专题25 概率-2021年中考数学二轮复习专题 学案+课件

2021年中考数学一轮专题复习

学案25 概率

1. 确定事件：确定事件是一定会发生或一定不会发生的事件，包括：

（1）必然发生的事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件．

（2）不可能发生的事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能的事件．

2. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

3. 随机事件发生的可能性：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．

对随机事件发生的可能性的大小，我们利用反复试验所获取一定的经验数据可以预测它们发生机会的大小．要评判一些游戏规则对参与游戏者是否公平，就是看它们发生的可能性是否一样．所谓判断事件可能性是否相同，就是要看各事件发生的可能性的大小是否一样，用数据来说明问题．

【例1】（2020•兴安盟•呼伦贝尔5/26）下列事件是必然事件的是（    ）

A．任意一个五边形的外角和为540° 

B．抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次 

C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的 

D．太阳从西方升起

【考点】随机事件

【分析】事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件．

【解答】解：A．任意一个五边形的外角和等于540°，属于不可能事件，不合题意；

B．投掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次是随机事件，不合题意；

C．13个人参加一个集会，他们中至少有两个人的出生月份是相同的，属于必然事件，符合题意；

D．太阳从西方升起，属于不可能事件，不合题意；

故选：C．

【点评】本题主要考查了随机事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．

1. 概率的概念：一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记为P(A) ．

2. 频率与概率的关系：当我们大量重复进行试验时，某事件出现的频率逐渐稳定到某一个数值，把这一频率的稳定值作为该事件发生的概率的估计值．

3. 确定事件和随机事件的概率之间的关系：

（1）确定事件概率：

①当A是必然发生的事件时，P(A)=1

②当A是不可能发生的事件时，P(A)=0

（2）确定事件和随机事件的概率之间的关系：

4. 古典概型的定义：某个试验若具有：①在一次试验中，可能出现的结构有有限多个；②在一次试验中，各种结果发生的可能性相等．我们把具有这两个特点的试验称为古典概型．

5. 概率的计算：

（1）公式法：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果,并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P(A)＝．

（2）列表法：当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．

（3）画树状图：当一次试验要涉及3个或更多的因素（例如从3个口袋中取球）时，列表就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图．

（4）几何概型：一般是用几何图形的面积比来求概率，计算公式为：P(A)＝，解这类题除了掌握概率的计算方法外，还应熟练掌握几何图形的面积计算．

（5）利用频率估计随机事件发生的概率：

当试验的所有可能结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，我们一般根据在同样条件下，大量重复试验时，用一个随机事件发生的频率所逐渐稳定到的常数来估计这个事件发生的概率．

在统计学中，常用较为简单的试验方法代替实际操作中复杂的试验来完成概率估计，这样的试验称为模拟实验．

在随机事件中，需要用大量重复试验产生一串随机的数据来开展统计工作．把这些随机产生的数据称为随机数．

6. 游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率都相等，则游戏公平，否则不公平．

【例2】（2020•上海11/25）如果从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，那么取到的数恰好是5的倍数的概率是        ．

【考点】概率公式

【分析】根据从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，得出是5的倍数的数据，再根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：∵从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数中任意选取一个数，是5的倍数的有：5，10，

∴取到的数恰好是5的倍数的概率是．

故答案为：．

【点评】此题主要考查了概率公式，概率所求情况数与总情况数之比求出是解决问题的关键．

【例3】（2020•山西10/23）如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（    ）

A． B． C． D．

【考点】中点四边形；几何概率；菱形的性质

【分析】由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，据此可得答案．

【解答】解：由图形知阴影部分的面积是大矩形面积的，

∴飞镖落在阴影区域的概率是，

故选：B．

【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．

【例4】（2020•新疆兵团7/23）四张看上去无差别的卡片上分别印有正方形、正五边形、正六边形和圆，现将印有图形的一面朝下，混合均匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片上印有的图形都是中心对称图形的概率为（    ）

A． B． C． D．

【考点】概率公式；列表法与树状图法

【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：分别用A、B、C、D表示正方形、正五边形、正六边形和圆，

画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的有6种情况，

∴抽到卡片上印有的图案都是中心对称图形的概率为：．

故选：C．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适用于两步完成的事件，树状图法适用两步或两步以上完成的事件．注意：概率所求情况数与总情况数之比．

