2023届河南省杞县高中高三上学期开学联考数学（文）试题含解析

2023届河南省杞县高中高三上学期开学联考数学（文）试题

一、单选题

1．已知集合，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】根据集合交集的概念及运算，即可求解.

【详解】由题意，集合，

根据集合交集的概念及运算，可得.

故选：B.

2．已知复数满足，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由复数的除法运算计算．

【详解】.

故选：A.

3．已知，若，则（       ）

A．3 B． C．11 D．

【答案】C

【分析】根据向量的数量积的坐标运算，结合垂直关系的坐标表示，列出方程，即可求解.

【详解】由题意，向量，

因为，可得，解得.

故选：C.

4．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用两角和的余弦公式和三角函数的基本关系式，化简的原式，代入即可求解.

【详解】由.

故选：B.

5．已知实数满足则的最小值为（       ）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【分析】利用线性规划作出约束条件的可行域，数形结合即可得知的最小值.

【详解】作出约束条件的可行域（如下图阴影部分所示），

直线与直线交于点,二者联立后可求出点坐标为，

当直线过点时，有最小值，即.

故选：D.

6．已知为抛物线的焦点，点A为上一点，点的坐标为，若，则的面积为（       ）

A．2 B．4 C．8 D．16

【答案】C

【分析】根据抛物线的焦半径公式可求得点的横坐标，从而可求得点的纵坐标，即可求出三角形的面积.

【详解】解：由题意得，

则，

即点A到准线的距离为4，

所以点A的横坐标为2，

当时，，

即，

所以.

故选：C.

7．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】根据空间中直线与平面,平面与平面的位置关系即可逐一求解.

【详解】对于，由平行具有传递可知正确；

对于B，若，则，又，则故B正确；

对于，若，则或，C错误；

对于D，由，则，D正确.

故选：C.

8．在矩形中，，以，为焦点的双曲线经过，两点，则此双曲线的离心率为

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】利用双曲线的定义及性质，直接列出关系式求解双曲线的离心率即可．

【详解】由题可知，，

所以，即，

所以此双曲线的离心率为.

故选D.

【点睛】本题考查双曲线的定义及性质的应用，考查了离心率的求法，考查计算能力．

9．某医院计划安排甲、乙、丙三名新医生到、、三家医院进修，每个人只能去一家医院，每家医院都必须有人去，则甲恰好去医院的概率为（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】安排甲、乙、丙三名新医生到、、三家医院进修，

共有（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），

（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），

（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），共种情况；

其中“甲恰好去医院”的有（甲，乙，丙），（甲，乙，丙），共种情况，

故所求概率.

故选：D.

10．在四棱锥中，四边形为正方形，平面，且，则四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为（       ）

A． B． C．3 D．

【答案】B

【分析】根据几何体内切圆半径公式（为几何体的体积，为几何体的表面积），由两两垂直，四棱锥可补形为长方体，可得外接圆的半径公式，可得答案.

【详解】设四棱锥的外接球与内切球的半径分别为.

因为，

四棱锥的表面积，

所以，

因为两两垂直，四棱锥可补形为长方体，所以，

所以四棱锥的外接球与内切球的表面积之比为.

故选：B.

11．已知直线为函数图象的一条对称轴，的图象与直线的交点中，相邻两点间的最小距离为，那么函数（       ）

A． B．

C． D．.

【答案】D

【分析】由，求得或，结合题意得到，求得，得到，在由为图象的一条对称轴，求得，即可求解.

【详解】由，得或，

所以相邻的两角的差为或，

所以相邻两点中距离较小的应满足，

又由，所以，故，

因为直线为图象的一条对称轴，所以，

解得，

因为，所以，故.

故选：D.

12．已知函数满足，若函数的图象与的图象的交点为，且，则两函数图象交点的个数为（       ）

A．1080 B．1090 C．1100 D．1150

【答案】A

【分析】根据题意推导与的图象均关于点对称，从而得出两函数的交点也关于点对称，进而根据求和满足的条件求解即可.

