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四川省南充高级中学2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题 Word版含解析
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这是一份四川省南充高级中学2020届高三上学期第四次月考数学（文）试题 Word版含解析，共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2019-2020学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）
一、单选题（每小题5分，总分60分）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）
2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．使复数z为实数的充分而不必要条件为（ ）
A．z2为实数 B．z+为实数 C．z＝ D．|z|＝z
4．已知样本数据x1，x2，……，xn的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，……，2xn+5的平均数为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．15
5．已知点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则点P到直线x+y＝1距离的最大值为（ ）
A． B．2 C．+1 D．+2
6．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
7．函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则ω，φ的值分别是（ ）
A．， B．π， C．2， D．
8．某程序框图如图所示，其中g（n）＝，若输出的S＝，则判断框内可以填入的条件为（ ）
A．n＜2020？ B．n≤2020？ C．n＞2020？ D．n≥2020？
9．已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．若曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣，+∞）
C．（1﹣，1） D．（1，e）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ．
14．已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则λ的取值集合为 ．
15．若函数，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有 对．
16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），且tanC＝3，则角B为 ．
三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）
17．在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn＝an+bn，求{cn}的前n项和Sn．
18．已知函数f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（），且f（﹣）＝f（0）．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[]上的最大值和最小值．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．
（1）试证：CD⊥平面BEF；
（2）求BC与平面BEF所成角的大小；
（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．
20．已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x＝﹣2的距离小1．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．
21．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）＝ex﹣x﹣e2+2，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求C1和C2的参数方程
（Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（0），将l1逆时针旋转得到l2；θ＝，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）≤6；
（2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围．
2019-2020学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，总分60分）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）
【解答】解：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x≤2}，
∴A∩B＝[1，2]．
故选：A．
2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为＝6个，
而取到红楼梦包含＝3个基本事件，
所以取到《红楼梦》的概率为P＝＝，
故选：B．
3．使复数z为实数的充分而不必要条件为（ ）
A．z2为实数 B．z+为实数 C．z＝ D．|z|＝z
【解答】解：设复数z＝a+bi（i是虚数单位），则
复数z为实数的充分必要条件为b＝0
由此可看出：对于A，z2为实数，可能z＝i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；
