义在R上的偶函数满足，，则等于______．
15. 已知一个圆锥的轴截面是斜边长为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．
16. 已知数列的前n项和为，，若对于任意m，，恒成立，则实数M的最小值为______．

三、解答题（本大题共7小题）

17. 已知锐角的内角A，B，C的所对边分别为a，b，c，其中，．
    Ⅰ若，求角A；
    Ⅱ求面积的最大值．
    
    
    
    
    
    
     
18. 如图，已知直三棱柱中，，，E是BC的中点，F是上一点，且．
    Ⅰ证明：平面；
    Ⅱ求三棱锥的体积．
    
    
    
     

19. 某“双一流”大学专业奖学金是以所学专业各科考试成绩作为评选依据，分为专业一等奖学金奖金额3000元、专业二等奖学金奖金额1500元及专业三等奖学金奖金额600元，且专业奖学金每个学生一年最多只能获得一次．图是统计了该校2018年500名学生周课外平均学习时间频率分布直方图，图是这500名学生在2018年周课外平均学习时间段获得专业奖学金的频率柱状图．
    
    Ⅰ求这500名学生中获得专业三等奖学金的人数；
    Ⅱ若周课外平均学习时间超过35小时称为“努力型”学生，否则称为“非努力型”学生，列联表并判断是否有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关？
    Ⅲ若以频率作为概率，从该校任选一名学生，记该学生2018年获得的专业奖学金额为随机变量X，求随机变量X的分布列和期望．

20. 在平面直角坐标系xOy中，已知，，动点P满足
    Ⅰ求动点P的轨迹E的方程；
    Ⅱ过点F的直线与E交于A，B两点，记直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值．
    
    
    
    
    
    
     
21. 已知函数e为自然对数的底数，．
    Ⅰ若直线是函数图象的一条切线，求a的值；
    Ⅱ对于任意，恒成立，求a的取值范围．
    
    
    
    
    
    
     
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，为参数，在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换得到曲线，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系为极径，为极角．
    Ⅰ求曲线C的直角坐标方程和曲线的极坐标方程；
    Ⅱ若射线OA：与曲线交于点A，射线与曲线交于点B，求的值．
    
    
    
    
    
    
     
23. 已知函数，．
    Ⅰ当时，求不等式的解集；
    Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求a的取值集合．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
 

【解析】解：集合或，
，
则，
所以．
故选：B．
化简集合M、N，根据补集和交集的定义计算即可．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
2.【答案】D
 

【解析】解：依题意，因为复数z满足，
所以，
所以，
故选：D．
根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．
本题考查了复数的代数形式的运算，复数的模，属于基础题．
3.【答案】B
 

【解析】解：由面面垂直的定义知，当”时，“”成立，
当时，不一定成立，
即“”是“”的充分不必要条件，
故选：B．
根据面面垂直和线面垂直的定义，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合空间直线和平面垂直的判定定理和性质是解决本题的关键．
4.【答案】A
 

【解析】解：设小圆半径为r，则大圆半径为3r，
则所有小圆的面积和为，大圆面积为．
所求概率．
故选：A．
由图形设小圆半径为r，则大圆半径为3r，再由测度比是面积比得答案．
本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题．
5.【答案】B
 

【解析】解：设样本数据点，，，，的样本中心点为，
则，代入线性回归方程中，得，
则．
故选：B．
设这组样本数据中心点为，代入线性回归方程中求得，再求的值．
本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
6.【答案】B
 

【解析】解：依题意，数列为等比数列，，
所以，
当，时，，故A正确；
当，时，，故C正确；
当时，，故D正确；
故选：B．
数列为等比数列，，所以，分情况讨论即可得到mn的值．
本题考查了等比数列的性质，属于基础题．
7.【答案】C
 

