第三章　章末检测 (A)

(时间：120分钟　满分：150分)

一、选择题(本大题12小题，每小题5分，共60分)

1．已知曲线y＝x2＋2x－2在点M处的切线与x轴平行，则点M的坐标是(　　)

A．(－1,3)                    B．(－1，－3)

C．(－2，－3)                D．(－2,3)

2．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为(　　)

A．(－∞，－1)及(0,1)

B．(－1,0)及(1，＋∞)

C．(－1,1)

D．(－∞，－1)及(1，＋∞)

3．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于(　　)

A．2        B．3       C．4        D．5

4．已知函数f(x)＝ax3－x2＋x－5在(－∞，＋∞)上既有极大值，也有极小值，则实数a的取值范围为(　　)

A．a>                         B．a≥

C．a<且a≠0                  D．a≤且a≠0

5．函数y＝x2－4x＋1在[0,5]上的最大值和最小值依次是(　　)

A．f(5)，f(0)                    B．f(2)，f(0)

C．f(2)，f(5)                    D．f(5)，f(2)

6．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2 010x1＋

log2 010x2＋…＋log2 010x2 009的值为(　　)

A．－log2 0102 009                B．－1

C．(log2 0102 009)－1              D．1

7．方程－x3＋x2＋x－2＝0的根的分布情况是(　　)

A．一个根，在（－∞，－）内

B．两个根，分别在（－∞，－）、(0，＋∞)内

C．三个根，分别在（－∞，－）、（－，0）、(1，＋∞)内

D．三个根，分别在（－∞，－）、(0,1)、(1，＋∞)内

8．函数f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是(　　)

A．5，－15                      B．5，－4

C．－4，－15                    D．5，－16

9．如果圆柱的轴截面周长为定值4，则圆柱体积的最大值为(　　)

A.π         B.π          C.π              D.π

10. 已知f(x)的导函数f′(x)图象如图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的(　　)

11．函数f(x)＝ln x－x2的极值情况为(　　)

A．无极值                         B．有极小值，无极大值

C．有极大值，无极小值             D．不确定

12．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为(　　)

A．y2＝±4x                       B．y2＝±8x

C．y2＝4x                        D．y2＝8x

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．已知函数f(x)＝－x3＋ax在区间(－1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是________．

14．f′(x)是f(x)＝x3＋2x＋1的导函数，则f′(－1)的值是________．

15．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为

________________________________________________________________________．

16．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为________．

三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)当x∈（0，）时，证明：tan x>x.

18．(12分)某物流公司购买了一块长AM＝30米，宽AN＝20米的矩形地块AMPN，规划建设占地如图中矩形ABCD的仓库，其余地方为道路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上，B、D分别在边AM、AN上，假设AB长度为x米．若规划建设的仓库是高度与AB的长相同的长方体建筑，问AB长为多少时仓库的库容最大？(墙体及楼板所占空间忽略不计)

19.(12分)已知直线l1为曲线y＝f(x)＝x2＋x－2在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另外一条切线，且l1⊥l2.

(1)求直线l2的方程；

(2)求由直线l1、l2及x轴所围成的三角形的面积．

20．(12分)要设计一容积为V的有盖圆柱形储油罐，已知侧面的单位面积造价是底面造价的一半，盖的单位面积造价又是侧面造价的一半．问储油罐的半径r和高h之比为何值时造价最省？

21.(12分)若函数f(x)＝ax3－bx＋4，当x＝2时，函数f(x)有极值－.

(1)求函数的解析式；

(2)若方程f(x)＝k有3个不同的根，求实数k的取值范围．

22．(12分)已知函数f(x)＝ax3－x2＋1(x∈R)，其中a>0.

(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；

(2)若在区间[－，]上，f(x)>0恒成立，求a的取值范围．

第三章　导数及其应用(A)  答案

1．B　[∵f′(x)＝2x＋2＝0，∴x＝－1.

f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)－2＝－3.

∴M(－1，－3)．]

2．A　[y′＝4x3－4x＝4x(x2－1)，令y′<0得x的范围为(－∞，－1)∪(0,1)．]

3．D　[f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，

即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5.]

4．C　[f′(x)＝3ax2－2x＋1，

函数f(x)在(－∞，＋∞)上有极大值，也有极小值，

等价于f′(x)＝0有两个不等实根，

即

解得a<且a≠0.]

5．D　[y′＝2(x－2)．x＝2时，y′＝0；x<2时，y′<0；x>2时，y′>0.∴x＝2是极小值点，f(2)＝－3；又f(0)＝1，f(5)＝6，故f(5)是最大值，f(2)是最小值．]

6．B　[∵y′|x＝1＝n＋1，

∴切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，

令y＝0，得x＝1－＝，即xn＝.

所以log2 010x1＋log2 010x2＋…＋log2 010x2 009

＝log2 010(x1·x2·…·x2009)

＝log2 010(··…·)＝log2 010

＝－1.]

