天津市军粮城第二中学2020届高三上学期12月月考数学试题 Word版含答案

天津市军粮城第二中学2019—2020学年高三年级上12月数学考试题

 一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．在四边形中，，，，，，点在线段的延长线上，且，点在边所在直线上，则的最大值为（    ）

A．    B．    C．   D．

2．设集合，则（    ）

A．   B．

C．        D．

3．过点作圆的切线L，则L的方程为（    ）

A．  B．或

C．   D．或

4．已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（    ）

A．1   B．   C．  D．

5．设正实数分别满足，则的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

6．已知函数，则下列说法中，正确的是（    ）

A．的最小值为；

B．在区间上单调递增；

C．的图像关于点对称

D．将的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，可得到.

7．抛物线的焦点与双曲线的右焦点F重合，且相交于两点，直线AF交抛物线与另一点C，且与双曲线的一条渐近线平行，若，则双曲线的离心率为（    ）

A．  B．   C．2   D．3  

8．设函数在上可导，，有且；对，有恒成立，则的解集为（    ）

A．       B．

C．      D．

9．“”是“”的（    ）

A．充分不必要条件    B．必要不充分条件

C．充要条件      D．既不充分也不必要条件

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

10．复数，则  ▲  .

11．曲线在点处的切线方程为  ▲  .

12．在的二项展开式中，含项的系数是  ▲  .（用数字作答）

14．若，则的最小值为  ▲  .

15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若函数在上有四个零点，则实数的取值范围为  ▲  .

三、解答题：本大题共5个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤

16．（本小题满分14分）

在中，内角所对的边分别为.已知，.

（I）求的值；

（II）求的值.

17．（本小题满分15分）

菱形中，平面，，，

（Ⅰ）证明：直线平面；

（Ⅱ）求二面角的正弦值；

（Ⅲ）线段上是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求；若不存在，说明理由.

18．（本小题满分14分）

已知点分别是椭圆（）的左顶点和上顶点，为其右焦点，，且该椭圆的离心率为；

（I）求椭圆的标准方程；

（II）设点为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点为直线与轴的交点，线段的中垂线与轴交于点，若直线斜率为，直线的斜率为，且（为坐标原点），求直线的方程.

19．（本小题满分16分）

已知数列是公比大于1的等比数列，为数列的前项和,，且，，成等差数列．数列的前项和为，满足，且，

（I）求数列和的通项公式；

（II）令，求数列的前项和为；

（III）将数列的项按照“当为奇数时，放在前面；当为偶数时，放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：，求这个新数列的前项和．

20．（本小题满分16分）

已知，

（Ⅰ）求在处的切线方程以及的单调性；

（Ⅱ）对，有恒成立，求的最大整数解；

（Ⅲ）令，若有两个零点分别为且为的唯一的极值点，求证：.

参考答案

一、选择题：共9小题，每小题5分，共45分.

1—5：AACDB    6—9：BDCA

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

10．1   11．  12．70

13．  14．4       15．

三、解答题：本大题共5个小题，共75分.

16．（本小题满分14分）

解：

（Ⅰ）由，及，得.（2分）

由及余弦定理，得.

（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），可得，（7分）

代入，得.（8分）

由（Ⅰ）知，A为钝角，所以.（9分）

于是，（10分）

，（11分）故

.

（14分）

17．（本小题满分15分）

解：建立以为原点，分别以，（为中点），的方向为轴，轴，轴正方向的空间直角坐标系（如图），（1分）

则，，，

，，.（2分）

（Ⅰ）证明：，，

设为平面的法向量，

则，即，

可得，（3分）

又，可得，（4分）

又因为直线平面，所以直线平面；（5分）

（Ⅱ），，，

设为平面的法向量，

则，即，可得，（6分）

设为平面的法向量，

则，即，可得，（7分）

所以，（8分）

所以二面角的正弦值为；（9分）

（Ⅲ）设，则，（10分）

则，，（11分）

设为平面的法向量，

则，即，

可得，（12分）

由，得，

（13分）

解得或（舍），（14分）   所以.（15分）

18．（本小题满分14分）

解：（I）依题意知：,,，,,（1分）

则，（2分）又，∴，（3分）

∴椭圆的标准方程为：.（4分）

（II）由题意，设直线的斜率为，直线方程为

所以，设，中点为，

由消去得（5分）

∴   ∴（7分）

∴（9分）

∴中垂线方程为：令得

∴（10分）   

∴，（11分）         （12分）

解得 ∴（13分）

∴直线的方程为，即（14分）

19．（本小题满分16分）

（I）由已知，得 ，

即， 也即解得 （1分）

 故数列的通项为．（2分）

，是首项为1，公差为的等差数列，（3分）

（4分）

，（5分）

（II）（5分）

   （9分）

（10分）

（III）数列前项和，数列的前项和；

①当，（11分）

②当

⑴当时，

⑵当时,

（13分）

③当

（15分）

综上………（16分）

20．（本小题满分16分）

解：（Ⅰ）；（1分）

；（2分）

所以切线方程为；（3分）

，所以的单调递减区间为，单调递增区间为.（5分）

（Ⅱ）等价于；（6分）

，（7分）

记，所以为上的递增函数，

（8分）

且，所以

即，（9分）

所以在上递减，在上递增，

且；（10分）

所以的最大整数解为3.（11分）

（Ⅲ），得，

（12分）

当，，，；所以在上单调递减，上单调递增，而要使有两个零点，要满足，

即；（13分）

因为，，令，

由，

即：，

而

即：由，只需证：，

（14分）

令，则

令，则

故在上递增，；（15分）

故在上递增，；∴.（16分）