2018年北师大版小升初数学复习卷（5）

这是一份2018年北师大版小升初数学复习卷（5），共21页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2018年北师大版小升初数学复习卷（5）
一、解答题（共10小题，满分0分）
1．甲、乙两个书架，共有书3000册，甲的册数的比乙的册数的多420本，求两个书架各有书多少册？
2．（2017•长沙）姐弟两人打印一批稿件，姐姐单独打印需要的时间是弟弟所需时间的，姐姐先打印了这批稿件的后，接着由弟弟单独打印，共用24小时打印完，问姐姐打印了多少小时？
3．有甲、乙两个水管向水池注水，先开甲管，开放时间是单开乙管注满水池所需时间的．然后开放乙管，开放的时间是单开甲管注满水池所需时间的．这样注满水池的．如果甲、乙两管同时开放，注满水池需3小时，那么单开甲管或单开乙管注满水池，各需要多少小时？
4．A，B两地相距105千米，甲、乙两人骑自行车分别从两地同时相向而行，出发后经1小时相遇，接着两人继续前进，在他们相遇3分钟后，一直以每小时40千米速度行驶的甲在途中与迎面而来的丙相遇，丙在与甲相遇后继续前进，在C地赶上乙．如果开始时甲的速度比原速每小时慢20千米，而乙的速度比原速每小时快2千米．那么甲乙就会在C地相遇．求丙的骑车速度？
5．一件工作由A，B两道工序，上午在A工序上工作的人数是在B工序上工作人数的．为提高工作效率，下午从B工序上调1人到A工序上，这时A工序上的人数是B工序上人数的，A，B两个工序上共有多少人在工作？
6．一座下底面是边长为10米的正方形石台，它的一个顶点A有一个虫子巢穴，虫甲每分钟爬6厘米，虫乙每分钟爬10厘米，甲沿正方形的边由A﹣B﹣C﹣D﹣A不停地爬行，甲先爬2厘米后，乙沿甲爬行过的路线追赶甲，当乙遇到甲后，乙就立即沿原路返回巢穴，然后乙再沿甲爬行的路线追赶甲，…在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲时，乙爬行了多长时间？
7．有一群猴子，分一堆桃子，第一只猴子分了4个桃子和剩下桃子的1/10，第二只猴子分了8个桃子和这时剩下桃子的1/10，第三只猴子分了12个桃子和这时剩下桃子的1/10…依此类推．最后发现这堆桃子正好分完，且每只猴子分得的桃子同样多．那么这群猴子有多少只？
8．（2017•中山区）有甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要9天，单独完成乙工作要12天．王师傅单独完成甲工作要3天，单独完成乙工作要15天．如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
9．某服装厂生产一种服装，每件的成本是144元，售价是200元．一位服装经销商订购了120件这种服装，并提出：如果每件的销售每降低2元，我就多订购6件．按经销商的要求，这个服装厂售出多少件时可以获得最大的利润，这个最大利润是多少元？
10．甲、乙两车从A，B两站同时相向而行，已知甲车的速度是乙车的1.4倍，当甲车到达途中C站时，乙车还要再行4小时48分才能到达C站，那么甲车到达C站后还要再行多少小时与乙车相遇？

2018年北师大版小升初数学复习卷（5）
参考答案与试题解析
一、解答题（共10小题，满分0分）
1．甲、乙两个书架，共有书3000册，甲的册数的比乙的册数的多420本，求两个书架各有书多少册？
【考点】37：分数四则复合应用题．菁优网版权所有
【专题】12：应用题；45A：分数百分数应用题．
【分析】设甲书架有图书x本，那么乙书架就有3000﹣x本，依据题意可列方程：x＝（3000﹣x）420，依据等式的性质即可求解．
