试卷 2021年安徽省初中学业水平考试数学模拟卷(四)含答案

2021年安徽省初中学业水平考试数学模拟卷(四)

(考试时间：120分钟　　满分：150分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)

1．－的倒数的绝对值是                        (　C　)

A．－2 021    B．    C．2 021    D．－

2．计算：(－a3)2÷a2＝                              (　C　)

A．－a3    B．a3    C．a4    D．a7

3．2019年，“双11网购促销活动创造了一天交易2 684亿元的佳绩，数据2 684亿用科学记数法表示为                     (　B　)

A．2.684×103       B．2.684×1011

C．0.268 4×1012    D．2.684×1012

4．如图所示几何体的俯视图是                        (　C　)

5．一副直角三角板如图放置，其中∠C＝∠DFE＝90°，∠A＝45°，∠E＝60°，点F在CB的延长线上．若DE∥CF，则∠BDF等于

(　D　)

A．35°    B．30°    C．25°    D．15°

6．我市某楼盘准备以每平方米15 000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，最终以每平方米12 150元的均价销售，则平均每次下调的百分率是               (　C　)

A．8%    B．9%    C．10%    D．11%

7．在禁毒知识考试中，全班同学的成绩统计如表：

则得分的众数和中位数分别为                          (　A　)

A．70分，70分    B．80分，80分

C．70分，80分    D．80分，70分

8．如图，BE，CF为△ABC的两条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则AE的长为                                            (　A　)

A.     B．4      C．        D．

9．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c与反比例函数y＝的图象交于点P，点P的纵坐标为2，则一次函数y＝x＋c的图象可能是

(　C　)

10．★如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3，点E，F分别为AD，DC边上的点，且EF＝2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA＋PG的最小值为                                      (　B　)

A.3      B．4       C．2        D．5

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)

11．不等式5－2x＞－3的解集是__x<4__．

12．因式分解：3m3－12m＝__3m(m＋2)(m－2)__．

13．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，∠C＝30°，⊙O与AD相交于点F，AB为⊙O的直径，⊙O与CD的延长线相切于点E，则劣弧的长为____．

14．★如图，在边长为1的正方形ABCD中，点P为对角线BD上一动点，过点P作PE⊥PA，交直线BC于点E，若△PBE为等腰三角形，则PB的长为__或－1__．

三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

15．计算：

－－2sin 45°＋(2－π)0－.

解：原式＝－2－2×＋1＋3

＝－2－＋1＋3

＝－3＋4.

16．据北京市交通委介绍，兴延高速公路将服务于2022年冬奥会．兴延高速南起西北六环双横立交，北至延庆京藏高速营城子立交收费站以北，昌平境内约31千米，延庆境内约11千米，全程的总造价约为159亿元；由于延庆段道路多穿过山区，造价比昌平段每千米的平均造价多3亿元，求延庆段和昌平段的高速公路每千米的平均造价各是多少亿元？

解：设昌平段的高速公路每千米的平均造价为x亿元，则延庆段的高速公路每千米的平均造价为(x＋3)亿元．

由题意列方程为31x＋11(x＋3)＝159.

解得x＝3.

∴x＋3＝6.

答：昌平段和延庆段的高速公路每千米的平均造价分别为3亿元和6亿元．

四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)

17．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上．

(1)在方格纸中画出以AB为一边的等腰△ABC，点C在小正方形的顶点上，且△ABC的面积为6；

(2)在方格纸中画出△ABC的中线BD，并将△BCD向右平移1个单位长度得到△EFG(点B，C，D的对应点分别为E，F，G)，画出△EFG，并直接写出△BCD和△EFG重叠部分图形的面积．

解：(1)如图所示，△ABC即为所求．

(2)如图所示，△EFG即为所求，

△BCD和△EFG重叠部分图形的面积为××2×3＝.

18．观察以下等式：

第1个等式：＋－×＝2，

第2个等式：＋－×＝2，

第3个等式：＋－×＝2，

第4个等式：＋－×＝2，

…

按照以上规律，解决下列问题：

(1)写出第5个等式：____________；

(2)写出你猜想的第n个等式：__________(用含n的等式表示)，并证明．

解：(1)＋－×＝2.

(2)第n个等式为＋－×＝2；

证明如下：

左边＝－＝＝2＝右边，

∴＋－×＝2.

故答案为＋－×＝2.

五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)

19．广宇同学想测量一栋楼上竖立的旗杆的长(图中线段EF的长)，已知直线EF垂直于地面，垂足为点C，在地面A处测得点E的仰角为31°，在B处测得点E的仰角为61°，点F的仰角为45°，AB＝48米，且A，B，C三点在一条直线上，请你根据以上数据帮助广宇同学求旗杆EF的长(参考数据：sin 31°＝0.52，cos 31°＝0.86，tan 31°＝0.60，sin 61°＝0.87，cos 61°＝0.48，tan 61°＝1.80)

解：在Rt△BCF中，  ∠CBF＝45°，

∴BC＝FC，

设BC＝FC＝x，

∵∠CBE＝61°，

∴CE＝BC tan ∠CBE＝1.8x，

在Rt△CAE中，tan ∠CAE＝，

∵∠CAE＝31°，AB＝48，

∴0.6＝，∴x＝24，

∴EF＝CE－FC＝0.8x＝19.2(米).

答：旗杆EF的长为19.2米．

20．现如今，通过“微信运动“发布自己每天行走的步数，已成为一种时尚，“健身达人”小华为了了解他的微信朋友圈里大家的“健步走”运动情况，随机抽取了20名好友一天行走的步数，记录如下：

5 640　6 430　6 520　6 798　7 325

8 430　8 215　7 453　7 446　6 754

7 638　6 834　7 325　6 830　8 648

8 753　9 450　9 865　7 290　7 850

对这20个数据按组距1 000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：

请根据以上信息解答下列问题：

(1)填空：m＝______，n＝______；

(2)补全频数分布直方图；

(3)根据以上统计结果，第二天小华随机查看一名好友行走的步数，试估计该好友的步数不低于7 500步(含7 500步)的概率．

解：(1)4；1.