【例5】（2020•安徽21/23）某单位食堂为全体960名职工提供了A，B，C，D四种套餐，为了解职工对这四种套餐的喜好情况，单位随机抽取240名职工进行“你最喜欢哪一种套餐（必选且只选一种）”问卷调查．根据调查结果绘制了条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：

（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为      ，扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为　　°；

（2）依据本次调查的结果，估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数；

（3）现从甲、乙、丙、丁四名职工中任选两人担任“食品安全监督员”，求甲被选到的概率．

【考点】扇形统计图；列表法与树状图法；条形统计图；用样本估计总体

【分析】（1）用被调查的职工人数乘以最喜欢A套餐人数所占百分比即可得其人数；再由四种套餐人数之和等于被调查的人数求出C对应人数，继而用360°乘以最喜欢C套餐人数所占比例即可得；

（2）用总人数乘以样本中最喜欢B套餐的人数所占比例即可得；

（3）画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解可得答案．

【解答】解：（1）在抽取的240人中最喜欢A套餐的人数为240×25%=60（人），

则最喜欢C套餐的人数为240-(60+84+24)=72（人），

∴扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小为，

故答案为：60、108；

（2）估计全体960名职工中最喜欢B套餐的人数为（人）；

（3）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中甲被选到的结果数为6，

∴甲被选到的概率为．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．

【例6】（2020•新疆兵团12/23）表中记录了某种苹果树苗在一定条件下移植成活的情况：

由此估计这种苹果树苗移植成活的概率约为        ．（精确到0.1）

【考点】利用频率估计概率

【分析】用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

【解答】解：根据表格数据可知：

苹果树苗移植成活的频率近似值为0.9，

所以估计这种苹果树苗移植成活的概率约为0.9．

故答案为：0.9．

【点评】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

1.（2020•通辽3/26）下列事件中是不可能事件的是　　

A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．百步穿杨

2.（2020•呼和浩特4/24）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路、之间，电流能够正常通过的概率是（    ）

A．0.75 B．0.525 C．0.5 D．0.25

3.（2020•通辽10/26）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是　　

（1）无理数都是无限小数；

（2）因式分解；

（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；

（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．

A． B． C． D．1

4.（2020•鄂尔多斯8/24）下列说法正确的是（　　）

①的值大于；

②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径；

③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；

④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，则乙的射击成绩比甲稳定．

A．①②③④ B．①②④ C．①④ D．②③

5.（2020•海南19/22）新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长（单位：小时）的情况，在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是            （填写“全面调查”或“抽样调查” ，　　；

（2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“”范围的概率是　　；

（3）若该市有15000名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“”范围的初中生有　　名．

6.（2020•天津15/25）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是        ．

7.（2020•河北25/26）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．

①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率；

（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的代数式表示，并求该位置距离原点最近时的值；

（3）从如图的位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出的值．

8.（2020•福建12/25）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为       ．

9.（2020•兴安盟•呼伦贝尔21/26）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字，，5．

（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是无理数的概率（直接写出结果）；

（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为．请用列表法或画树状图法求出与的乘积是有理数的概率．

10.（2020•通辽21/26）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：

（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；

（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．

11.（2020•包头17/26）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为       ．

12.（2020•鄂尔多斯18/24）“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：

1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4

九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表

（1）统计表中a＝      ，该班女生一周复习时间的中位数为       小时；

（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为       °；

（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？

（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．

13.（2020•赤峰21/26）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．

（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为        ；

（2）丫丫和甲甲一起玩跳图游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．

14.（2020•吉林16/26）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片，，，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的概率．

15.（2020•山西19/23）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是       亿元；

（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；

（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为，，，，的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为基站建设）和（人工智能）的概率．

16.（2020•青海26/28）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：

（1）该校八年级共有      名学生，“优秀”所占圆心角的度数为　　．

（2）请将图1中的条形统计图补充完整．

（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？

（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．

17.（2020•陕西22/25）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

18.（2020•江西15/23）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．

（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为       ；

（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．

19.（2020•北京7/28）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（　　）

A．  B． C． D．

20.（2020•宁夏11/26）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是      ．

21.（2020•宁夏3/26）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是　　

A． B． C． D．

22.（2020•重庆B卷15/26）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是        ．

23.（2020•重庆A卷15/26）现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第二象限的概率为         ．

24.（2020•河南13/23）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是       ．

25.（2020•呼和浩特14/24）公司以3元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为       （精确到；从而可大约每千克柑橘的实际售价为　　元时（精确到，可获得12000元利润．