对于B，同样若z是纯虚数，则z+＝0为实数，没有充分性，故不符合题意；
对于C，若z＝a+bi，＝a﹣bi，z＝等价于b＝0，故是充分必要条件，故不符合题意；
对于D，若|z|＝z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|＝z不成立，符合题意．
故选：D．
4．已知样本数据x1，x2，……，xn的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，……，2xn+5的平均数为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．15
【解答】解：x1+x2+…+xn＝5n，
2x1+5+2x2+5+…+2xn+5＝2•（5n）+5n＝15n，
所以新的样本数据2x1+5，2x2+5，2xn+5的平均数为15，
故选：D．
5．已知点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则点P到直线x+y＝1距离的最大值为（ ）
A． B．2 C．+1 D．+2
【解答】解：圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1的圆心（3+cosθ，sinθ），半径为1，
点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，
则圆心到直线x+y＝1距离为：＝≤，当且仅当sin（）＝1时点P到直线x+y＝1距离的最大值为：+2．
故选：D．
6．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D．
7．函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则ω，φ的值分别是（ ）
A．， B．π， C．2， D．
【解答】解：根据题意知，，设N（x，﹣1），且，
∴，解得x＝2，
∴根据图象得，，解得．
故选：A．
8．某程序框图如图所示，其中g（n）＝，若输出的S＝，则判断框内可以填入的条件为（ ）
A．n＜2020？ B．n≤2020？ C．n＞2020？ D．n≥2020？
【解答】解：由题得，则S＝g（1）+g（2）+g（3）+…g（n）＝＝，
因为S＝，故n＝2019，由于判断框为否时输出，故n＜2020，
故选：A．
9．已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵、为三个单位向量，且，
将（x，y∈R）两边平方，
得＝2+2+2xy，
所以 x2+y2＝1，
∵（x+y）2＝x2+y2+2xy≤2（x2+y2）＝2，
∴x+y≤，
所以x+y 最大值为．
故选：B．
10．若曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
【解答】解：f（2）＝（2a﹣1）e2﹣2＝2a﹣1；
f′（x）＝aex﹣2+（ax﹣1）ex﹣2＝ex﹣2（ax+a﹣1）；
则点（2，2a﹣1）处的切线斜率为f′（2）＝3a﹣1；
∵切线过点（3，3）；
∴，解得a＝1；
∴f′（x）＝xex﹣2；
令f′（x）＝0，解得x＝0；
∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
故选：A．
11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：过M作MN⊥平面ABCD，交AB于N，过N作NQ∥AD，交CD于Q，
过Q作QH∥PD，交PC于H，连结MH，
则平面MNQH是所求的平面α，
∵过点M作平面α∥平面PAD，
截棱锥所得图形面积为y，平面α与平面PAD之间的距离为x，
∴，解得MN＝4﹣2x，
＝＝，即，∴MH＝x，NQ＝2，
∴函数y＝f（x）＝＝﹣x2+4，（0＜x＜2）．
∴函数y＝f（x）的图象如下图．
故选：D．
12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣，+∞）
C．（1﹣，1） D．（1，e）
【解答】解：由题意f′（x）＝．
令f′（x）＝＜0，解得x＞1；
令f′（x）＝＞0，解得x＜1；
令f′（x）＝＝0，解得x＝1．
∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
在x＝1处取极大值．
f（x）大致图象如下：
假设m＝2，令t＝f（x）．
则t2+2t+1＝0．解得t＝﹣1，即f（x）＝﹣1．
根据f（x）图象，很明显此时只有一个解，
故m＝2不符合题意，由此排除B、D选项；
假设m＝3，
则t2+3t+2＝0，解得t1＝﹣2，t2＝﹣1．
即f（x）＝﹣2，或f（x）＝﹣1．
根据f（x）图象，很明显此时方程只有两个解，
故m＝3不符合题意，由此排除A选项．
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 4cm2 ．
【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2，
所以扇形的面积为：＝4cm2；
故答案为4cm2．
14．已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则λ的取值集合为 （﹣，）∪（，+∞） ．
【解答】解：∵向量，若向量与向量夹角为钝角，
∴＝﹣2λ﹣3＜0，且与 不共线，
即λ＞﹣ 且≠，即λ＞﹣ 且λ≠，
故答案为：（﹣，）∪（，+∞）．
15．若函数，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有 4 对．
【解答】解：y＝f（x）图象上关于原点O对称的点的个数
只需观察
f（x）＝|lg（x﹣1）|（x＞1）的图象与f（x）＝sinx关于原点对称的函数的图象
交点个数即可，
上图可知：
两个图象交点个数为4个，
故答案为：4．
16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），且tanC＝3，则角B为 ．