(2)补全频数分布直方图如图所示．

(3)估计该好友的步数不低于7 500步(含7 530步)的概率为

＝.

六、(本题满分12分)

21．如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，P为⊙O上一动点(P，A分别在直线BC的两侧)，连接PB，PC.

(1)求证：∠P＝2∠ABC；

(2)若⊙O的半径为2，BC＝3，求四边形ABPC面积的最大值．

(1)证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠A＋2∠ABC＝180°，

∵∠A＋∠P＝180°，

∴∠P＝2∠ABC.

(2)解：四边形ABPC的面积＝S△ABC＋S△PBC，

∵S△ABC的面积不变，

∴当S△PBC的面积最大时，四边形ABPC的面积最大，而BC不变，

∴P点到BC的距离最大时，S△PBC的面积最大，此时P点为优弧的中点，而点A为劣弧的中点，

∴此时AP为⊙O的直径，AP⊥BC，

∴四边形ABPC面积的最大值＝×4×3＝6.

七、(本题满分12分)

22．随着近几年城市建设的快速发展，合肥市对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资15万元种植花卉和树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润y1(万元)与投资量x(万元)成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2(万元)与投资量x(万元)的函数关系如图②所示(其中OA是抛物线的一部分，A为抛物线的顶点；AB∥x轴).

(1)分别求出种植树木的利润y1和花卉的利润y2关于投资量x的函数关系式；

(2)求此专业户种植花卉和树木获取的总利润W(万元)关于投入种植花卉的资金t(万元)之间的函数关系式；

(3)此专业户投入种植花卉的资金为多少万元时，才能使获取的利润最大，最大利润是多少？

图①

　　图②

解：(1)设y1＝kx，由图①可知，直线y1＝kx经过P(1，2)，

∴k＝2，

∴种植树木的利润y1关于投资量x的函数关系式为y1＝2x；

由图②可知，当x≤5时，y2与x的关系式图象为抛物线的一部分，且A(5，25)是此抛物线的顶点，

则设此抛物线的表达式为y＝a(x－5)2＋25，

把(0，0)代入表达式，得0＝25a＋25(x≤5).

解得a＝－1.

当x＞5时，y2＝25，

故种植花卉的利润y2关于投资量x的函数表达式为

y2＝

(2)因为投入种植花卉的资金为t万元，则投入种植树木的资金为(15－t)万元．

当t≤5时，y1＝2(15－t)，y2＝－(t－5)2＋25，

则W＝－(t－5)2＋25＋2(15－t)

＝－t2＋8t＋30；

当5＜t＜15时，y1＝2(15－t)，y2＝25，

则W＝55－2t.

∴总利润W(万元)关于投入种植花卉的资金t(万元)之间的函数关系式为W＝

(3)当t≤5时，W＝－t2＋8t＋30，

根据二次函数的性质，当t＝－＝4时，W取得最大值，

W最大值＝－42＋8×4＋30＝－16＋32＋30＝46；

当5＜t＜15时，∵－2＜0，

∴W随t的增大而减小，

∴当t＝5时，W增大＝45，

∵45＜46，

∴当t＝4时，W取得最大值是46.

故此专业户投入种植花卉的资金为4万元时，

才能获取最大利润46万元．

八、(本题满分14分)

23．在边长为12的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AB，CB边上的动点，且始终保持OE⊥OF，连接EF交BD于点H.

(1)求证：△AOE≌△BOF；

(2)若BE＝2BF，求EH·FH的值；

(3)在运动的过程中，EH·FH是否存在最大值？若存在，请求出EH·FH的最大值；若不存在，请说明理由．

(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴AO＝CO＝AC，BO＝DO＝BD，AC⊥BD，AC＝BD，

∠OAB＝45°＝∠OBC＝∠ABO＝45°，

∴∠AOB＝90°，AO＝BO，∠OAB＝∠OBC，

∴∠AOE＋∠BOE＝90°，

∵OE⊥OF，

∴∠EOF＝90°，

∴∠FOB＋∠BOE＝90°，

∴∠AOE＝∠FOB，

∴△AOE≌△BOF(ASA).

(2)解：由(1)知，△AOE≌△BOF，

∴AE＝BF，

∵AB＝12，BE＝2BF，

∴BE＝2AE，

∴AE＝AB＝4，

∴BF＝4，BE＝8，

∴EF＝＝4，

过点H作HK⊥AB，垂足为点K，

∴∠HKB＝90°，

∴∠HKE＝∠ABC＝90°，∠ABO＝∠KHB＝45°，

∴HK＝KB，HK∥BF，

∴△EKH∽△EBF，

∴＝＝.

设KH＝a，则KB＝a，EK＝8－a，

∴＝＝，

∴a＝，EH＝，

∴HF＝4－＝，

∴EH·FH＝.

(3)解：EH，FH存在最大值．

由(1)知△AOE≌△BOF，

∴OE＝OF，

∴∠OFE＝∠OEF＝45°，

∴∠ABO＝∠OFE，

又∵∠OHF＝∠EHB，

∴△OHF∽△EHB，

∴＝，

∴EH·HF＝HB·OH，

∵AB＝12，

∴BO＝12×cos 45°＝12×＝6，

设BH＝x，则OH＝6－x，

则EH·FH＝x(6－x)＝－(x－3)2＋18，

∴当x＝3时，BH·OH有最大值为18，

即EH·FH存在最大值为18.