【详解】因为函数满足，即，所以函数的图象关于点对称.

又，所以函数的图象也关于点对称.

若点为两函数图象的交点，则点也为其交点，且四个坐标之和为10.因为两函数图象都关于点对称，

所以交点可以两两配对，所以，解得.

故选：A

二、填空题

13．在中，，则___________.

【答案】

【分析】根据余弦定理即可求解.

【详解】由已知得.由余弦定理得，所以.

故答案为：

14．若一条倾斜角为且经过原点的直线与圆交于A，B两点，则______．

【答案】2

【分析】根据题意，求出直线的方程，分析圆的圆心坐标以及半径，求出圆心到直线的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．

【详解】解：根据题意，若直线的倾斜角为且经过原点，则其方程为，即，

圆，即，其圆心为，半径，

圆心到直线的距离，

则；

故答案为2．

【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，直线与圆的方程，属于基础题．

15．若直线与曲线相切，则切点的坐标为___________.

【答案】

【分析】设切点为，求出函数的导函数，即可得到方程组，解得即可.

【详解】解：设切点为，，，

又，，解得，故切点坐标为.

故答案为：

16．已知函数f（x）＝lnx+ax（a＞0），若对任意的x1，x2∈（0，），且x1≠x2，不等式|f（x2）﹣f（x1）|＜||恒成立，则实数a的取值范围为_____．

【答案】（0，2]

【分析】首先求导，得到函数在上单调递增，设，化简得，令，即函数在上单调递减.所以恒成立，只需满足即可.解得的范围即可.

【详解】因为，

所以函数在上单调递增，

不妨设，所以，

令，

即函数在上单调递减.

所以恒成立，

等价于：恒成立.

只需满足即可.解得，

又因为，所以，

即实数的取值范围为.

【点睛】本题主要考查导数应用中的恒成立问题，同时重点考查了学生的转化能力，属于中档题.

三、解答题

17．已知数列满足，设.

(1)证明：是等比数列；

(2)求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）先求出，对两边同时加1，化简可得结论，

（2）由（1）可得，然后利用分组求和可求得结果.

【详解】(1)证明：当时，，则

从而由，得，又，

所以是以2为首项，2为公比的等比数列.

(2)解：由（1）得，

所以

18．“十四五”规划纲要提出，全面推动长江经济带发展，协同推动生态环境保护和经济发展长江水资源约占全国总量的36%，长江流域河湖､水库､湿地面积约占全国的20%，珍稀濒危植物占全国的39.7%，淡水鱼类占全国的33%.长江经济带在我国生态文明建设中占据重要位置.长江流域某地区经过治理，生态系统得到很大改善，水生动物数量有所增加.为调查该地区某种水生动物的数量，将其分成面积相近的100个水域，从这些水域中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据其中和分别表示第i个样区的水草覆盖面积（单位：公顷）和这种水生动物的数量，并计算得，

(1)求该地区这种水生动物数量的估计值（这种水生动物数量的估计值等于样区这种水生动物数量的平均数乘以地块数）；

(2)求样本的相关系数（精确到0.01）；

(3)根据现有统计资料，各地块间水草覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.

附：相关系数

【答案】(1)

(2)

(3)采用分层抽样的方法，理由见解析

【分析】（1）根据该地区这种水生动物数量的估计值的计算方法求解即可；

（2）根据相关系数的公式求解即可；

（3）根据（2）中的结论各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性考虑即可

【详解】(1)样区水生动物平均数为，

地块数为100，该地区这种水生动物的估计值为.

(2)样本的相关系数为

(3)由（2）知各样区的这种水生动物的数量与水草覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间水草覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，所以采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种水生动物数量更准确的估计.

