2018年北师大版小升初数学复习卷（15）

这是一份2018年北师大版小升初数学复习卷（15），共24页。试卷主要包含了解答题，三班的女生总数多1；四等内容，欢迎下载使用。
2018年北师大版小升初数学复习卷（15）
一、解答题（共10小题，满分0分）
1．快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇．已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留半小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多少时间？
2．某造纸厂在100天里共生产2000吨纸．开始阶段，每天只能生产10吨纸．中间阶段由于改进了生产规程，每天的产量提高了一倍．最后阶段由于购置了新设备，每天的产量又比中间阶段提高了一倍半．已知中间阶段生产天数的2倍比开始阶段多13天，那么最后阶段有　 　天．
3．有一座山里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，而平均每个和尚恰好每天吃一个馒头，那么在这座山里至少有几个和尚？
4．某校毕业生共分9个班，每班人数相等．已知一班的男生比二、三班的女生总数多1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1，那么该校毕业生中男、女生人数的比是多少？
5．一自行车选手在相距950千米的甲、乙两地间训练．他从甲地出发，去时每90千米休息一次，到达乙地后休息一天，再沿原路返回．返回时，每100千米休息一次．他发现恰好有一个休息地点与去时的一个休息地点相同．问这个地方距离甲地有多远？
6．汽车拉力赛有两个距离相等的赛程．第一赛程由平路出发，离中点26千米的地方开始上坡；通过中点行驶4千米后，全是下坡路；第二个赛程也是由平路出发，离中点4千米处开始下坡；通过中点继续前进行驶26千米后，全是上坡路．已知某赛车在这两个赛程中所用的时间相同，第二个赛程出发时的速度是第一赛程出发是速度的，而遇到上坡时速度就要减慢25%，遇到下坡时速度就要增加25%．那么，每个赛程的距离各是多少千米？
7．（2011•长沙自主招生）甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200吨．当甲仓库的货物运走，乙仓库的货物运走以后，再从甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库，这时甲、乙两仓库中的货物重量恰好相等．那么甲仓库原有存货多少吨？
8．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C地，如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇的地点距离C地12千米；如果乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距离C地16千米．甲车原来每小时行多少千米？
9．姐妹两人同时出发从甲地到乙地，妹妹走前半段路程每小时行3千米，走后半段路程每小时行6千米；姐姐在行这段路程所用的时间中，前半段时间是每小时行3千米，后半段时间是每小时行6千米．她们两人能同时到达乙地吗？为什么？
10．今天长途班车比往常早到站了．汽车站立即派人骑自行车将随班车的邮件送往邮局，自行车走了半小时，遇到邮局派出取邮件的摩托车，车手接过邮件后，一点也不耽搁掉头就返回邮局，结果比往常早到了20分钟．如果摩托车每天去车站取邮件的出发时间和行驶速度都一样，那么今天长途班车比往常到站时间提前了几分钟？

2018年北师大版小升初数学复习卷（15）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分0分）
1．快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇．已知慢车从乙地到甲地用12.5小时，慢车到甲地停留半小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，那么两车从第一次相遇到第二次相遇共需多少时间？
【考点】M4：多次相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】把甲、乙两地之间的路程看作单位“1”，快车与慢车分别从甲、乙两地同时开出，相向而行，经过5小时相遇．由此可知：快车和慢车平均每小时的速度和是，又知慢车从乙地到甲地用12.5小时，则慢车平均每小时的速度为，用速度和减去慢车的速度即可求出快车的速度，慢车到甲地停留半小时后返回，快车到乙地停留1小时后返回，据此可以求出快车行完全程用了12.5+0.5﹣1＝12小时，到第二次相遇两车一共行驶了甲、乙之间的两个全程，然后根据相遇时间＝路程÷速度和，即可求出两车从第一次相遇到第二次相遇共需多少小时．
【解答】解：快车每小时行驶的速度为：