【解答】解：△ABC中，c2＝3（a2﹣b2），得a2﹣b2＝，且b＜a，
所以B为锐角；
因为cosB＝＝＝＝，
即3sinAcosB＝2sinC＝2sin（A+B），
整理得sinAcosB＝2cosAsinB，
则有tanA＝2tanB；
又tanC＝3，
所以tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝＝3，
化简得2tan2B﹣tanB﹣1＝0，解得tanB＝1或tanB＝﹣（不合题意，舍去）；
又B为锐角，所以角B＝．
故答案为：．
三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）
17．在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn＝an+bn，求{cn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1），
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
则．
因为﹣2，
所以bn＝3n﹣2．
（2）由（1）知，，bn＝3n﹣2，
所以．
所以，
＝，
＝．
18．已知函数f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（），且f（﹣）＝f（0）．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（）
＝asinxcosx﹣．
∵f（﹣）＝f（0），∴a＝2．
则f（x）＝．
则T＝π；
（2）∵x∈[]，∴2x﹣∈[]，
则sin（2x﹣）∈[﹣]，f（x）∈[﹣1，2]．
则当x＝时，f（x）min＝﹣1，当x＝时，f（x）max＝2．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．
（1）试证：CD⊥平面BEF；
（2）求BC与平面BEF所成角的大小；
（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，
∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，
∴DC⊥BF，
又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，
在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．
由此得DC⊥平面BEF；
（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，
在Rt△BFC中，BF＝AD＝2，CF＝，
∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；
（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，
在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，则PA•AD＝PD•h，
得h＝，∴A到平面PDC的距离为，
即B到平面PDC的距离为，
，
∴VP﹣DBE＝VB﹣PDE＝＝．
20．已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x＝﹣2的距离小1．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x＝﹣1的距离，
根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线． …
∵p＝2，∴点M的轨迹C的方程：y2＝4x．…
证明：（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则点P的坐标为（，）．
由题意可设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），（k≠0），
由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．
△＝（2k2+4）2﹣4k4＝16k2+16＞0．…
∵直线l1与曲线C于A，B两点，
∴，．
∴点P的坐标为（1+，）．…
由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．…
当k≠±1时，有1+≠1+2k2，
此时直线PQ的斜率kPQ＝＝．…
∴直线PQ的方程为y+2k＝（x﹣1﹣2k2），
整理得yk2+（x﹣3）k﹣y＝0．
于是，直线PQ恒过定点E（3，0），
当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）． …
解：（Ⅲ）由题意得|EF|＝2，
∴△FPQ的面积S+≥4．
当且仅当k＝±1时，“＝”成立，
∴△FPQ面积的最小值为4．…
21．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）＝ex﹣x﹣e2+2，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）．
①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．
②当时，，
在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是．
③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；区间上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．
（Ⅱ）设g'（x）＝ex﹣1，x∈（0，2]，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
由已知，g（x2）max＝g（2）＝0．f（x）max＜0由（I）可知，
