2020届福建省厦门外国语学校高三上学期12月月考数学（理）试题（解析版）

2020届福建省厦门外国语学校高三上学期12月月考数学（理）试题

一、单选题

1．已知全集，集合，则等于（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题设条件先求出集合A，再由补集的运算求出，然后再由交集的运算求．

【详解】

解：∵，∴，∴，

∴，又，

∴，

故选：C．

【点睛】

本题考查集合的交集、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意对数性质的灵活运用．

2．，则的值为（   ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】先利用诱导公式求解，再利用二倍角公式求解即可

【详解】

因为，所以，所以.

故选.

【点睛】

本题考查诱导公式和二倍角公式，熟记公式是关键，是基础题

3．2019年是中国成立70周年，也是全面建成小康社会的关键之年.为了迎祖国70周年生日，全民齐心奋力建设小康社会，某校特举办“喜迎国庆，共建小康”知识竞赛活动.下面的茎叶图是参赛两组选手答题得分情况，则下列说法正确的是（     ）

A．甲组选手得分的平均数小于乙组选手的平均数

B．甲组选手得分的中位数大于乙组选手的中位数

C．甲组选手得分的中位数等于乙组选手的中位数

D．甲组选手得分的方差大于乙组选手的的方差

【答案】D

【解析】先分析处理茎叶图的信息，再结合平均数、中位数、方差的概念进行运算即可得解．

【详解】

解：由茎叶图可知：

①甲组选手得分的平均数，乙组选手得分的平均数，，故选项A错误；

②甲组选手得分的中位数为83，乙组选手得分的中位数为84，即甲组选手得分的中位数小于乙组选手的中位数，即选项B、选项C错误，

③因为甲组选手得分的方差：

，

乙组选手得分的方差：

，

，即选项D正确，

故选：D．

【点睛】

本题考查了茎叶图及平均数、中位数、方差的运算，属中档题．

4．执行右图所示的程序框图，则输出的（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．

【详解】

第一次执行循环体后，n＝1，不满足退出循环的条件，

第二次执行循环体后，n＝2，不满足退出循环的条件，

第三次执行循环体后，n＝3，不满足退出循环的条件，

第四次执行循环体后，n＝4，不满足退出循环的条件，

第四次执行循环体后，n＝5，满足退出循环的条件，

故输出的n值为5，

故选：C．

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．

5．使命题：，为假命题的一个充分不必要条件为（     ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先求命题的等价条件，结合充分不必要条件的定义转化为集合真子集关系进行求解即可．

【详解】

解：若命题：，为假命题，

则命题命题：，为真命题，

则，即，解得，

∴命题的等价条件为，则对应的充分不必要条件为的一个真子集，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查充分条件和必要条件的应用，求出的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义转化为集合真子集关系是解决本题的关键．

6．若，，则的大小关系（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】利用对数函数的性质，以及微积分定理与比较即可.

【详解】

，

故选：D

【点睛】

本题考查实数大小的比较，考查对数函数的性质，微积分定理，考查利用中间量比较大小，属于常考题型.

7．已知数列满足是首项为1,公比为的等比数列,则

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】∵数列满足是首项为1,公比为的等比数列，

∴=2n−1，

∴an=a1×××…×=1×21×22×…×2n−1=，

∴a101=25050.

故选：C.

8．下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥．在圆内随机取一点，则该点取自阴影区域内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（  ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】令圆的半径为1，则，故选C。

9．如图，正方形网格纸中的实线图形是一个多面体的三视图，则该多面体各表面所在平面互相垂直的有（   ）

A．2对 B．3对

C．4对 D．5对

【答案】C

【解析】画出该几何体的直观图，易证平面平面，平面平面，平面平面，平面平面，从而可选出答案。

【详解】

该几何体是一个四棱锥，直观图如下图所示，易知平面平面，

作PO⊥AD于O，则有PO⊥平面ABCD，PO⊥CD，

又AD⊥CD，所以，CD⊥平面PAD，

所以平面平面，

同理可证：平面平面，

由三视图可知：PO＝AO＝OD，所以，AP⊥PD，又AP⊥CD，

所以，AP⊥平面PCD，所以，平面平面，

所以该多面体各表面所在平面互相垂直的有4对．

【点睛】

本题考查了空间几何体的三视图，考查了四棱锥的结构特征，考查了面面垂直的证明，属于中档题。

10．已知直线与双曲线交于两点，以为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点，若的面积为，则双曲线的离心率为

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】通过双曲线和圆的对称性，将的面积转化为的面积；利用焦点三角形面积公式可以建立与的关系，从而推导出离心率.

【详解】

由题意可得图像如下图所示：为双曲线的左焦点

为圆的直径   

根据双曲线、圆的对称性可知：四边形为矩形

又，可得：

本题正确选项：

【点睛】

本题考查双曲线的离心率求解，离心率问题的求解关键在于构造出关于的齐次方程，从而配凑出离心率的形式.

