2020届1月辽宁省沈阳市一模数学（理）试题（解析版）

2020届1月辽宁省沈阳市一模数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】先解不等式得集合B，再根据交集定义求结果.

【详解】

故选：B

【点睛】

本题考查一元二次不等式以及交集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．命题，，则为（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】A

【解析】根据全称命题的否定直接判断选择.

【详解】

，，

：，

故选：A

【点睛】

本题考查全称命题的否定，考查基本分析判断能力，属基础题.

3．已知复数z满足，且，则（    ）

A．2 B．2i C． D．

【答案】C

【解析】根据共轭复数概念以及复数乘法列方程，解得结果.

【详解】

设,则，

，且，，且.

故选：C

【点睛】

本题考查共轭复数概念以及复数乘法，考查基本分析求解能力，属基础题.

4．已知均为单位向量，若夹角为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】先求数量积，再求模的平方，最后得结果.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题考查向量数量积以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.

5．若实数x，y满足不等式组，则的最大值为（    ）

A．4 B． C．-6 D．6

【答案】A

【解析】先作可行域，再根据目标函数所表示的直线，结合图象确定最优解，代入得结果.

【详解】

作可行域如图，则直线过点时取最大值4,

故选：A

【点睛】

本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】根据幂函数、对数函数的单调性判断三个数大小.

【详解】

故选：D

【点睛】

本题考查利用幂函数、对数函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.

7．垃圾分类是一种新时尚，沈阳市为推进这项工作的实施，开展了“垃圾分类进小区”的评比活动.现对沈阳市甲、乙两个小区进行评比，从中各随机选出20户家庭进行评比打分，每户成绩满分为100分.评分后得到如下茎叶图.通过茎叶图比较甲、乙两个小区得分的平均值及方差大小（    ）

A．， B．，

C．， D．，

【答案】C

【解析】根据茎叶图数据分布，比较最小值与最大值以及中间数值可以确定平均值大小，根据数据分布集中情况确定方差大小，即可选择.

【详解】

因为甲的最大值比乙小，甲的最小值比乙小，甲的中间数值没乙的中间数值大，所以；

因为甲的数据没有乙的数据集中，所以.

故选：C

【点睛】

本题考查根据茎叶图判断平均值与方差大小，考查基本分析判断能力，属基础题.

8．已知a，b为两条不同的直线，，，为三个不同的平面，则下列说法中正确的是（    ）

①若，，则                ②若，，则

③若，，则                 ④若，，则

A．①③ B．②③ C．①②③ D．②③④

【答案】B

【解析】根据线面位置关系逐一判断，即可选择.

【详解】

若，，a可以和两个相交平面的交线平行,这样也能保证，；

若，，则；

若，，则；

若，，则或；

故选：B

【点睛】

本题考查线面有关命题判断，考查基本分析判断能力，属基础题.

9．新高考的改革方案开始实施后，某地学生需要从化学，生物，政治，地理四门学科中选课，每名同学都要选择其中的两门课程.已知甲同学选了化学，乙与甲没有相同的课程，丙与甲恰有一门课相同，丁与丙也没有相同课程.则以下说法正确的是（）

A．丙没有选化学 B．丁没有选化学

C．乙丁可以两门课都相同 D．这四个人里恰有2个人选化学

【答案】D

【解析】根据题意合理推理，并作出合理的假设，最终得出正确结论．

【详解】

根据题意可得，∵甲选择了化学，乙与甲没有相同课程，∴乙必定没选化学；

又∵丙与甲有一门课相同，假设丙选择了化学，而丁与丙无相同课程，则丁一定没选化学；

若丙没选化学，又∵丁与丙无相同课程，则丁必定选择了化学．

综上，必定有甲，丙或甲，丁这两种情况下选择化学，故可判断A，B不正确，D正确。

假设乙丁可以两门课都相同，由上面分析可知，乙丁都没有选择化学，只能从其它三科中选两科。不妨假设选的是生物、政治，则甲选的是化学和地理，而丙和甲共同选择了化学，另一门课丙只能从生物、政治中选一科，这样与“丁与丙也没有相同课程”矛盾，故假设不成立，因此C不正确。

【点睛】

本题主要考查学生的逻辑推理能力。

10．已知双曲线的两条渐近线分别为直线与，若点A，B为直线上关于原点对称的不同两点，点M为直线上一点，且，则双曲线C的离心率为（    ）

A．1 B． C．2 D．

【答案】C

【解析】先求渐近线方程，再设坐标，根据斜率公式化简条件，即得离心率.