【解答】解：设甲书架有图书x本，那么乙书架就有3000﹣x本，
x＝（3000﹣x）420
x＝750﹣x420
xx＝1170xx
x1170
x＝1800
3000﹣1800＝1200（本），
答：甲书架有图书1800本，乙书架有书1200本．
【点评】此题属于含有两个未知数的应用题，这类题用方程解答比较容易，关键是找准数量间的相等关系，设一个未知数为x，另一个未知数用含x的式子来表示，进而列并解方程即可．
2．（2017•长沙）姐弟两人打印一批稿件，姐姐单独打印需要的时间是弟弟所需时间的，姐姐先打印了这批稿件的后，接着由弟弟单独打印，共用24小时打印完，问姐姐打印了多少小时？
【考点】L9：工程问题．菁优网版权所有
【专题】45D：工程问题．
【分析】设弟弟单独打印需要的时间设为x小时，姐姐单独打印需要的时间是弟弟所需时间的，那么姐姐单独打印需要的时间就是x小时；工作效率一定，工作量和工作效率成正比例关系，姐姐先打印了这批稿件的，那么需要的时间就是x小时的，即x小时；同理可得弟弟打完剩下的部分需要（1）x小时，根据姐姐和弟弟一共用了24小时列出方程求解，求出弟弟单独打印需要的时间，再乘就是姐姐单独打印需要的时间，然后乘就是姐姐打印了多少小时．
【解答】解：设弟弟单独打印需要的时间设为x小时，那么姐姐单独打印需要的时间就是x小时；
x（1）x＝24
xx＝24
x＝24
x＝32
32
＝12
＝4.8（小时）
答：姐姐打印了4.8小时．
【点评】解决本题先设出数据，表示出姐姐和弟弟单独打印需要的工作时间，进而表示出各打印了多长时间，再找出等量关系列出方程求解，然后进一步求解．
3．有甲、乙两个水管向水池注水，先开甲管，开放时间是单开乙管注满水池所需时间的．然后开放乙管，开放的时间是单开甲管注满水池所需时间的．这样注满水池的．如果甲、乙两管同时开放，注满水池需3小时，那么单开甲管或单开乙管注满水池，各需要多少小时？
【考点】P4：逻辑推理．菁优网版权所有
【分析】此题应抓住“”中包括两管同时开放多少小时的注入量和甲管多开多少小时的注入量，由此可以解决问题．
【解答】解：甲乙管同时开放每小时可注整个水池的1÷3，
同时开放2小时注满水池的2，
同时开放3小时注满水池的3，
根据题意可得“”在和之间，包括了两管同时开放的2小时的注入量和甲管多开1小时的注入量，
； ，
16小时；19小时；
答：单开甲管或单开乙管注满水池，各需要6小时、9小时．
【点评】此题主要运用逻辑推理的方法推理出已知中各数量之间的关系，从而解答问题．
4．A，B两地相距105千米，甲、乙两人骑自行车分别从两地同时相向而行，出发后经1小时相遇，接着两人继续前进，在他们相遇3分钟后，一直以每小时40千米速度行驶的甲在途中与迎面而来的丙相遇，丙在与甲相遇后继续前进，在C地赶上乙．如果开始时甲的速度比原速每小时慢20千米，而乙的速度比原速每小时快2千米．那么甲乙就会在C地相遇．求丙的骑车速度？
【考点】M4：多次相遇问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】根据速度和＝路程÷相遇时间，由此可以甲、乙两车的速度和是105÷1（1.75）＝60千米，已知甲的速度是每小时行驶40千米，那么一车的速度是60﹣40＝20千米/时，由知甲的速度比原速每小时慢20千米，而乙的速度比原速每小时快2千米．据此可以求出甲、乙后来的速度，进而求出C地距A地有多少千米，C地在距离A地的105÷（20+22）×20＝50千米，原来相遇的地点距离A地105÷60×40＝70千米．在甲、乙相遇后3分钟甲与丙相遇，再根据速度和×行驶时间＝行驶的路程，可以求出3分钟甲、乙行驶多少千米，603千米，这3千米甲行驶了402千米，乙行驶了201千米，此时乙距C地70﹣50+1＝19千米，丙距离C地70﹣50+2＝22千米，那么乙与丙速度的比是19：22，乙的速度已经求出来了，根据乙与丙速度的比即可求出丙的速度．