．
当慢车到达甲地并休息之后，快车行了12.5+0.5﹣1＝12（小时），
此时快车和慢车相距
2

．
所以还需要


＝2.8（小时），
所以，第一次相遇到第二次相遇共用去13+2.8﹣5＝10.8（小时）．
答：两车从第一次相遇到第二次相遇共需10.8小时．
【点评】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量关系：路程÷相遇时间＝速度和，相遇时间＝路程÷速度和，把路程看作单位“1”，关键是求出快车的速度．
2．某造纸厂在100天里共生产2000吨纸．开始阶段，每天只能生产10吨纸．中间阶段由于改进了生产规程，每天的产量提高了一倍．最后阶段由于购置了新设备，每天的产量又比中间阶段提高了一倍半．已知中间阶段生产天数的2倍比开始阶段多13天，那么最后阶段有　17　天．
【考点】L9：工程问题．菁优网版权所有
【分析】要想求得最后阶段的天数，需先求前两阶段的天数．由题意可知，中间阶段的天数×2﹣13＝开始阶段的天数，则第三阶段的天数由总天数100也不难表示出．又据题意可知，三个阶段每天的产量分别是10吨、20吨、50吨．据此用方程解比较简单．
【解答】解：设中间阶段为x天，则开始阶段为2x﹣13（天），最后阶段为100﹣x﹣（2x﹣13）＝113﹣3x（天）．
由题意知，开始、中间、最后阶段的日产量依次为10、20和50吨．
由总产量可列方程，
10×（2x﹣13）+20x+50×（113﹣3x）＝2000
20x﹣130+20x+5650﹣150x＝2000
110x＝3520
x＝32
最后阶段的天数为113﹣3x＝113﹣3×32＝17；
答：最后阶段有17天．
故答案为17．
【点评】解答此题容易找出基本数量关系：中间阶段的天数×2﹣13＝开始阶段的天数，由此列方程解决问题．
3．有一座山里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，而平均每个和尚恰好每天吃一个馒头，那么在这座山里至少有几个和尚？
【考点】JJ：不定方程的分析求解．菁优网版权所有
【分析】已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，那么大和尚的人数是7的倍数，小和尚的人数是29的倍数，设大和尚有7x个，小和尚有29y个，根据馒头数一定，而平均每个和尚恰好每天吃一个馒头，可得不定方程：7x+29y＝41x+11y，然后解不定方程即可．
【解答】解：大和尚：7x个，小和尚：29y个
7x+29y＝41x+11y
x
所以，y＝17，x＝9
至少有和尚：7×9+29×17
＝63+493
＝556（个）
答：在这座山里至少有556个和尚．
【点评】本题考查了不定方程的实际应用，关键是列出不定方程；本题还可以这样解答：如果每人每天吃1个馒头，那么7个大和尚就会多出41﹣7＝34个；29个小和尚就差29﹣11＝18个馒头．由于34和18的最小公倍数是34×9或者17×18．所以至少有7×9+29×17＝556人．
4．某校毕业生共分9个班，每班人数相等．已知一班的男生比二、三班的女生总数多1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1，那么该校毕业生中男、女生人数的比是多少？
【考点】6A：比的应用．菁优网版权所有
【专题】433：比和比例．
【分析】一共分9个班，每班人数相等．已知一班的男生比二、三班的女生总数多1；四、五、六班三个班的女生总数比七、八、九班三个班的男生总数多1，由此可得：2、3、4、5、6班的女生总数＝1、7、8、9班男生总数，而每班人数相同，则2、3、4、5、6班男女生人数和比1、7、8、9班人数和多一个班，得出全校男生比女生多一个班，所以，男：女＝5：4．据此解答即可．
【解答】解：由分析得：前面三个班，女生人数相当于1个班的人数少1人，后面六个班，女生人数相当于3个班的人数多1．
在9个班中女生人数刚好是1+3＝4个班的人数，
那么男生人数也就是9﹣4＝5个班的人数，
所以男女生人数比是4：5．
答：该校毕业生中男、女生人数的比是5：4．
【点评】此题考查的目的是理解掌握比的意义及应用，解答关键是明白：2、3、4、5、6班的女生总数＝1、7、8、9班男生总数，而每班人数相同，则2、3、4、5、6班男女生人数和比1、7、8、9班人数和多一个班．
5．一自行车选手在相距950千米的甲、乙两地间训练．他从甲地出发，去时每90千米休息一次，到达乙地后休息一天，再沿原路返回．返回时，每100千米休息一次．他发现恰好有一个休息地点与去时的一个休息地点相同．问这个地方距离甲地有多远？
【考点】J4：因数与倍数．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；484：整除性问题．
【分析】去时每90千米休息一次，休息地点距甲地距离为90的倍数； 返回，每100千米休息一次，休息地点距乙地距离为100的倍数，又两地相距950千米，即距甲地距离为50的倍数； 这个休息地点距甲地位置为90和50的最小公倍数．即这个休息地点距甲地有450千米．
【解答】解：这个选手去时休息的地点与甲地距离依次为：90千米，180千米，270千米，360千米，450千米，540千米，630千米，720千米，810千米和900千米，而他返回休息地点时距甲的距离为850千米，750千米，650千米，450千米，350千米，250千米，150千米和50千米．故这个相同的休息地点距甲地450千米．
答：这个相同的休息地点距甲地450千米．
【点评】此题考查的目的行程的基本数量关系和求最小公倍数的知识的理解和灵活运用情况．
6．汽车拉力赛有两个距离相等的赛程．第一赛程由平路出发，离中点26千米的地方开始上坡；通过中点行驶4千米后，全是下坡路；第二个赛程也是由平路出发，离中点4千米处开始下坡；通过中点继续前进行驶26千米后，全是上坡路．已知某赛车在这两个赛程中所用的时间相同，第二个赛程出发时的速度是第一赛程出发是速度的，而遇到上坡时速度就要减慢25%，遇到下坡时速度就要增加25%．那么，每个赛程的距离各是多少千米？
【考点】L6：分数和百分数应用题（多重条件）．菁优网版权所有
【专题】48L：传统应用题专题．
【分析】由题意可知：把第一赛程的第一段路的长度看作1，速度为6，那么各段的速度是6，4.5，；对应第二赛程的各段速度分别是，，5．于是可求出第一赛程的第一段路的长度，再由（第一赛程的第一段路的长度+26）×2＝每赛段的路程，就可以得到答案．
【解答】把第一赛程的第一段路的长度看作1，速度为6，那么各段的速度是6，4.5，；
对应第二赛程的各段速度分别是，，5．
那么第一赛程的第一段路的长度是，
（30÷4.5+223022÷5）÷（）
＝（）