①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f（x）max＝f（2）＝2a﹣2（2a+1）+2ln2＝﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．
②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故．
由可知，a＞，所以a＞，
综上a＞ln2﹣1．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求C1和C2的参数方程
（Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（0），将l1逆时针旋转得到l2；θ＝，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标．
【解答】解：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4
所以C1参数方程为为参数）．…
曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．
所以C2参数方程为为参数） …
（Ⅱ）设点P极坐标为（ρ1，α），即ρ1＝4cosα，
点Q极坐标为，即．…
则
＝＝…
∵，
当时|OP|•|OQ|取最大值，
此时P点的极坐标为．…
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）≤6；
（2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为﹣3x+3≤6，
解得x≥﹣1，所以取；
当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，
解得x≤1，所以取；
当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x﹣3≤6，
解得x≤3，不合题意，舍去；
综上知，不等式f（x）≤6的解集为[﹣1，1]．
（2）由题意知，f（x）+|x﹣4|＝|2x+1|+|2x﹣8|≥|（2x+1）﹣（2x﹣8）|＝9，
当且仅当﹣≤x≤4时取等号；
由不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，则a2﹣8a＞9，
即（a﹣9）（a+1）＞0，解得a＜﹣1或a＞9；
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．
2019-2020学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）
一、单选题（每小题5分，总分60分）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）
2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．使复数z为实数的充分而不必要条件为（ ）
A．z2为实数 B．z+为实数 C．z＝ D．|z|＝z
4．已知样本数据x1，x2，……，xn的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，……，2xn+5的平均数为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．15
5．已知点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则点P到直线x+y＝1距离的最大值为（ ）
A． B．2 C．+1 D．+2
6．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
7．函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则ω，φ的值分别是（ ）
A．， B．π， C．2， D．
8．某程序框图如图所示，其中g（n）＝，若输出的S＝，则判断框内可以填入的条件为（ ）
A．n＜2020？ B．n≤2020？ C．n＞2020？ D．n≥2020？
9．已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
10．若曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣，+∞）
C．（1﹣，1） D．（1，e）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 ．
14．已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则λ的取值集合为 ．
15．若函数，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有 对．
16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），且tanC＝3，则角B为 ．
三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）
17．在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn＝an+bn，求{cn}的前n项和Sn．
18．已知函数f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（），且f（﹣）＝f（0）．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[]上的最大值和最小值．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．
（1）试证：CD⊥平面BEF；
（2）求BC与平面BEF所成角的大小；
（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．