7．A　[令f(x)＝－x3＋x2＋x－2，则f′(x)＝－3x2＋2x＋1，令－3x2＋2x＋1＝0，

得x＝1，或x＝－，故函数f(x)在x＝1和x＝－处分别取得极大值f(1)＝－1和极小值f＝－，据此画出函数的大致图象，可知函数图象与x轴只有一个交点，即方程只有一个根，且在内．]

8．A

9．A　[设圆柱横截面圆的半径为R，圆柱的高为h，则2R＋h＝2.

∵V＝πR2h＝πR2(2－2R)＝2πR2－2πR3，

∴V′＝2πR(2－3R)＝0.

令V′＝0，则R＝0(舍)或R＝.

经检验知，R＝时，圆柱体积最大，此时h＝，

Vmax＝π·×＝π.]

10．A　[∵(－∞，－2)时，f′(x)<0，

∴f(x)为减函数；

同理f(x)在(－2,0)上为增函数，(0，＋∞)上为减函数．]

11．C　[因为f(x)＝ln x－x2，所以f′(x)＝－2x，

令f′(x)＝0得x＝ (x＝－舍去)．

当0<x<时，f′(x)>0，函数单调递增；当x>时，f′(x)<0，函数单调递减．所以函数f(x)＝ln x－x2在x＝处取得极大值，无极小值．]

12．B　[y2＝ax的焦点坐标为，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2，

令x＝0得y＝－.

∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.]

13．a≥3

解析　由题意应有f′(x)＝－3x2＋a≥0，在区间(－1，1)上恒成立，则a≥3x2，

x∈(－1,1)恒成立，故a≥3.

14．3

解析　∵f′(x)＝x2＋2，∴f′(－1)＝3.

15．(－2,15)

解析　设P(x0，y0)(x0<0)，由题意知：

y′|x＝x0＝3x－10＝2，∴x＝4.

又∵P点在第二象限内，∴x0＝－2，∴y0＝15.

∴P点的坐标为(－2,15)．

16．21

解析　∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

∴⇒.

∴a－b＝－3＋24＝21.

17．证明　构造函数f(x)＝tan x－x，判断f(x)在上的单调性．

设f(x)＝tan x－x，x∈.

∴f′(x)＝′－1＝－1

＝－1＝＝tan2x>0.

∴f(x)在上为增函数．

又∵f(x)＝tan x－x在x＝0处可导且f(0)＝0，

∴当x∈时，f(x)>f(0)恒成立，

即tan x－x>0.∴tan x>x.

18．解　因为＝，且AM＝30，AN＝20.

所以ND＝·AN＝，

得AD＝AN－ND＝20－.

仓库的库容V(x)＝(20－)·x·x

＝－＋20x2(0<x<30)，

令V′(x)＝－2x2＋40x＝－2x(x－20)＝0，

得x＝20或x＝0(舍去)．

当x∈(0,20)时，V′(x)>0；

当x∈(20,30)时，V′(x)<0.

所以当x＝20时，V(x)有极大值也是最大值．

即AB的长度为20米时仓库的库容最大．

19．解　(1)因为f′(x)＝2x＋1，所以f′(1)＝3，

所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，

即y＝3x－3.

设直线l2过曲线上点B(b，b2＋b－2)，

因为f′(b)＝2b＋1，

所以直线l2的方程为y－(b2＋b－2)＝(2b＋1)(x－b)，即y＝(2b＋1)x－b2－2.

又l1⊥l2，所以3(2b＋1)＝－1，所以b＝－，

所以直线l2的方程为y＝－x－.

即3x＋9y＋22＝0.

(2)解方程组，可得.

因为直线l1、l2与x轴的交点坐标分别为(1,0)、，

所以所求三角形的面积为

S＝××＝.

20．解　由V＝πr2h，得h＝.

设盖的单位面积造价为a，

则储油罐的造价M＝aπr2＋2a·2πrh＋4a·πr2

＝5aπr2＋，

M′＝10aπr－，令M′＝0，解得r＝，

∴经验证，当r＝时，函数取得极小值，也是最小值，此时，

h＝＝.

∴当＝＝时，储油罐的造价最省．

21．解　f′(x)＝3ax2－b.

(1)由题意得，

解得，

故所求函数的解析式为f(x)＝x3－4x＋4.

(2)由(1)可得f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，

令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

因此，当x＝－2时，f(x)有极大值，当x＝2时，f(x)有极小值－，

所以函数f(x)＝x3－4x＋4的图象大致如右图所示．

若f(x)＝k有3个不同的根，则直线y＝k与函数f(x)的图象有3个交点，所以－<k<.

22．解　(1)当a＝1时，f(x)＝x3－x2＋1，f(2)＝3.f′(x)＝3x2－3x，f′(2)＝6，所以曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－3＝6(x－2)，

即y＝6x－9.

(2)f′(x)＝3ax2－3x＝3x(ax－1)．

令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝.

以下分两种情况讨论：

①若0<a≤2，则≥.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当x∈[－，]时，

f(x)>0等价于即

解不等式组得－5<a<5.因此0<a≤2.

②若a>2，则0<<.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

当x∈[－，]时，

f(x)>0等价于即

解不等式组得<a<5或a<－.

因此2<a<5.

综合①②，可知a的取值范围为0<a<5.