＝20（千米）
则每个赛程的距离就是（20+26）×2＝92（千米）．
答：每个赛程的距离各是92千米．
【点评】此题主要考查行程中的速度变化问题，关键是弄清每个路段的速度变化情况．
7．（2011•长沙自主招生）甲、乙两个仓库，乙仓库原有存货1200吨．当甲仓库的货物运走，乙仓库的货物运走以后，再从甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库，这时甲、乙两仓库中的货物重量恰好相等．那么甲仓库原有存货多少吨？
【考点】37：分数四则复合应用题．菁优网版权所有
【分析】由题意知，“甲仓库的货物运走”，还剩它的（1）；“乙仓库的货物运走”则还剩它的（1），也就是1200×（1）＝800（吨）；再据条件“再从甲仓库取出剩下货物的10%放入乙仓库，这时甲、乙两仓库中的货物重量恰好相等”可知，先把“甲仓剩下的货物”看作单位“1”，甲仓剩下的货物比乙仓剩下的800吨多它的10%×2，也就是说800吨占“甲仓剩下货物的80%”，这样就可以先求出“甲仓剩下的货物是多少吨”，进而再求甲仓库原有存货多少吨．
【解答】解：1200×（1）＝800（吨）；
800÷（1﹣10%×2）＝1000（吨）；
1000÷（1）＝1875（吨）；
答：甲仓库原有存货1875吨．
【点评】此题是复杂的分数应用题，解答此类题目，要从已知条件出发找寻具体量和它的对应分率，也可利用数量关系列方程解答．
8．甲、乙两车分别从A，B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C地，如果甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇的地点距离C地12千米；如果乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A，B两地同时出发相向而行，则相遇地点距离C地16千米．甲车原来每小时行多少千米？
【考点】M1：相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】设甲的原来的速度是V甲，乙的原来的速度是V乙
①甲车的速度不变，乙车每小时多行5千米，是速度和为：V甲+V乙+5 路程和为：AB 相遇时间：AB÷（V甲+V乙+5 ）
②乙车的速度不变，甲车每小时多行5千米，是速度和为：V甲+V乙+5 路程和为：AB 相遇时间：AB÷（V甲+V乙+5 ）
单独分析甲：两次的时间相等，路程差＝12+16＝28 速度差＝5
【解答】解：第二次相遇时间是：（12+16）÷5＝5.6（小时）．依据下图可得：