20．已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x＝﹣2的距离小1．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．
21．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）＝ex﹣x﹣e2+2，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求C1和C2的参数方程
（Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（0），将l1逆时针旋转得到l2；θ＝，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）≤6；
（2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围．
2019-2020学年四川省南充高中高三（上）第四次月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、单选题（每小题5分，总分60分）
1．已知集合，则A∩B＝（ ）
A．[1，2] B．[0，2] C．（﹣∞，1] D．[2，+∞）
【解答】解：∵A＝{y|y≥1}，B＝{x|x≤2}，
∴A∩B＝[1，2]．
故选：A．
2．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》我国古典小说四大名著若在这四大名著中，任取2种进行阅读，则取到《红楼梦》的概率为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，任取2种名著进行阅读，包含的基本事件个数为＝6个，
而取到红楼梦包含＝3个基本事件，
所以取到《红楼梦》的概率为P＝＝，
故选：B．
3．使复数z为实数的充分而不必要条件为（ ）
A．z2为实数 B．z+为实数 C．z＝ D．|z|＝z
【解答】解：设复数z＝a+bi（i是虚数单位），则
复数z为实数的充分必要条件为b＝0
由此可看出：对于A，z2为实数，可能z＝i是纯虚数，没有充分性，故不符合题意；
对于B，同样若z是纯虚数，则z+＝0为实数，没有充分性，故不符合题意；
对于C，若z＝a+bi，＝a﹣bi，z＝等价于b＝0，故是充分必要条件，故不符合题意；
对于D，若|z|＝z≥0，说明z是实数，反之若z是负实数，则|z|＝z不成立，符合题意．
故选：D．
4．已知样本数据x1，x2，……，xn的平均数是5，则新的样本数据2x1+5，2x2+5，……，2xn+5的平均数为（ ）
A．5 B．7 C．10 D．15
【解答】解：x1+x2+…+xn＝5n，
2x1+5+2x2+5+…+2xn+5＝2•（5n）+5n＝15n，
所以新的样本数据2x1+5，2x2+5，2xn+5的平均数为15，
故选：D．
5．已知点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，则点P到直线x+y＝1距离的最大值为（ ）
A． B．2 C．+1 D．+2
【解答】解：圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1的圆心（3+cosθ，sinθ），半径为1，
点P是圆C：（x﹣3﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝1上任意一点，
则圆心到直线x+y＝1距离为：＝≤，当且仅当sin（）＝1时点P到直线x+y＝1距离的最大值为：+2．
故选：D．
6．函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，且为奇函数．若f（1）＝﹣1，则满足﹣1≤f（x﹣2）≤1的x的取值范围是（ ）
A．[﹣2，2] B．[﹣1，1] C．[0，4] D．[1，3]
【解答】解：∵函数f（x）为奇函数．
若f（1）＝﹣1，则f（﹣1）＝1，
又∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）单调递减，﹣1≤f（x﹣2）≤1，
∴f（1）≤f（x﹣2）≤f（﹣1），
∴﹣1≤x﹣2≤1，
解得：x∈[1，3]，
故选：D．
7．函数f（x）＝sin（ωx+φ），（ω＞0，0＜φ＜）在一个周期内的图象如图所示，M、N分别是图象的最高点和最低点，其中M点横坐标为，O为坐标原点，且，则ω，φ的值分别是（ ）
A．， B．π， C．2， D．
【解答】解：根据题意知，，设N（x，﹣1），且，
∴，解得x＝2，
∴根据图象得，，解得．
故选：A．
8．某程序框图如图所示，其中g（n）＝，若输出的S＝，则判断框内可以填入的条件为（ ）
A．n＜2020？ B．n≤2020？ C．n＞2020？ D．n≥2020？
【解答】解：由题得，则S＝g（1）+g（2）+g（3）+…g（n）＝＝，
因为S＝，故n＝2019，由于判断框为否时输出，故n＜2020，
故选：A．
9．已知平面向量、为三个单位向量，且．满足（x，y∈R），则x+y的最大值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【解答】解：∵、为三个单位向量，且，
将（x，y∈R）两边平方，
得＝2+2+2xy，
所以 x2+y2＝1，
∵（x+y）2＝x2+y2+2xy≤2（x2+y2）＝2，
∴x+y≤，
所以x+y 最大值为．
故选：B．
10．若曲线f（x）＝（ax﹣1）ex﹣2在点（2，f（2））处的切线过点（3，3），则函数f（x）的单调递增区间为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0） C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）
【解答】解：f（2）＝（2a﹣1）e2﹣2＝2a﹣1；
f′（x）＝aex﹣2+（ax﹣1）ex﹣2＝ex﹣2（ax+a﹣1）；
则点（2，2a﹣1）处的切线斜率为f′（2）＝3a﹣1；
∵切线过点（3，3）；
∴，解得a＝1；
∴f′（x）＝xex﹣2；
令f′（x）＝0，解得x＝0；