1.（2020•通辽3/26）下列事件中是不可能事件的是　　

A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．百步穿杨

【考点】随机事件

【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，可得答案．

【解答】解：A、守株待兔是随机事件，故此选项不合题意；

B、瓮中捉鳖是必然事件，故此选项不合题意；

C、水中捞月是不可能事件，故此选项符合题意；

D、百步穿杨是随机事件，故此选项不合题意；

故选：C．

【点评】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

2.（2020•呼和浩特4/24）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路、之间，电流能够正常通过的概率是（    ）

A．0.75 B．0.525 C．0.5 D．0.25

【考点】概率公式

【分析】根据题意，某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，可得两个元件同时不正常工作的概率为0.25，进而由概率的意义可得一定时间段内之间电流能够正常通过的概率．

【解答】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，

即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，

则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；

故在一定时间段内之间电流能够正常通过的概率为，

故选：A．

【点评】本题考查了等可能事件的概率，属于基础题，用到的知识点为：电流能正常通过的概率电流不能正常通过的概率．

3.（2020•通辽10/26）从下列命题中，随机抽取一个是真命题的概率是　　

（1）无理数都是无限小数；

（2）因式分解；

（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是；

（4）弧长是，面积是的扇形的圆心角是．

A． B． C． D．1

【考点】命题与定理

【分析】根据各个小题中的说法可以判断是否为真命题，从而可以得到随机抽取一个是真命题的概率．

【解答】解：（1）无理数都是无限小数是真命题，

（2）因式分解是真命题；

（3）棱长是的正方体的表面展开图的周长一定是是真命题；

（4）弧长是，面积是的扇形的半径是，圆心角为：，故弧长是，面积是的扇形的圆心角是是假命题；

故随机抽取一个是真命题的概率是，

故选：C．

【点评】本题考查命题和定理，解答本题的关键是明确题意，可以判断出各个命题的真假．

4.（2020•鄂尔多斯8/24）下列说法正确的是（　　）

①的值大于；

②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径；

③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是；

④甲、乙两人各进行了10次射击测试，他们的平均成绩相同，方差分别是s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，则乙的射击成绩比甲稳定．

A．①②③④ B．①②④ C．①④ D．②③

【考点】多边形内角与外角；正多边形和圆；方差；概率公式．

【答案】B

【分析】分别根据黄金数的近似值、多边形的内角和与半径的定义与性质、概率公式、方差的意义分别判断可得．

【解答】解：①的值约为0.618，大于，此说法正确；

②正六边形的内角和是720°，它的边长等于半径，此说法正确；

③从一副扑克牌中随机抽取一张，它是黑桃的概率是，此说法错误；

④∵s2甲＝1.3，s2乙＝1.1，∴s2甲＞s2乙，故乙的射击成绩比甲稳定，此说法正确；

故选：B．

【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握多边形的内角和与半径的定义与性质、概率公式、方差的意义．

5.（2020•海南19/22）新冠疫情防控期间，全国中小学开展“停课不停学”活动．某市为了解初中生每日线上学习时长（单位：小时）的情况，在全市范围内随机抽取了名初中生进行调查，并将所收集的数据分组整理，绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．

根据图中信息，解答下列问题：

（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是　抽样调查　（填写“全面调查”或“抽样调查” ，　　；

（2）从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“”范围的概率是　　；

（3）若该市有15000名初中生，请你估计该市每日线上学习时长在“”范围的初中生有　　名．

【考点】扇形统计图；频数（率分布直方图；用样本估计总体；全面调查与抽样调查；概率公式

【分析】（1）根据全面调查与抽样调查的概念可得，利用的频数及其对应的百分比求出被调查的总人数的值；

（2）先求出的人数，再用所求人数除以样本容量即可得；

（3）用总人数乘以样本中在“”范围的初中生人数占被调查人数的比例即可得．

【解答】解：（1）在这次调查活动中，采取的调查方式是抽样调查，，

故答案为：抽样调查，500；

（2）每日线上学习时长在“”范围的人数为（人，

从该样本中随机抽取一名初中生每日线上学习时长，其恰好在“”范围的概率是；

故答案为：0.3；

（3）估计该市每日线上学习时长在“”范围的初中生有（人，

故答案为：1200．

【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握抽样调查与全面调查的概念、利用样本估计总体思想的运用及概率公式的计算．