V甲＝12÷（6﹣5.6）＝30（千米）
答：甲车原来每小时行30千米
【点评】解题的关键是利用第二次和第三次的时间不变，画图，分析
9．姐妹两人同时出发从甲地到乙地，妹妹走前半段路程每小时行3千米，走后半段路程每小时行6千米；姐姐在行这段路程所用的时间中，前半段时间是每小时行3千米，后半段时间是每小时行6千米．她们两人能同时到达乙地吗？为什么？
【考点】3E：简单的行程问题．菁优网版权所有
【专题】45F：行程问题．
【分析】把甲、乙两地之间的路程平均分成两段，把每段路程看作单位“1”，妹妹走前半段路程每小时行3千米，走后半段路程每小时行6千米；由此可知：妹妹走前半段路程所用的时间是小时，走后半段路程所用的时间是小时，所以妹妹每小时的平均速度是（1+1）÷（）＝24（千米/时）；姐姐在行这段路程所用的时间中，前半段时间是每小时行3千米，后半段时间是每小时行6千米．由此可以求出姐姐平均每小时的速度，（3+6）÷2＝4.5（千米/时），因为两人走的路程相同，所以速度快的先达到．据此解答．
【解答】解：妹妹平均每小时行：
（1+）÷（）

＝4（千米/时），
姐姐平均每小时行：
（3+6）÷2
＝9÷2
＝4.5（千米/时），
4.5千米＞4千米，
答：姐姐速度快，应先到，因为两人走的路程相同，所以速度快的先达到．
【点评】此题考查的目的是理解掌握路程、速度、时间三者之间的关系及应用，解答关键是明确：在路程相同的情况下，速度快的先达到．
10．今天长途班车比往常早到站了．汽车站立即派人骑自行车将随班车的邮件送往邮局，自行车走了半小时，遇到邮局派出取邮件的摩托车，车手接过邮件后，一点也不耽搁掉头就返回邮局，结果比往常早到了20分钟．如果摩托车每天去车站取邮件的出发时间和行驶速度都一样，那么今天长途班车比往常到站时间提前了几分钟？
【考点】M1：相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】自行车单程走了30分钟，再加上回到车站又需要30分钟，这个来回路程是摩托车取件少走的路程，也是摩托车提前20分钟到邮局的原由，自行车需要60分钟，摩托车需要20分钟，如果摩托车和自行车相遇后摩托车继续赶往车站，那十分钟后到车站，这时自行车已经走了30+10＝40分钟，自行车行驶的时间就是车站提前了多少分钟到达．
【解答】解：自行车单程走了30分钟，再加上回到车站又需要30分钟，这个来回路程是摩托车取件少走的路程，也是摩托车提前20分钟到邮局的原由，自行车需要60分钟，摩托车需要20分钟，摩托车与自行车的速度比：60÷20＝3（倍）摩托车和自行车相遇后摩托车继续赶往车站，到车站需要的时间：30÷3＝10（分钟），这时自行车已经走了30+10＝40分钟，即班车比往常到站时间提前了40分钟．
【点评】在相遇问题中，有的时候正面解答不如逆向思维容易理解，假设其中一方走完全程，这时计算另一方经过的路程和时间，这样思路比较清晰，也更容易理解．

考点卡片
1．分数四则复合应用题
【知识点归纳】



【命题方向】
常考题型：
例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．现在瓶内的油比原来（　　）
A、增加 B、减少 C、不变
分析：一瓶油千克，先倒出它的，还剩（1）（千克），再加千克，这时油重（）千克，计算即可．
解：现在油重：
（1），
，
，
（千克）；
原来油重：
（千克）；
因为．
所以增多了．
答：现在瓶内的油比原来增多．
故选：A．
点评：解答此题应分清两个“”的区别，第一个“”表示分率，第二个“”表示数量，在列式时不要混淆．
2．简单的行程问题
【知识点归纳】
计算路程，时间，速度的问题，叫做行程问题．
解题关键及规律：
同时同地相背而行：路程＝速度和×时间
同时相向而行：两地的路程＝速度和×时间
同时同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及问题＝路程÷速度差
同时同地同向而行（ 速度慢在后，快的在前）：路程＝速度差×时间．