∴当x∈（﹣∞，0）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
∴f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
故选：A．
11．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝4，M是PB上的一个动点，过点M作平面α∥平面PAD，截棱锥所得图形面积为y，若平面α与平面PAD之间的距离为x，则函数y＝f（x）的图象是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：过M作MN⊥平面ABCD，交AB于N，过N作NQ∥AD，交CD于Q，
过Q作QH∥PD，交PC于H，连结MH，
则平面MNQH是所求的平面α，
∵过点M作平面α∥平面PAD，
截棱锥所得图形面积为y，平面α与平面PAD之间的距离为x，
∴，解得MN＝4﹣2x，
＝＝，即，∴MH＝x，NQ＝2，
∴函数y＝f（x）＝＝﹣x2+4，（0＜x＜2）．
∴函数y＝f（x）的图象如下图．
故选：D．
12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程[f（x）]2+mf（x）+m﹣1＝0恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，2）∪（2，+∞） B．（1﹣，+∞）
C．（1﹣，1） D．（1，e）
【解答】解：由题意f′（x）＝．
令f′（x）＝＜0，解得x＞1；
令f′（x）＝＞0，解得x＜1；
令f′（x）＝＝0，解得x＝1．
∴f（x）在（﹣∞，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
在x＝1处取极大值．
f（x）大致图象如下：
假设m＝2，令t＝f（x）．
则t2+2t+1＝0．解得t＝﹣1，即f（x）＝﹣1．
根据f（x）图象，很明显此时只有一个解，
故m＝2不符合题意，由此排除B、D选项；
假设m＝3，
则t2+3t+2＝0，解得t1＝﹣2，t2＝﹣1．
即f（x）＝﹣2，或f（x）＝﹣1．
根据f（x）图象，很明显此时方程只有两个解，
故m＝3不符合题意，由此排除A选项．
故选：C．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13．若2弧度的圆心角所对的弧长为4cm，则这个圆心角所夹的扇形的面积是 4cm2 ．
【解答】解：弧度是2的圆心角所对的弧长为4，所以圆的半径为：2，
所以扇形的面积为：＝4cm2；
故答案为4cm2．
14．已知向量，若向量与向量夹角为钝角，则λ的取值集合为 （﹣，）∪（，+∞） ．
【解答】解：∵向量，若向量与向量夹角为钝角，
∴＝﹣2λ﹣3＜0，且与 不共线，
即λ＞﹣ 且≠，即λ＞﹣ 且λ≠，
故答案为：（﹣，）∪（，+∞）．
15．若函数，则y＝f（x）图象上关于原点O对称的点共有 4 对．
【解答】解：y＝f（x）图象上关于原点O对称的点的个数
只需观察
f（x）＝|lg（x﹣1）|（x＞1）的图象与f（x）＝sinx关于原点对称的函数的图象
交点个数即可，
上图可知：
两个图象交点个数为4个，
故答案为：4．
16．设a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，已知c2＝3（a2﹣b2），且tanC＝3，则角B为 ．
【解答】解：△ABC中，c2＝3（a2﹣b2），得a2﹣b2＝，且b＜a，
所以B为锐角；
因为cosB＝＝＝＝，
即3sinAcosB＝2sinC＝2sin（A+B），
整理得sinAcosB＝2cosAsinB，
则有tanA＝2tanB；
又tanC＝3，
所以tan[π﹣（A+B）]＝﹣tan（A+B）＝＝＝3，
化简得2tan2B﹣tanB﹣1＝0，解得tanB＝1或tanB＝﹣（不合题意，舍去）；
又B为锐角，所以角B＝．
故答案为：．
三、解答题（共70分.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）
17．在数列{an}中，已知．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设数列{cn}满足cn＝an+bn，求{cn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1），
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列，
则．
因为﹣2，
所以bn＝3n﹣2．
（2）由（1）知，，bn＝3n﹣2，
所以．
所以，
＝，
＝．
18．已知函数f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（），且f（﹣）＝f（0）．
（1）求函数y＝f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在[]上的最大值和最小值．
【解答】解：（1）f（x）＝cosx（asinx﹣cosx）+cos2（）
＝asinxcosx﹣．
∵f（﹣）＝f（0），∴a＝2．
则f（x）＝．
则T＝π；
（2）∵x∈[]，∴2x﹣∈[]，
则sin（2x﹣）∈[﹣]，f（x）∈[﹣1，2]．
则当x＝时，f（x）min＝﹣1，当x＝时，f（x）max＝2．
19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB＝2PA＝2，E、F分别为PC、CD的中点．
（1）试证：CD⊥平面BEF；
（2）求BC与平面BEF所成角的大小；
（3）求三棱锥P﹣DBE的体积．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点，
∴四边形ABFD为平行四边形，又∠DAB为直角，
∴DC⊥BF，
又PA⊥底面ABCD，∴平面PAD⊥平面ABCD，
∵DC⊥AD，故DC⊥平面PAD，∴DC⊥PD，
在△PCD内，E、F分别是PC、CD的中点，EF∥PD，∴DC⊥EF．
由此得DC⊥平面BEF；
（2）解：由（1）知，DC⊥平面BEF，则∠CBF为BC与平面BEF所成角，