【解析】解：把点代入不等式不成立，故命题p为假命题；
把点代入不等式组成立，故命题q为真命题．
、、为假命题；为真命题．
故选：C．
把两点坐标分别代入不等式组判断p与q的真假，再由复合命题的真假判断得答案．
本题考查简单的线性规划，考查复合命题的真假判断，是基础题．
8.【答案】B
 

【解析】解：由题意，，
．
故选：B．
，然后运用数量积公式直接求解．
本题考查平面向量的数量积运算，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】C
 

【解析】解：双曲线的渐近线方程为，
圆C：化为标准方程是：，
则圆心到直线的距离为；
即，
解得，
即双曲线的离心率是．
故选：C．
由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离，列方程求出离心率的值．
本题考查了圆与双曲线的标准方程和应用问题，是基础题．
10.【答案】B
 

【解析】解：在同一坐标系中分别作出函数，及的图象如图：

由图可知，．
故选：B．
由题意画出函数，及的图象，数形结合得答案．
本题考查对数值的大小比较，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．
11.【答案】A
 

【解析】解：，
，
，
故，即八进制下等于．
故选：A．
由二进制转化为十进制的方法，我们只要依次累加各位数字上的数该数位的权重，即可得到十进制数，再利用“除k取余法”是将十进制数除以8，然后将商继续除以8，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．
本题考查的知识点是算法的概念，由二进制转化为八进制的方法，进制转换为十进制的方法是依次累加各位数字上的数该数位的权重，十进制与其它进制之间的转化，熟练掌握“除k取余法”的方法步骤是解答本题的关键．
12.【答案】A
 

【解析】解：，
由函数有两个极值点，可得有两根，
即有两个交点．令，，
令，则，
在区间，，区间，，
所以在区间单减，在区间递增，
，的大致图象如下：

所以与有两个交点的取值范围，即函数有两个极值点a的取值范围为．
故选：A．
函数有两个极值点就是导函数等于零有两根，转化为两个函数有两个交点问题．分离出，求另一个函数的大致图象有两个交点时a的取值范围．
考查利用导数研究函数的极值问题，体现了转化的思想方法，属于中档题．
13.【答案】
 

【解析】解：，
．
故答案为：．
由已知利用二倍角的余弦函数公式即可求值得解．
本题主要考查了二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
14.【答案】
 

【解析】解：是R上的偶函数，且，
，
；
，
的周期为4，
又，则，
．
故答案为：．
根据和为偶函数即可得出，进而得出，即得出的周期为4，而根据即可求出，这样即可求出．
考查偶函数、周期函数的定义，以及已知函数求值的方法．
15.【答案】
 

【解析】解：如图所示，
由题意知圆锥的底面半径为，高为；
则圆锥的母线长为，
所以该圆锥的侧面积为
故答案为：
由题意知圆锥的底面半径和高，求出母线长，再计算圆锥的侧面积．
本题考查了圆锥的结构特征与侧面积计算问题，是基础题．
16.【答案】
 

【解析】解：，可得时，，解得，
时，，又，
相减可得，
即，
可得，
则，
当n为奇数时，递减，当n为偶数时，递增，
可得的最大值为，最小值为，
对于任意m，，恒成立，
可得，即，
则M的最小值为．
故答案为：．
由数列的递推式和等比数列的定义和通项公式，可得的通项公式和求和公式，讨论n为奇数或偶数，可得的最值，则M不小于的最值之差的绝对值，进而得到所求值．
本题考查数列的递推式的运用，考查等比数列的定义和通项公式的运用，以及不等式恒成立问题转化为求最值的方法，考查运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ，
可得，
，
，
，可得，
，可得，
又，
，
．
Ⅱ在中，由，可得，
，当且仅当，即三角形为等边三角形时，等号成立，
面积的最大值为．
 