【解答】解：甲乙的速度和每小时共行驶：
105÷1
＝105÷1.75
＝60（千米/时），
乙的速度是每小时行60﹣40＝20（千米/时），
后来甲的速度是每小时40﹣20＝20（千米/时），
后来乙的速度是每小时20+2＝22（千米/时），
C地在距离A地的105÷（20+22）×20
＝105÷44×20
＝2.5×20
＝50（千米），
原来相遇的地点距离A地105÷60×40＝70（千米），
3分钟后甲乙相距603（千米），
乙行了201（千米），距离C地70﹣50+1＝19（千米），
甲行了402（千米），丙距离C地70﹣50+2＝22（千米），
乙丙的速度比是19：22，所以丙的速度是每小时20÷19×22（千米/时），
答：丙的速度是每小时行驶千米．
【点评】此题考查的目的是理解掌握相遇问题的基本数量即应用，速度和×相遇时间＝两地间的路程，两地间的路程÷速度和＝相遇时间，关键是求出乙与丙速度的比．
5．一件工作由A，B两道工序，上午在A工序上工作的人数是在B工序上工作人数的．为提高工作效率，下午从B工序上调1人到A工序上，这时A工序上的人数是B工序上人数的，A，B两个工序上共有多少人在工作？
【考点】36：分数除法应用题．菁优网版权所有
【分析】把总人数看成单位“1”，分别求出A工序在上午和下午分别占总人数的几分之几，它们的分数差对应的人数就是1人，任何用除法求出单位“1”
【解答】解：1÷（1+6）
1÷（1+5）
1÷（）
＝1
＝42（人）；
答：A，B两个工序上共有42人在工作．
【点评】解答此题关键找出不变的量，看做单位“1”，分析出数量关系，再根据已知选择合适的解法解决问题．
6．一座下底面是边长为10米的正方形石台，它的一个顶点A有一个虫子巢穴，虫甲每分钟爬6厘米，虫乙每分钟爬10厘米，甲沿正方形的边由A﹣B﹣C﹣D﹣A不停地爬行，甲先爬2厘米后，乙沿甲爬行过的路线追赶甲，当乙遇到甲后，乙就立即沿原路返回巢穴，然后乙再沿甲爬行的路线追赶甲，…在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲时，乙爬行了多长时间？
【考点】M2：追及问题．菁优网版权所有
【专题】48G：综合行程问题．
【分析】根据题意：10米的正方形的周长是10×4×100＝4000（厘米），
每分钟乙虫比甲虫多行10﹣6＝4厘米，每次乙从起点出发追及，乙行的路程不能超过4000厘米．所以每次追及的时间不能超过4000÷10＝400分钟．所以相差的距离不能超过400×4＝1600厘米．
乙第一次追上甲：所差距离为2厘米，所用时间为2÷（10﹣6）＝0.5（分钟），乙返回也需要0.5分钟，这是甲已行了6×0.5×2＝6（厘米）
乙第二次追上甲：所差距离为6+2＝8厘米，所用时间为8÷（10﹣6）＝2（分钟）乙返回也需要2分钟，这是甲又行了6×2×2＝24（厘米）
……
依此类推，当乙5次追上甲时，甲乙距离差为512厘米，所用时间为152÷（10﹣6）＝128（分钟），甲又行了6×128×2＝1536（厘米）
第六次甲乙距离差为1536+512＝2048，2048＞1600，不符合题意，所以，乙第五次追上甲即为最后一次．此时甲共行了128×10﹣2＝1278厘米，用时1278÷6＝213（分钟）．此题得解．
【解答】解：10米的正方形的周长是10×4×100＝4000厘米，每次乙从起点出发追及，乙行的路程不能超过4000厘米．
如图所示：

当第五次追及时，甲乙相距512厘米，当第六次追及时，甲乙相距2048厘米，