在Rt△BFC中，BF＝AD＝2，CF＝，
∴tan，则BC与平面BEF所成角的大小为；
（3）解：由（1）知，CD⊥平面PAD，则平面PDC⊥平面PAD，
在Rt△PAD中，设A到PD的距离为h，则PA•AD＝PD•h，
得h＝，∴A到平面PDC的距离为，
即B到平面PDC的距离为，
，
∴VP﹣DBE＝VB﹣PDE＝＝．
20．已知动点M到定点F（1，0）的距离比M到定直线x＝﹣2的距离小1．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F任意作互相垂直的两条直线l1，l2，分别交曲线C于点A，B和M，N．设线段AB，MN的中点分别为P，Q，求证：直线PQ恒过一个定点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△FPQ面积的最小值．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可知：动点M到定点F（1，0）的距离等于M到定直线x＝﹣1的距离，
根据抛物线的定义可知，点M的轨迹C是抛物线． …
∵p＝2，∴点M的轨迹C的方程：y2＝4x．…
证明：（Ⅱ）设A，B两点坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
则点P的坐标为（，）．
由题意可设直线l1的方程为y＝k（x﹣1），（k≠0），
由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．
△＝（2k2+4）2﹣4k4＝16k2+16＞0．…
∵直线l1与曲线C于A，B两点，
∴，．
∴点P的坐标为（1+，）．…
由题知，直线l2的斜率为﹣，同理可得点Q的坐标为（1+2k2，﹣2k）．…
当k≠±1时，有1+≠1+2k2，
此时直线PQ的斜率kPQ＝＝．…
∴直线PQ的方程为y+2k＝（x﹣1﹣2k2），
整理得yk2+（x﹣3）k﹣y＝0．
于是，直线PQ恒过定点E（3，0），
当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E（3，0）．
综上所述，直线PQ恒过定点E（3，0）． …
解：（Ⅲ）由题意得|EF|＝2，
∴△FPQ的面积S+≥4．
当且仅当k＝±1时，“＝”成立，
∴△FPQ面积的最小值为4．…
21．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设g（x）＝ex﹣x﹣e2+2，若对任意x1∈（0，2]，均存在x2∈（0，2]使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）．
①当a≤0时，x＞0，ax﹣1＜0，
在区间（0，2）上，f'（x）＞0；在区间（2，+∞）上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2），单调递减区间是（2，+∞）．
②当时，，
在区间（0，2）和上，f'（x）＞0；在区间上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是（0，2）和，单调递减区间是．
③当时，，故f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．
④当时，，在区间和（2，+∞）上，f'（x）＞0；区间上f'（x）＜0，
故f（x）的单调递增区间是和（2，+∞），单调递减区间是．
（Ⅱ）设g'（x）＝ex﹣1，x∈（0，2]，g'（x）＞0，g（x）为增函数，
由已知，g（x2）max＝g（2）＝0．f（x）max＜0由（I）可知，
①当时，f（x）在（0，2]上单调递增，
故f（x）max＝f（2）＝2a﹣2（2a+1）+2ln2＝﹣2a﹣2+2ln2，
所以，﹣2a﹣2+2ln2＜0，解得a＞ln2﹣1，故．
②当时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，
故．
由可知，a＞，所以a＞，
综上a＞ln2﹣1．
（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ，以极点O为坐标原点，极轴为x的正半轴建立平面直角坐标系xOy
（Ⅰ）求C1和C2的参数方程
（Ⅱ）已知射线l1：θ＝α（0），将l1逆时针旋转得到l2；θ＝，且l1与C1交于O，P两点，l2与C2交于O，Q两点，求|OP|•|OQ|取得最大值时点P的极坐标．
【解答】解：（Ⅰ）在直角坐标系中，曲线C1的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4
所以C1参数方程为为参数）．…
曲线C2的直角坐标方程为x2+（y﹣2）2＝4．
所以C2参数方程为为参数） …
（Ⅱ）设点P极坐标为（ρ1，α），即ρ1＝4cosα，
点Q极坐标为，即．…
则
＝＝…
∵，
当时|OP|•|OQ|取最大值，
此时P点的极坐标为．…
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|2x+1|+|x﹣4|．
（1）解不等式f（x）≤6；
（2）若不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）由已知得当时，不等式f（x）≤6化为﹣3x+3≤6，
解得x≥﹣1，所以取；
当时，不等式f（x）≤6化为x+5≤6，
解得x≤1，所以取；
当x＞4时，不等式f（x）≤6化为3x﹣3≤6，
解得x≤3，不合题意，舍去；
综上知，不等式f（x）≤6的解集为[﹣1，1]．
（2）由题意知，f（x）+|x﹣4|＝|2x+1|+|2x﹣8|≥|（2x+1）﹣（2x﹣8）|＝9，
当且仅当﹣≤x≤4时取等号；
由不等式f（x）+|x﹣4|＜a2﹣8a有解，则a2﹣8a＞9，
即（a﹣9）（a+1）＞0，解得a＜﹣1或a＞9；
所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（9，+∞）．
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