【解析】Ⅰ由已知可求，结合范围，可求C的值，利用正弦定理可求，利用大边对大角，特殊角的三角函数值可求A的值；
Ⅱ利用余弦定理，基本不等式可求ab的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
本题主要考查了正弦定理，大边对大角，特殊角的三角函数值，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
18.【答案】Ⅰ证明：连接AE，AF，在中，由题意可知为等腰三角形，且，
由面积相等得，求得．
又由三棱柱为直三棱柱，平面ABC，
则，，
在直角三角形中，，，
，则．
又，为直角，即E.
，，，
平面，则，而，
故AF平面；
Ⅱ解：过E作，连接，交AC于D，过F作，交于点G，
平面ABC，，
又，，平面，故FG平面C.
，，
．
 

【解析】Ⅰ连接AE，AF，在中，由题意可知为等腰三角形，且，求得在直角三角形中，求解由，得，由线面垂直的判定可得平面，则，进一步得到平面；
Ⅱ过E作，连接，交AC于D，过F作，交于点G，由，，得平面，故FG平面C.然后利用等积法求三棱锥的体积．
本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．
19.【答案】解：Ⅰ获得三等奖学金的概率为：
．
故这500名学生获得专业三等奖学金的人数为160人．
Ⅱ每周课外学习时间不超过35小时的“非努力型“学生有：人，
其中获得一、二等奖学金学生有，
每周课外学习时间超过35小时称为“努力型“学生有人，
其中获得一、二等奖学金学生有人，
列联表如图所示：

，
故有的把握认为该校学生获得专业一、二等奖学金与是否是“努力型”学生有关．
Ⅲ的所有可能取值为：3000，1500，600，0
，
，
，
X的分布列为：

元
 

【解析】Ⅰ先计算出获得三等奖学金的概率，再乘以500可得．
Ⅱ先完成列联表，再根据公式计算，根据临界值表可得，
Ⅲ先计算一名同学获得一、二、三等奖的概率，再写出分布列，求出期望．
本题考查了离散型随机变量的期望与方差，属中档题．
20.【答案】解：Ⅰ设，则，，
由知，，
化简得：，
即动点P的轨迹E方程为；
Ⅱ设过点的直线为：，，
由得，
，
，，，
．
将代入得，
，
故为定值．
 

【解析】Ⅰ设出P点坐标，根据列出关于x，y的方程，化简即可；
Ⅱ设出直线方程为，联立直线和抛物线方程，得到关于y的方程，设，根据韦达定理，得到和的关系式，将用和表示，化简即可得到结论．
本题考查了曲线的轨迹方程的求法，考查了直线斜率和为定值的问题，考查分析和解决问题的能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：Ⅰ设切点的坐标为所以，则．
由得．
设，所以，
则，解得，所以．
Ⅱ由得到，
所以，
则，，
所以时，，单调递减增．
当时，，单调递减减．
当时，，单调递减增．
，，
下面比较和的大小，
由于，即，
故，
即，所以．
 

【解析】Ⅰ利用函数的导数求出切线的方程，进一步求出a的值．
Ⅱ利用函数的导数和恒成立问题的应用利用函数的单调性的应用求出函数的极值，进一步求出参数a的取值范围．
本题考查的知识要点：函数的导数的应用利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和极值，参数的范围的确定，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．
22.【答案】解：Ⅰ曲线C的参数方程为，为参数，转换为直角坐标方程为．
经过伸缩变换得到曲线，得到，转换为极坐标方程为．
Ⅱ线OA：与曲线交于点A，射线与曲线交于点B，则，即，
同理，所以．
 

【解析】Ⅰ直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转化求出结果．
Ⅱ利用三角函数关系式的变换求出结果．
本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数关系式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
23.【答案】解：当时，．
，或，
或，
不等式的解集为或；
不等式的解集包含，
在上恒成立．
，，
，即在上恒成立，
，，
的取值范围为．
 

【解析】将代入中，然后将写为分段函数的形式，再根据，解不等式求出解集；
根据不等式的解集包含，可得，即在上恒成立，则，求出在上的最小值后解关于a的不等式可得a的范围．
本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．