6.（2020•天津15/25）不透明袋子中装有8个球，其中有3个红球、5个黑球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是　　．

【考点】概率公式

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【解答】解：袋子中装有8个小球，其中红球有3个，

从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是．

故答案为：．

【点评】本题考查了概率公式．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

7.（2020•河北25/26）如图，甲、乙两人（看成点）分别在数轴和5的位置上，沿数轴做移动游戏．每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币，再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．

①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；

②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；

③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

（1）经过第一次移动游戏，求甲的位置停留在正半轴上的概率；

（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错．设乙猜对次，且他最终停留的位置对应的数为，试用含的代数式表示，并求该位置距离原点最近时的值；

（3）从如图的位置开始，若进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，直接写出的值．

【考点】概率公式；数轴；列代数式

【分析】（1）利用概率公式计算即可．

（2）根据题意可知乙答了10次，答对了次，则打错了次，再根据平移的规则推算出结果即可；

（3）刚开始的距离是8，根据三种情况算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到结果．

【解答】解：（1）经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正半轴上，

必须甲对乙错，

因为一共有四种情形，都对或都错，甲对乙错，甲错乙对，

．

（2）根据题意可得，次答对，向西移动，次答错，向东移了，

．

时，离原点最近．

（3）起初，甲乙的距离是8，

易知，当甲乙一对一错时，二者之间距离缩小2，

当甲乙同时答对打错时，二者之间的距离缩小2，

当进行了次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位时，共缩小了6个单位或10个单位，

或，

或．

【点评】本题考查概率公式，数轴，代数式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

8.（2020•福建12/25）若从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位为学生在线辅导功课，则甲被选到的概率为　　．

【考点】概率公式

【分析】直接利用概率公式求解可得．

【解答】解：从甲、乙、丙3位“爱心辅学”志愿者中随机选1位共有3种等可能结果，其中甲被选中只有1种结果，

甲被选到的概率为，

故答案为：．

【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）事件可能出现的结果数所有可能出现的结果数．

9.（2020•兴安盟•呼伦贝尔21/26）一个不透明的口袋中装有三个完全相同的小球，上面分别标有数字，，5．

（1）从口袋中随机摸出一个小球，求摸出小球上的数字是无理数的概率（直接写出结果）；

（2）先从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为，把小球放回口袋中并搅匀，再从口袋中随机摸出一个小球，将小球上的数字记为．请用列表法或画树状图法求出与的乘积是有理数的概率．

【考点】无理数；列表法与树状图法；概率公式

【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与这两个球上数字乘积是有理数的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）摸出小球上的数字是无理数的概率；

（2）画树状图如下：

可知：共有9种等可能的结果，其中两个数字的乘积为有理数的有3种，

两次摸出的小球所标数字乘积是有理数的概率为．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．

10.（2020•通辽21/26）甲口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字6，7．从三个口袋各随机取出1个小球．用画树状图或列表法求：

（1）取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；

（2）取出的3个小球上全是奇数的概率．

【考点】列表法与树状图法

【分析】（1）画树状图展示所有12种等可能的结果，找出取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数，然后根据概率公式计算；

（2）找出取出的3个小球上全是奇数的结果数，然后根据概率公式计算．

【解答】解：（1）画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中取出的3个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，

所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；

（2）取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，

所以取出的3个小球上全是奇数的概率．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．

11.（2020•包头17/26）一个不透明的盒子里放置三张完全相同的卡片，分别标有数字1，2，3．随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第二张卡片上的数字大于第一张卡片上的数字的概率为　　．

【考点】列表法与树状图法．

【答案】见试题解答内容

【分析】用列表法列举出所有可能出现的结果，从中找出“第2张数字大于第1张数字”的结果数，进而求出概率．

【解答】解：用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：

共有9种可能出现的结果，其中“第2张数字大于第1张数字”的有3种，

∴P（出现）＝＝．

故答案为：．

【点评】本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．

12.（2020•鄂尔多斯18/24）“学而时习之，不亦说乎？”古人把经常复习当作是一种乐趣．某校为了解九年级（一）班学生每周的复习情况，班长对该班学生每周的复习时间进行了调查，复习时间四舍五入后只有4种：1小时，2小时，3小时，4小时，已知该班共有50人，根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图表，该班女生一周的复习时间数据（单位：小时）如下：