【命题方向】
常考题型：
例1：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行63.5千米，乙车每小时行56.5千米，4小时相遇．A、B两地相距多少千米？
分析：要求A、B∝两地相距多少千米，根据题意，应先求出两车的速度和，即63.5+56.5＝120（千米），然后乘相遇时间，列式解答即可．
解：（63.5+56.5）×4
＝120×4
＝480（千米）
答：A、B两地相距480千米．
点评：此题考查了关系式：速度和×相遇时间＝路程．

例2：王华以每小时4千米的速度从家去学校，小时行了全程的，王华家离学校有多少千米？
分析：先依据路程＝速度×时间，求出王华小时行驶的路程，再运用分数除法意义即可解答．
解：4，
，
＝1（千米），
答：王华家离学校有1千米．
点评：分数除法意义是解答本题的依据，关键是求出王华小时行驶的路程．

例3：甲、乙两车同时从两地相向而行，距中点14千米的地方相遇，两车相遇时，它们所行路程的差是（　　）千米．
A、7 B、14 C、28 D、42
分析：由题意可知：两车相遇时，快车超过中点14千米，而慢车距离终点还有14千米，因此它们的路程差为14×2＝28千米，据此即可进行解答．
解：因为两车相遇时，快车超过中点14千米，
而慢车距离终点还有14千米，
因此它们的路程差为14×2＝28千米；
故选：C．
点评：本题主要考查学生时间、路程、速度差的掌握情况．
3．比的应用
【知识点归纳】
1．按比例分配问题的解题方法：
（1）把比看作分得的份数，用先求出每一份的方法来解答．解题步骤：
a．求出总份数；
b．求出每一份是多少；
c．求出各部分相应的具体数量．
（2）转化成份数乘法来解答．解题步骤：
a．先根据比求出总份数；
b．再求出各部分量占总量的几分之几；
c．求出各部分的数量．
2．按比例分配问题常用解题方法的应用：
（1）已知一个数量的各部分的比和其中某一部分的量，求另外几个部分量；
（2）已知两个量或几个量的比和其中两个量的差，求总量．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个三角形与一个平行四边形的面积和底部都相等，这个三角形与平行四边形高的比是（　　）
A、2：1 B、1：2 C、1：1 D、3：1
分析：根据三角形和平行四边形的面积公式可得：三角形的高＝面积×2÷底；平行四边形的高＝面积÷底，由此即可进行比较，解答问题．
解：三角形的高＝面积×2÷底，
平行四边形的高＝面积÷底，
当三角形和平行四边形的面积和底分别相等时，三角形的高是平行四边形的高的2倍．
所以这个三角形与平行四边形高的比是2：1．
故选：A．
点评：考查了平行四边形的面积和三角形的面积公式，解题的关键是知道底相等、面积也相等的三角形和平行四边形中三角形的高是平行四边形的高的2倍．

例2：甲、乙两人各走一段路，他们的速度比是3：4，路程比是8：3，那么他们所需时间比是（　　）
A、2：1 B、32：9 C、1：2 D、4：3
分析：根据题意，把乙的速度看作1，那么甲的速度就为；把甲的路程看作1，那么乙的路程就为；根据时间＝路程÷速度，可得甲用的时间为1，乙用的时间为1；进而写出甲和乙所需的时间比，再把比化成最简比即可．
解：把乙的速度看作1，那么甲的速度就为，
把甲的路程看做1，那么乙的路程就为，
甲用的时间为：1，
乙用的时间为：1，
甲乙用的时间比：：（24）：（24）＝32：9；
答：甲乙所需的时间比是32：9．
故选：B．
点评：关键是把速度和路程设出来，然后根据时间＝路程÷速度，先求得各自用的时间，再写出所用的时间比并化简比．
4．因数与倍数
【知识点归纳】
1．公约数与公倍数题型简介
（1）公约数与公倍数
若数a能被b整除，则称数a为数b的公倍数，数b为数a的公约数．其中，一个数的最小公约数是1，最大公约数是它本身．
（2）公约数与最大公约数
几个自然数有的公约数，叫做这几个自然数的公约数．
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数．
（3）公倍数与最大公倍数
几个自然数公有的公倍数，叫做这几个自然数的公公倍数．
公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公公倍数．
考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数．