【详解】

渐近线方程为，不妨设

则可设

因此

故选：C

【点睛】

本题考查双曲线渐近线以及离心率，考查基本分析求解能力，属中档题.

11．如果将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，则的值为（    ）

A．2 B． C． D．3

【答案】A

【解析】先根据左右平移不改变最值求得，再根据平移规律列等量关系，最后根据两角差正切公式解得结果.

【详解】

因为左右平移不改变最值，所以

因为，向右平移个单位得到，

而，

所以，即

从而

故选：A

【点睛】

本题考查三角函数图象变换以及两角差正切公式，考查综合分析求解能力，属中档题.

12．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数的零点个数为（    ）

A．20 B．18 C．16 D．14

【答案】C

【解析】先解，再作图，结合图象确定交点个数，即得零点个数.

【详解】

或

根据函数解析式以及偶函数性质作图象，零点个数为,

故选：C

【点睛】

本题考查函数零点以及函数综合性质，考查数形结合思想方法以及综合分析求解能力，属中档题.

二、填空题

13．已知椭圆方程为，则其焦距为________.

【答案】6

【解析】根据椭圆方程求,即得焦距.

【详解】

故答案为：

【点睛】

本题考查根据椭圆方程求焦距，考查基本分析求解能力，属基础题.

14．已知等差数列的前n项和为，且，.数列中，，.则________.

【答案】

【解析】先根据条件解得等差数列公差与首项，即得；再根据解得通项公式，即得，最后求积得结果.

【详解】

设等差数列公差为，则由，得，

因为，所以

故答案为：

【点睛】

本题考查等差数列通项公式以及由递推关系求通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题.

15．“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现已日益成为老百姓了解国家动态，紧跟时代脉搏的热门app.该款软件主要设有“阅读文章”和“视听学习”两个学习板块和“每日答题”、“每周答题”、“专项答题”、“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，将六大板块依次各完成一次，则“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习方法有________种.

【答案】

【解析】先分间隔一个与不间隔分类计数，再根据捆绑法求排列数,最后求和得结果.

【详解】

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块相邻，则学习方法有种;

若“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间间隔一个答题板块的学习方法有种;

因此共有种.

故答案为：

【点睛】

本题考查排列组合实际问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

16．在四面体ABCD中，若，则当四面体ABCD的体积最大时，其外接球的表面积为________.

【答案】

【解析】先根据底面ACD面积为定值，确定四面体ABCD的体积最大时，平面,再确定外接球球心位置，解得球半径，代入球的表面积公式得结果.

【详解】

因为，所以底面ACD面积为定值，

因此当平面时，四面体ABCD的体积最大.

设外接圆圆心为,则四面体ABCD的外接球的球心满足,且，

因此外接球的半径满足

从而外接球的表面积为

故答案为：

【点睛】

本题考查四面体外接球的表面积，考查综合分析求解能力，属中档题.

三、解答题

17．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，.

（1）求A及a；

（2）若，求BC边上的高.

【答案】（1）,（2）

【解析】（1）根据正弦定理化简可得a；根据二倍角正弦公式化简可得A；

（2）先根据余弦定理求得，再根据三角形面积公式求BC边上的高.

【详解】

（1）

；

（2）由余弦定理得

,

设BC边上的高为.

.

即BC边上的高为

【点睛】

本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查综合分析求解能力，属中档题.

18．如图，已知为等边三角形，为等腰直角三角形，.平面平面ABD，点E与点D在平面ABC的同侧，且，.点F为AD中点，连接EF.

（1）求证：平面ABC；

（2）求二面角的余弦值.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）取AB中点M，根据平几知识得四边形为平行四边形,再根据线面平行判定定理得结果；

（2）先根据面面垂直得线面垂直，再建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求各面法向量，根据向量夹角公式得两法向量夹角余弦值，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

【详解】

（1）取AB中点M，连FM,CM.

因为点F为AD中点，所以

因为，,所以

因此四边形为平行四边形,所以

因为平面ABC，平面ABC，所以平面ABC；

（2）因为，平面平面ABD，平面平面ABD，平面，所以平面因此以AC中点O为坐标原点，AC,BO,平行于BD的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，设边长为2，则

因此平面一个法向量为，设平面一个法向量为，

由得，令

所以

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为

【点睛】

本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及利用空间向量求二面角，考查综合分析论证与求解能力，属中档题.