1，1，1，2，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4

九年级（一）班女生一周复习时间频数分布表

（1）统计表中a＝　7　，该班女生一周复习时间的中位数为　2.5　小时；

（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应圆心角的度数为　72　°；

（3）该校九年级共有600名学生，通过计算估计一周复习时间为4小时的学生有多少名？

（4）在该班复习时间为4小时的女生中，选择其中四名分别记为A，B，C，D，为了培养更多学生对复习的兴趣，随机从该四名女生中选取两名进行班会演讲，请用树状图或者列表法求恰好选中B和D的概率．

【考点】用样本估计总体；频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；列表法与树状图法．

【答案】见试题解答内容

【分析】（1）由已知数据可得a的值，利用中位数的定义求解可得；

（2）先根据百分比之和等于1求出该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比，再乘以360°即可得；

（3）用总人数乘以样本中一周复习时间为4小时的学生所占比例即可得；

（4）通过树状图展示12种等可能的结果数，找出恰好选中B和D的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：（1）由题意知a＝7，该班女生一周复习时间的中位数为＝2.5（小时），

故答案为：7，2.5；

（2）扇形统计图中，该班男生一周复习时间为4小时所对应的百分比为1﹣（10%+20%+50%）＝20%，

∴该班男生一周复习时间为4小时所对应的圆心角的度数为360°×20%＝72°，

故答案为：72；

（3）估计一周复习时间为4小时的学生有600×＝144（名）；

答：估计一周复习时间为4小时的学生有300名．

（4）画树状图得：

∵一共有12种可能出现的结果，它们都是等可能的，恰好选中B和D的有2种结果，

∴恰好选中B和D的概率为P＝＝．

答：恰好选中B和D的概率为．

【点评】本题考查的是扇形统计图和频数分布表及树状图法求概率的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．同时考查了概率公式．

13.（2020•赤峰21/26）如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面，并分别标有1，2，3，4四个数字；如图2，等边三角形ABC的三个顶点处各有一个圆圈．丫丫和甲甲想玩跳圈游戏，游戏的规则为：游戏者从圈A起跳，每投掷一次骰子，骰子着地的一面点数是几，就沿着三角形的边逆时针方向连续跳跃几个边长．如：若第一次掷得点数为2，就逆时针连续跳2个边长，落到圈C；若第二次掷得点数为4，就从圈C继续逆时针连续跳4个边长，落到圈A．

（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率为　　；

（2）丫丫和甲甲一起玩跳图游戏：丫丫随机投掷一次骰子，甲甲随机投掷两次骰子，都以最终落回到圈A为胜者．这个游戏规则公平吗？请说明理由．

【考点】概率公式；列表法与树状图法；游戏公平性．有

【答案】（1）；

（2）不公平．

【分析】（1）直接利用概率公式计算；

（2）画树状图展示所有16种等可能的结果，找出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数，则可计算出甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率，然后通过比较她们回到圈A的概率的大小可判断游戏是否公平．

【解答】解：（1）丫丫随机掷一次骰子，她跳跃后落回到圈A的概率＝；

（2）这个游戏规则不公平．

理由如下：

画树状图为：

共有16种等可能的结果，其中甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的结果数为5，

所以甲甲随机投掷两次骰子，最终落回到圈A的概率＝，

因为＜，

所以这个游戏规则不公平．

【点评】本题考查了游戏公平性：判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．也考查了树状图法．

14.（2020•吉林16/26）“中国结”是我国特有的手工编织工艺品，也是一种传统吉祥装饰物．如图，现有三张正面印有“中国结”图案的不透明卡片，，，卡片除正面图案不同外，其余均相同．将三张卡片正面向下洗匀，小吉同学从中随机抽取一张卡片，记下图案后正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的概率．

【考点】列表法与树状图法

【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两张卡片中含有卡片的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．

【解答】解：根据题意列表如下：

共有9种等可能的结果数，其中小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的有5种情况，

小吉同学抽出的两张卡片中含有卡片的概率为．

【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．

15.（2020•山西19/23）2020年国家提出并部署了“新基建”项目，主要包含“特高压，城际高速铁路和城市轨道交通，基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩”等．《2020新基建中高端人才市场就业吸引力报告》重点刻画了“新基建”中五大细分领域基站建设，工业互联网，大数据中心，人工智能，新能源汽车充电桩）总体的人才与就业机会．如图是其中的一个统计图．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）填空：图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是　300　亿元；