【命题方向】
常考题型：
例1：有两个二位数，它们的最大公约数8，最小公倍数是96，这两个数的和是（　　）
A、56 B、78 C、84 D、96
分析：把最大公约数8和最小公倍数96分解质公约数，根据最大公约数是两个数的共有质公约数，最小公倍数是两个数的共有质公约数与独有质公约数的乘积，可以判断出这两个数可能是什么，即可得解．
解：8＝2×2×2，
96＝2×2×2×2×2×3，
所以这两个最大公约数8，最小公倍数是96的二位数只能是2×2×2×2×2＝32和2×2×2×3＝24；
这两个二位数的和是：32+24＝56；
故选：A．
点评：利用求解最大公约数和最小公倍数的方法，凑数逆向求解出两个二位数，观察选项，即可得解．

经典题型：
例2：沿小路一边从头开始插彩旗，每隔4米插一面，插到另外一端共插了37面彩旗．如果改成每隔6米插一面彩旗，可以有（　　）面彩旗不用移动．
A、12 B、13 C、14 D、15
分析：根据题意明白路头栽一棵除去，再利用间隔米数×彩旗面数＝路的总长度；再求出4和6的最小公倍数，在算一算路的总长里有多少个这样的最小公倍数；就有多少颗栽的树，最后加上开始那颗．
解：4和6的最小公倍数是12，
路长：4×（37﹣1）＝144（米），
栽棵树：144÷12＝12（棵），
12+1＝13（棵），
答：可以有13面彩旗不用移动．
故选：B．
点评：此题不是多难，关键别忘了路两头都栽树，开始那棵不占路长，再明白路长一定，间距再变，棵树也在变，得有有的及要用到求最小公倍数，根据题意完成即可．

【解题方法点拨】
（1）两个数如果存在着公倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数．
（2）互质的两个数的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积．
（3）利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三个数没有共同的公约数（除l外）即可；而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止．
（4）多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似．
5．不定方程的分析求解
【知识点归纳】
1．不定方程的定义：不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数、整数或正整数等等）的方程或方程组．
2．一般是求解一次不定方程：关于ax+by＝c的不定方程，（a，b）为a，b的最大公约数，如果有整数特解（x0，y0），则该方程所有整数解为：x＝x0﹣kb÷（a，b），y＝y0+ka÷（a，b），k为整数．
例如：37x+107y＝25的一组整数特解为（﹣8，3），（37，107）＝1
则其所有整数解：x＝﹣8﹣107k
y＝3+37k．

【命题方向】
经典题型：
例1：某电视台在黄金时段的2分钟广告时间内，计划播长度为15秒和30秒的两种广告．15秒的广告每播一次收费0.6万元，30秒的广告每播一次收费1万元．若要求每种广告播放不少于两次，则电视台在播放时收益最大的播放方式是（　　）
A、15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次
B、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放4次
C、15秒的广告播放2次，30秒的广告播放3次
D、15秒的广告播放3次，30秒的广告播放2次
分析：本题中的等量关系：15秒×次数+30×次数＝2×60，根据这个等量关系列出方程，然后再根据“要求每种广告播放不少于2次，则电视台在播放时收益最大”这个要求分析解的情况．
解：设15秒的广告播x次，30秒的广告播y次．
则15x+30y＝120，
因为每种广告播放不少于2次，
所以x＝2，y＝3，或x＝4，y＝2；
当x＝2，y＝3时，
收益为：2×0.6+3×1＝4.2（万元）；
当x＝4，y＝2时，
收益为4×0.6+1×2＝4.4（万元），
所以电视台在播放时收益最大的播放方式是：15秒的广告播放4次，30秒的广告播放2次．
故选：A．
点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，合理分析得出结论．