11．中，,,,为线段上任意一点，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】先设PA＝x，x∈[0，]，利用向量数量积的运算性质可求，结合二次函数的性质即可求解．

【详解】

△ABC中，设PA＝x，x∈[0，]，

则（）•x（﹣x）×cos180°+2（﹣x）×cos45°

＝x2﹣x+4，

∵x∈[0，]，

由二次函数的性质可知，当x时，有最小值；

当x＝0时，有最大值4，

所求的范围是[，4]．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了向量的基本定理及向量的数量积的运算性质，二次函数的性质等知识的简单应用，属于中档题．

12．已知定义在上的连续可导函数无极值，且，若在上与函数的单调性相同，则实数的取值范围是(    )

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】根据连续可导且无极值，结合，判断出为单调递减函数.对求导后分离常数，利用三角函数的值域求得的取值范围.

【详解】

由于连续可导且无极值，故函数为单调函数.故可令，使成立，故，故为上的减函数.故在上为减函数.即在上恒成立，即，由于，故，，所以，故选A.

【点睛】

本小题主要考查函数的单调性与极值，考查利用导数求解不等式恒成立问题，属于中档题.

二、填空题

13．已知复数，其中，为虚数单位，且，则_______

【答案】

【解析】利用复数代数形式的除法运算先化简，再根据复数的模的计算公式求．

【详解】

解：∵，

又，∴，∴，∴，

故答案为：．

【点睛】

本题考查复数代数形式的除法运算与复数的模，属于常考题．

14．已知圆锥的顶点为，底面圆周上的两点、满足为等边三角形，且面积为，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为__________.

【答案】

【解析】由等边△SAB的面积求出母线l的值，再求出圆锥底面半径r和高h，从而求得圆锥的侧面积．

【详解】

解：设圆锥母线长为l，由△SAB为等边三角形，且面积为，

所以，解得l=4；

又设圆锥底面半径为r，高为h，

则由轴截面的面积为8，得rh=8；

又，解得，

所以圆锥的侧面积

故答案为：．

【点睛】

本题考查了圆锥的结构特征应用问题，也考查了三角形边角关系应用问题，是中档题．

15．已知点在轴上，点是抛物线的焦点，直线与抛物线交于，  两点，若点为线段的中点，且，则__________．

【答案】8

【解析】设，又，由为的中点，求得，直线的方程代入，得，求得点N的横坐标，利用抛物线的定义，即可求解。

【详解】

设，又，因为为的中点，

所以点的坐标为，则，即，

又由，则，即，

直线的方程为，代入，得，

设，则，解得，

由抛物线的定义得：，解得：。

【点睛】

本题主要考查了抛物线的标准方程，以及直线与抛物线的位置关系的应用，其中解答中把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系和抛物线的定义合理计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题。

16．在中，内角的对边分别为，角为锐角，且，则的取值范围为__________．

【答案】

【解析】设，则，由，得,.

由余弦定理得由角为锐角得，所以，所以，即.

故答案为：

三、解答题

17．已知数列的前项和为，满足：，，数列为等比数列，满足，，． 

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）若数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小．

【答案】（Ⅰ）；.（Ⅱ） .

【解析】（Ⅰ）由题意可得数列为首项和公差均为1的等差数列，即可得到所求的通项公式；再由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，即可得到的通项公式；

（Ⅱ）由，运用裂项相消求和可得，由等比数列的求和公式可得，由不等式的性质即可得到大小关系．

【详解】

（Ⅰ），，

可得，

即数列为首项和公差均为1的等差数列，

可得；

数列为等比数列，满足，，．

设公比为，可得，可得，

即有时，，可得；

不成立，舍去，

则；

（Ⅱ），

；

，则，

即有．

【点睛】

本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的裂项相消求和，以及不等式的性质，考查运算能力和推理能力，属于中档题．

18．已知在多面体中，，，，，且平面平面.

（1）设点为线段的中点，试证明平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

【答案】（1）详见解析（2）

【解析】（1）由四边形为平行四边形.∴，再结合平面，即可证明平面；

（2）由空间向量的应用，建立以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴的空间直角坐标系，再求出平面的法向量，平面的法向量，再利用向量夹角公式求解即可.

【详解】

（1）证明：取的中点，连接，，

∵在中，∴.

∴由平面平面，且交线为得平面.

∵，分别为，的中点，∴，且.

又，，∴，且.

∴四边形为平行四边形.∴，

∴平面.

（2）∵平面，，

∴以为原点，所在直线为轴，过点与平行的直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系.则，，.

∵平面，∴直线与平面所成的角为.

∴.∴.

可取平面的法向量，

设平面的法向量，，，

则，取，则，.∴，

∴，

∴二面角的余弦值为.

【点睛】

本题考查了线面垂直的判定及利用空间向量求解二面角的大小，重点考查了空间想象能力，属中档题.