（2）甲，乙两位待业人员，仅根据上面统计图中的数据，从五大细分领域中分别选择了“基站建设”和“人工智能”作为自己的就业方向．请简要说明他们选择就业方向的理由各是什么；

（3）小勇对“新基建”很感兴趣，他收集到了五大细分领域的图标，依次制成编号为，，，，的五张卡片（除编号和内容外，其余完全相同），将这五张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张．请用列表或画状图的方法求抽到的两张卡片恰好是编号为基站建设）和（人工智能）的概率．

【考点】条形统计图；列表法与树状图法；中位数

【分析】（1）根据统计图，将2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列，再利用中位数定义求解可得；

（2）分别从2020年一季度“基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率和2020年预计投资规模角度分析求解可得；

（3）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，根据概率公式求解可得．

【解答】解：（1）2020年“新基建”七大领域预计投资规模按照从小到大排列为100、160、200、300、300、500、640，

图中2020年“新基建”七大领域预计投资规模的中位数是300亿元，

故答案为：300；

（2）甲更关注在线职位的增长率，在“新基建”五大细分领域中，2020年一季度“基站建设”在线职位与2019年同期相比增长率最高；

乙更关注预计投资规模，在“新基建”五大细分领域中，“人工智能”在2020年预计投资规模最大；

（3）列表如下：

由表可知，共有20种等可能结果，其中抽到“”和“”的结果有2种，

抽到的两张卡片恰好是编号为基站建设）和（人工智能）的概率．

【点评】本题主要考查条形统计图、折线统计图和列表法与树状图法求概率，根据条形图得出解题所需数据及画树状图列出所有等可能结果是解题的关键．

16.（2020•青海26/28）每年6月26日是“国际禁毒日”．某中学为了让学生掌握禁毒知识，提高防毒意识，组织全校学生参加了“禁毒知识网络答题”活动．该校德育处对八年级全体学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：优秀、良好、一般、不合格；并绘制成如图不完整的统计图．请你根据图1．图2中所给的信息解答下列问题：

（1）该校八年级共有　500　名学生，“优秀”所占圆心角的度数为　　．

（2）请将图1中的条形统计图补充完整．

（3）已知该市共有15000名学生参加了这次“禁毒知识网络答题”活动，请以该校八年级学生答题成绩统计情况估计该市大约有多少名学生在这次答题中成绩不合格？

（4）德育处从该校八年级答题成绩前四名甲，乙、丙、丁学生中随机抽取2名同学参加全市现场禁毒知识竞赛，请用树状图或列表法求出必有甲同学参加的概率．

【考点】条形统计图；扇形统计图；用样本估计总体；列表法与树状图法

【分析】（1）由“良好”的人数和其所占的百分比即可求出总人数；由乘以“优秀”所占的比例即可得出“优秀”所占圆心角的度数；

（2）求出“一般”的人数，补全条形统计图即可；

（3）由15000乘以“不合格”所占的比例即可；

（4）画树状图得出所有等可能的情况数，找出必有甲同学参加的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：（1）该校八年级共有学生人数为（名；“优秀”所占圆心角的度数为；

故答案为：500，；

（2）“一般”的人数为（名，补全条形统计图如图1

（3）（名，

即估计该市大约有1500名学生在这次答题中成绩不合格；

（4）画树状图为：

共有12种等可能的结果数，其中必有甲同学参加的结果数为6种，

必有甲同学参加的概率为．

【点评】本题考查了列表法与树状图法、条形统计图和扇形统计图以及概率公式；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．

17.（2020•陕西22/25）小亮和小丽进行摸球试验．他们在一个不透明的空布袋内，放入两个红球，一个白球和一个黄球，共四个小球．这些小球除颜色外其它都相同．试验规则：先将布袋内的小球摇匀，再从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，称为摸球一次．

（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，求这10次中摸出红球的频率；

（2）若小丽随机摸球两次，请利用画树状图或列表的方法，求这两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

【考点】列表法与树状图法

【分析】（1）由频率定义即可得出答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的情况，利用概率公式求解即可求得答案．

【解答】解：（1）小亮随机摸球10次，其中6次摸出的是红球，这10次中摸出红球的频率；

（2）画树状图得：

共有16种等可能的结果，两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的有2种情况，

两次摸出的球中一个是白球、一个是黄球的概率．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率所求情况数与总情况数之比．