19．已知抛物线的焦点为F，点，点B在抛物线C上，且满足（O为坐标原点）.

（1）求抛物线C的方程；

（2）过焦点F任作两条相互垂直的直线l与，直线l与抛物线C交于P，Q两点，直线与抛物线C交于M，N两点，的面积记为，的面积记为，求证：为定值.

【答案】（1）（2）见解析

【解析】（1）先根据条件解得B点坐标，代入抛物线方程解得，即得结果；

（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理以及弦长公式求得与，最后代入化简得结果.

【详解】

（1）设

因为点B在抛物线C上，

（2）由题意得直线l的斜率存在且不为零，设，代入得，所以

因此，同理可得

因此

【点睛】

本题考查抛物线方程以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解能力，属中档题.

20．在2019年女排世界杯中，中国女子排球队以11连胜的优异战绩成功夺冠，为祖国母亲七十华诞献上了一份厚礼.排球比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在每局比赛中，发球方赢得此球后可得1分，并获得下一球的发球权，否则交换发球权，并且对方得1分.现有甲乙两队进行排球比赛：

（1）若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来两队赢得每局比赛的概率均为，求甲队最后赢得整场比赛的概率；

（2）若前四局比赛中甲、乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分为甲、乙各14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为，乙发球时甲赢1分的概率为，得分者获得下一个球的发球权.设两队打了个球后甲赢得整场比赛，求x的取值及相应的概率p（x）.

【答案】（1）（2）x的取值为2或4, .

【解析】（1）先确定甲队最后赢得整场比赛的情况，再分别根据独立事件概率乘法公式求解，最后根据互斥事件概率加法公式得结果；

（2）先根据比赛规则确定x的取值，再确定甲赢得整场比赛的情况，最后根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式得结果.

【详解】

（1）甲队最后赢得整场比赛的情况为第四局赢或第四局输第五局赢，

所以甲队最后赢得整场比赛的概率为，

（2）根据比赛规则，x的取值只能为2或4,对应比分为

两队打了2个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲得分，此时概率为；

两队打了4个球后甲赢得整场比赛，即打第一个球甲发球甲得分，打第二个球甲发球甲失分，打第三个球乙发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，或打第一个球甲发球甲失分，打第二个球乙发球甲得分，打第三个球甲发球甲得分，打第四个球甲发球甲得分，此时概率为.

【点睛】

本题考查独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式，考查综合分析求解能力，属中档题.

21．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数有三个零点，求实数a的取值范围.

【答案】（1）见解析（2）

【解析】（1）先求导数，再根据二次函数图象分类讨论导函数符号变化规律，进而确定单调性；

（2）根据函数单调性确定零点个数，并用零点存在定理加以论证.

【详解】

（1）

当时，，即在上单调递增；

当时，，即在上单调递增；

当时，时，即在和上单调递增；时，即在上单调递减；

综上：当时， 在上单调递增；

当时， 在和上单调递增；在上单调递减；

（2）因为单调函数至多一个零点，所以，

因为

所以

因为

而在和上单调递增；在上单调递减；

所以在上有且仅有一个零点，在上有且仅有一个零点（即1），在上有且仅有一个零点，

所以当时，函数有三个零点.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数单调性以及利用导数研究函数零点，考查综合分析求解能力，属较难题.

22．在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于M，N两点.

（1）写出曲线C和直线l的普通方程；

（2）若点，求的值.

【答案】（1），（2）

【解析】（1）根据将曲线C极坐标方程化为直角坐标方程，利用消元法化直线l的参数方程为普通方程

（2）先化直线l的参数方程为标准式，再代入曲线C方程，最后根据参数几何意义求解

【详解】

（1）

（2）

代入得

【点睛】

本题考查极坐标方程化直角坐标方程、参数方程化普通方程以及直线参数方程，考查基本分析求解能力，属中档题.

23．已知函数.

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集得结果；

（2）先化简不等式，再根据绝对值三角不等式性质求最值，即得结果.

【详解】

（1）

或或

或或

即不等式的解集为.

（2）

【点睛】

本题考查绝对值定义以及绝对值三角不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.