19．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为菱形，且，平面ABCD，E为BC的中点，F为棱PC上一点．

(1)求证：平面平面PAD；

(2)当F为PC的中点，且时，求点P到平面AEF的距离．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）连接AC，由E为BC的中点得AE⊥BC， AE⊥_AD，线面垂直得到PA⊥AE，再由线面垂直的判断得到AE⊥平面PAD，面面垂直的判断得到平面AEF⊥平面PAD；

（2）连接BF，线面平行的判断得到PB//平面AEF，设点P到平面AEF的距离为h，则点B到平面AEF的距离也为h，利用可得答案．

【详解】(1)连接AC，由题意知△ABC为等边三角形，

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC，又AD//BC，

所以AE⊥_AD，

因为PA⊥平面ABCD，平面ABCD，所以PA⊥AE，

又AP∩AD=A，AP，平面PAD，

所以AE⊥平面PAD，

因为平面AEF，所以平面AEF⊥平面PAD．

(2)连接BF，因为E，F分别为BC，PC的中点，所以PB//EF,

因为平面AEF，平面AEF，所以PB//平面AEF,

设点P到平面AEF的距离为h，则点B到平面AEF的距离也为h，

因为E，F分别为BC，PC的中点，

所以，，，

所以，

又，点F到平面ABE的距离为，

所以,

又，

所以，所以，即点P到平面AEF的距离为．

20．已知函数.   

（1）讨论的单调性；

（2）若，求的值.

【答案】（1）当时，在上为增函数；当时，在上单调递减，在上为增函数；（2）1.

【分析】(1)对函数求导分情况讨论导函数的正负进而得到单调区间；（2）根据a的情况讨论函数的.值域进而得到结果.

【详解】（1）由，得，的定义域，

①当时，，故在上为增函数，

②当时，令，得，

当时，，故为减函数，当时，，为增函数.

综上可知：当时，在上为增函数；

当时，在上单调递减，在上为增函数.

（2）当时，在上为增函数，

又，则当时，，不符合题意；

当时，函数在上取得最小值，最小值为，则.

令，则，

故在上单调递增，在上单调递减，

且，所以，

综上可知：.

【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.

21．已知椭圆的左､右焦点分别为是上一动点，的最大面积为.

(1)求的方程；

(2)若直线与交于两点，为上两点，且，求四边形面积的最大值.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据焦距求出，利用的最大面积求出，从而求出，求出椭圆方程；

（2）联立直线与椭圆方程，求出两点的坐标，从而求出，再设出直线的方程，联立椭圆方程，表达出，及四边形的面积，求出的长度的最大值，从而求出四边形的面积最大值.

【详解】(1)设椭圆的半焦距为.因为，所以，

当为上顶点或下顶点时，的面积最大，

因为的最大面积为，所以，即，

所以，所以，

所以椭圆的方程为.

(2)设，联立消去得，

解得，

所以，所以两点的坐标分别为，

所以.

因为，设四边形的面积为，

所以.

设直线的方程为.

联立消去得，

所以，

即，

，

所以

，

所以当时，，

此时.

所以四边形面积的最大值为.

【点睛】求解圆锥曲线中的四边形或三角形面积问题，通常要设出直线方程，将直线与圆锥曲线联立，求解两根之和，两根之积，再利用弦长公式，点到直线距离公式等求解线段长，表达出面积，结合基本不等式或二次函数等求出最值.

22．在直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆的极坐标方程为.

(1)求半圆的参数方程；

(2)设是半圆上的一点，且，试写出点的极坐标.

【答案】(1)（为参数，）

(2)

【分析】（1）先将半圆的极坐标方程化为直角坐标方程，继而可化为参数方程；

（2）由极坐标方程可求出点的极角，结合极径，可得答案.

【详解】(1)由，得，

代入公式 ,得，即，

故半圆的参数方程为（为参数，）.

(2)因为，所以令，

则解得.

故点的极坐标为.

23．已知均为正实数，且.证明：

(1)；

(2).

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

【分析】（1）、（2）结合综合法以及基本不等式证得不等式成立.

【详解】(1)依题意：都为正实数，且，

，当且仅当时等号成立，

上述三个式子相加得，

即成立.

(2)①，当且仅当，时等号成立.

②，当且仅当，时等号成立，

③，当且仅当，时等号成立，

①②③相加并化简得，

当且仅当时等号成立.

即成立.