18.（2020•江西15/23）某校合唱团为了开展线上“百人合唱一首歌”的“云演出”活动，需招收新成员．小贤、小晴、小艺、小志四名同学报名参加了应聘活动，其中小贤、小艺来自七年级，小志、小晴来自八年级．现对这四名同学采取随机抽取的方式进行线上面试．

（1）若随机抽取一名同学，恰好抽到小艺同学的概率为　　；

（2）若随机抽取两名同学，请用列表法或树状图法求两名同学均来自八年级的概率．

【考点】列表法与树状图法

【分析】（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，可求出抽到小艺的概率；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而求出两个同学均来自八年级的概率．

【解答】解：（1）共有4种可能出现的结果，抽到小艺的只有1种，

因此恰好抽到小艺的概率为，

故答案为：；

（2）用列表法表示所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，其中都是八年级，即抽到小志、小晴的有2种，

．

【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确解答的前提．

19.（2020•北京7/28）不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为3的概率是（　　）

A．  B． C． D．

【考点】列表法与树状图法．有

【答案】C

【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【解答】解：列表如下：

由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，

所以两次记录的数字之和为3的概率为＝，

故选：C．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．

20.（2020•宁夏11/26）有三张大小、形状完全相同的卡片．卡片上分别写有数字4、5、6，从这三张卡片中随机先后不放回地抽取两张，则两次抽出数字之和为奇数的概率是　　．

【考点】列表法与树状图法

【分析】列表得出所有情况，看取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数占所有情况数的多少即可．

【解答】解：列表得：

共有6种情况，取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数为4种，

两次抽出数字之和为奇数的概率为．

故答案为：．

【点评】本题考查了列表法与列树状图法以及概率公式；得到取出的两张卡片上的数字之和为奇数的情况数是解决本题的关键；用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．

21.（2020•宁夏3/26）现有4条线段，长度依次是2、4、6、7，从中任选三条，能组成三角形的概率是　　

A． B． C． D．

【考点】三角形三边关系；列表法与树状图法

【分析】由树状图找出所有的可能情况组合以及能构成三角形的情况数，即可求出所求的概率．

【解答】解：画树状图如下：

共有四种可能组合，能组成三角形的结果有2个、6、7，4、6、7，

能构成三角形的概率为，

故选：B．

【点评】本题考查了树状图法以及三角形的三边关系；如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率(A)．

22.（2020•重庆B卷15/26）盒子里有3张形状、大小、质地完全相同的卡片，上面分别标着数字1，2，3，从中随机抽出1张后不放回，再随机抽出1张，则两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率是　　．

【考点】列表法与树状图法

【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

【解答】解：列表如下

由表可知，共有6种等可能结果，其中两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的有4种结果，

所以两次抽出的卡片上的数字之和为奇数的概率为，

故答案为：．

【点评】本题考查了列表法和树状图法，利用列表法或树状图法展示某一随机事件中所有等可能出现的结果数，再找出其中某一事件所出现的可能数，然后根据概率的定义可计算出这个事件的概率．

23.（2020•重庆A卷15/26）现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第二象限的概率为　　．

【考点】点的坐标；列表法与树状图法

【分析】画树状图展示所有16种等可能的结果数，利用第二象限内点的坐标特征确定点在第二象限的结果数，然后根据概率公式求解．

【解答】解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为3，

所以点在第二象限的概率．

故答案为．

【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．也考查了点的坐标．

24.（2020•河南13/23）如图所示的转盘，被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是　　．

【考点】列表法与树状图法

【分析】用树状图或列表法表示所有可能出现的结果，进而求出相应的概率．

【解答】解：自由转动转盘两次，指针所指区域所有可能出现的情况如下：

共有16种可能出现的结果，其中两次颜色相同的有4种，

（两次颜色相同），

故答案为：．

【点评】考查树状图或列表法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果是解决问题的关键．

25.（2020•呼和浩特14/24）公司以3元的成本价购进柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为　0.9　（精确到；从而可大约每千克柑橘的实际售价为　　元时（精确到，可获得12000元利润．

【考点】频数（率分布表；利用频率估计概率

【分析】利用频率估计概率得到随试验次数的增多，柑橘损坏的频率越来越稳定在0.1左右，由此可估计柑橘完好率大约是0.9；设每千克柑橘的销售价为元，然后根据“售价进价利润”列方程解答．

【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是；

设每千克柑橘的销售价为元，则应有，

解得，

所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为4.7元，

故答案为：0.9，4.7．

【点评】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．得到售价与利润的等量关系是解决问题的关键．