例2：有19人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有多少种不同的安排？
3人间/间








2人间/间








答：一共有　3　种不同的安排．
分析：此题可以设有x间3人房间，y间2人房间，根据总人数19人即可列出含有x、y的二元一次方程，解得这个方程的整数解即可解决问题．
解：设有x间3人房间，y间2人房间，根据题意可得方程：
3x+2y＝19，
方程可以变形为：y，
因为x、y是整数，那么要保证y的值是整数，19﹣3x的值必须是偶数，
这里x的取值只能取奇数，因为奇数×奇数＝奇数，且奇数﹣奇数＝偶数，这样19﹣3x才能被2整除；
当x＝1时，y＝8；
当x＝3时，y＝5；
当x＝5时，y＝2，
答：综上所述，19人到旅馆住宿，住3人间和2人间（每个房间不能有空床位），有3种不同的安排．
故答案为：3．
点评：此题考查了利用不定方程的整数解解决实际问题的方法的灵活应用，这里要注意解方程时，要考虑x的取值情况，这是求不定方程的整数解常用的解题方法．
6．分数和百分数应用题（多重条件）
【知识点归纳】
下列五种基本类型的解题方法：
1．求：一个数的百分之几是多少？
方法：单位1×对应分率＝比较量
2．已知一个数的百分之几是多少，求这个数．
方法：比较量÷对应分率＝单位1；
或设这个数（单位1）为X，用方程解．
3．条件中有“比 多（少）百分之几（几分之几）”，
求：标准量（单位1）或比较量？
方法：（1）单位1±单位1×n%＝比较量
（2）单位1×（1±n%）＝比较量
（3）比较量÷（1±n%）＝单位1
找准单位一是关键．单位一是已经条件的用方法（1）（2），未知的用方法（3），设标准量为X．
4．求：“比 多（少）百分之几（几分之几）”？
方法：相差数÷单位1
5．“是（占、相当于） 的百分之几（几分之几）”
方法：比较量÷单位1
（提示：在出油率、发芽率、正确率、成活率、出勤率、含盐率等题目中，单位“1”是总数，即整体量．

【命题方向】
常考题型：
例1：甲、乙、丙三人合修一堵围墙，甲、乙合修6天完成了，乙、丙合修2天完成了余下工程的，剩下的再由甲、乙、丙三人合修5天完成，现在领工资共18000元，依工作量分配，甲、乙、丙应各得多少元？
分析：要求每人分得的钱数，因为按各人所完成的工作量的多少来合理分配工资，所以必须知道每人完成的工作量．要求每人完成的工作量，就要知道每人的工作效率；由题意得甲、乙、丙工作效率之和为：[1（1）]÷5，乙、丙合修2天修好余下的，乙、丙工作效率之和为：（1）2，甲的工作效率为：，同理可求出乙、丙的工作效率．然后求出各自的工作量．
解：甲分得的钱为：18000×{[1（1）]÷5﹣（1）2}×（6+5），
＝18000×{[1]÷52}×11，
＝18000×{}×11，
＝3300（元）；
丙分得的钱为：18000×{[1（1）]÷56}×（2+5），
＝18000×{[1]÷5}×（2+5），
＝18000×{}×（2+5），
＝180007，
＝5600（元）；
乙分得的钱为：18000﹣3300﹣5600＝9100（元）．
答：甲、乙、丙分别应得3300元、9100元、5600元．
点评：此题属于工程问题，解答此类题的关键是要知道工作量、工作时间、工作效率之间的关系．工作效率＝工作量÷工作时间．
7．工程问题
【知识点归纳】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效；
　　工作总量÷工效＝工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
　　1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；
　　1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

【命题方向】
经典题型：
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．
解：120÷（9﹣5）×（9+5）
＝120÷4×14
＝420（个）
答：这批零件共有420个．
点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．

例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为，甲单独12天完成，甲的工作效率为，那么乙的工作效率．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：x3x＝1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
解：．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
x3x＝1，
xx＝1，
x＝1，
x＝4．
4+4×3
＝4+12，
＝16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
8．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．

【命题方向】
常考题型：
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间＝路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；
（3）根据速度×时间＝路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6＝21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行21千米．

（2）21×4＝84（千米）
答：两地之间的路程是84千米．

（3）15×4＝60（千米）
答：相遇时，甲行了60千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
9．多次相遇问题
【知识点归纳】
多次相遇的基本公式和方法计算：
距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系：
（1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙；
（2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙；
（3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲．
在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果．

【命题方向】
经典题型：
例1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长．

分析：由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，所以半圆周长是100+80＝180米，圆的周长是180×2＝360米．
对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，则半圆周长是100+20＝120米，圆的周长是120×2＝240米．
即这个圆的周长为360米或240米．

解：由题可知，C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，
所以半圆周长是100+80＝180（米），
圆的周长是180×2＝360（米）．
对于第二种情况，CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，
则半圆周长是100+20＝120（米），
圆的周长是120×2＝240（米）．
即这个圆的周长为360米或240米．
点评：完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答．

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日期：2019/5/6 9:12:43；用户：jiangwenxiu；邮箱：jiangwenxiu@xyh.com；学号：26799902