19．自由购是通过自助结算方式购物的一种形式.某大型超市为调查顾客使用自由购的情况，随机抽取了100人，统计结果整理如下：

（Ⅰ）现随机抽取1名顾客，试估计该顾客年龄在且未使用自由购的概率；

（Ⅱ）从被抽取的年龄在使用自由购的顾客中，随机抽取3人进一步了解情况，用表示这3人中年龄在的人数,求随机变量的分布列及数学期望；

（Ⅲ）为鼓励顾客使用自由购，该超市拟对使用自由购的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该超市预计有5000人购物，试估计该超市当天至少应准备多少个环保购物袋.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）2200

【解析】（Ⅰ）随机抽取的100名顾客中，年龄在[30，50）且未使用自由购的有3+14＝17人，由概率公式即可得到所求值；

（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，求出相应的概率值，即可得到分布列与期望；

（Ⅲ）随机抽取的100名顾客中，使用自由购的有44人，计算可得所求值．

【详解】

解：（Ⅰ）在随机抽取的100名顾客中，

年龄在[30,50)且未使用自由购的共有3+14=17人，

所以，随机抽取1名顾客，估计该顾客年龄在[30,50)且未使用自由购的概率为．

（Ⅱ）所有的可能取值为1,2,3，

,

,

.

所以的分布列为

所以的数学期望为.

（Ⅲ）在随机抽取的100名顾客中，

使用自由购的共有人，

所以该超市当天至少应准备环保购物袋的个数估计为

.

【点睛】

本题考查统计表，随机变量X的分布列及数学期望，以及古典概型，比较综合．

20．已知椭圆的方程为，点为长轴的右端点．为椭圆上关于原点对称的两点．直线与直线的斜率满足：．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与圆相切，且与椭圆相交于两点，求证：以线段为直径的圆恒过原点．

【答案】（1）（2）见证明

【解析】（1）由可得的值，从而得到椭圆的标准方程；

（2）原问题等价于，联立方程，利用韦达定理即可得到结果.

【详解】

解：（1）设则 

由得， 

由，即得，

所以，所以

即椭圆的标准方程为：

（2）设

由得：

又与圆C相切，所以即

所以

所以，，即

所以，以线段为直径的圆经过原点.

【点睛】

圆锥曲线中定点问题的常见解法

（1）假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；

（2）从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．

21．已知，函数

(1)讨论函数的单调性；

(2)若是的极值点，且曲线在两点，处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为、，求的取值范围.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】（1）根据导数和函数的关系即可求出函数的单调区间，

（2）由x＝2是f（x）的极值点，以及导数的几何意义，可求出相对应的切线方程，根据切线平行可得，同理，．求出b1﹣b2，再构造函数，

利用导数，即可求出b1﹣b2的取值范围

【详解】

（1），

①当a≤0时，f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，∴f（x）在（0，+∞）上单调递减；

②当a＞0时，时f'（x）＜0，时，f'（x）＞0，

即f（x）在上单调递减，在单调递增；

（2）∵x=2是f（x）的极值点，∴由（1）可知，

∴a=1，设在P（x1，f（x1））处的切线方程为，

在Q（x2，f（x2））处的切线方程为

∴若这两条切线互相平行，则，∴

∵，且0＜x1＜x2＜6，∴，∴，

∴x1∈（3，4）令x=0，则，

同理，．

【解法一】

∵，∴

设，

∴

∴g（x）在区间上单调递减，∴

即b1-b2的取值范围是．

【解法二】

∵，

∴

令，其中x∈（3，4）

∴

∴函数g（x）在区间（3，4）上单调递增，∴

∴b1-b2的取值范围是．

【解法三】

∵x1•x2=2（x1+x2），

∴

设，则

∵，∴g'（x）＞0，

∴函数g（x）在区间上单调递增，

∴，∴b1-b2的取值范围是．

【点睛】

本小题主要考查函数与导数的相关知识，以导数为工具研究函数的方法，考查学生解决问题的综合能力，属于难题

22．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点，曲线的极坐标方程为，过点作直线的垂线，分别交曲线于，两点.

（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；

（2）若，，成等比数列，求实数的值.

【答案】（1） ；（2）

【解析】（1）利用极坐标和直角坐标的互化公式来求解；

（2）根据，，成等比数列，建立等量关系，利用参数的几何意义求解.

【详解】

（1）由，得.

得曲线的直角坐标方程为

的直角坐标为

又直线的斜率为1.且过点.故直线的直角坐标方程为

（2）在直角坐标系中，直线参数方程为（为参数）.

代入得

，，即

，解得

，

【点睛】

本题主要考查参数方程和极坐标，极坐标与直角坐标的相互转化要熟记公式，利用参数的几何意义能简化求解过程.

23．已知函数．

(1)当时,有解,求实数b的取值范围；

(2)若的解集包含,求实数a的取值范围．

【答案】(1)；(2).

【解析】当时,利用绝对值三角不等式求出的最小值,由有解,可知；

由的解集包含,化为对恒成立,再分和两种情况求出a的范围．

【详解】

解：当时,，

当且仅当,即时取等号，

,

有解,只需，

的取值范围是；

当时,,,

的解集包含,

对恒成立,

当时,不等式化为,解得；

当时,不等式化为,解得；

综上,a的取值范围是．

【点睛】

本题考查了绝对值三角不等式和不等式恒成立问题,也考查了转化思想和分类讨论思想,是中档题．