512＜1600＜2048，所以在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲是在第五次追及时，
此时甲共行了
128×10﹣2
＝1280﹣2
＝1278（厘米）
1278÷6＝213（分钟）．
答：在甲爬行的一圈内，乙最后一次追上甲时，乙爬行了213分钟．
【点评】本题属于较复杂追及问题．关键是在弄清互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之间的关系，然后运用公式求出第三者来达到解题目的．
7．有一群猴子，分一堆桃子，第一只猴子分了4个桃子和剩下桃子的1/10，第二只猴子分了8个桃子和这时剩下桃子的1/10，第三只猴子分了12个桃子和这时剩下桃子的1/10…依此类推．最后发现这堆桃子正好分完，且每只猴子分得的桃子同样多．那么这群猴子有多少只？
【考点】P4：逻辑推理．菁优网版权所有
【分析】第二只猴子分得的一份比第一只猴子分得的一份少8﹣4＝4个桃子，第二只猴子分得的10份比第一只猴子分得的10份少4×10＝40个桃子；所以，第一只猴子分得的10﹣9＝1份相当于40﹣8＝32个桃子．所以，桃子共有32×10+4＝324个．每只猴子分得：
32+4＝36个，所以有324÷36＝9只猴子．
【解答】解：[（10×4﹣8）×10+4]÷（10×4﹣8+4），
＝324÷36，
＝9（只）；
答：这群猴子有9只．
【点评】此题应先在练习本上画出线段图，进行分析，进而找出规律，然后列式计算即可得出结论．
8．（2017•中山区）有甲、乙两项工作，张师傅单独完成甲工作要9天，单独完成乙工作要12天．王师傅单独完成甲工作要3天，单独完成乙工作要15天．如果两人合作完成这两项工作，最少需要多少天？
【考点】P5：最佳方法问题．菁优网版权所有
【分析】根据题意知道，知道王师傅完成甲工作的时间少，张师傅完成乙工作的时间少，所以分配任务时，让王师傅做甲工作，张师傅做乙工作，然后两人再合作干乙工作．
【解答】解：分配任务，王师傅完成甲工作的时间少，先做3天甲工作，就完成了，
张师傅完成乙工作的时间少，先做3天乙工作，
剩下的工作量是：13＝1，
还需要的天数：（）
，
，
＝5（天），
共有的天数：3+5＝8（天），
答：最少需要8天．
【点评】解答此题的关键是，根据两人的工作效率，如何进行分配工作，才能用最少的时间完成两项工作．
9．某服装厂生产一种服装，每件的成本是144元，售价是200元．一位服装经销商订购了120件这种服装，并提出：如果每件的销售每降低2元，我就多订购6件．按经销商的要求，这个服装厂售出多少件时可以获得最大的利润，这个最大利润是多少元？
【考点】LA：利润和利息问题．菁优网版权所有
【专题】48L：传统应用题专题．
【分析】求出原来每件服装的利润为：200﹣144＝56元，原总利润为：56×120＝2×28×20×6 （此处为何只提取2和6，是因为利润每降2元，件数会增6件），降价1次后，利润为：54×126＝2×27×21×6，同理：降价3次后，利润为：50×138＝2×25×23×6，我们会发现中间的两个数和不变，而数值越来越接近，当其为24×24时，积最大，其后又逐渐远离，积值变小；所以最大利润是2×24×24×6＝6912元；此时售出24×6＝144件服装．
【解答】解：200﹣144＝56（元），
原利润为：56×120＝2×28×20×6，
降价1次后，利润为：54×126＝2×27×21×6，
同理：降价3次后，利润为：50×138＝2×25×23×6，
我们会发现中间的两个数和不变，而数值越来越接近，当其为24×24时，积最大，其后又逐渐远离，积值变小；
所以最大利润是：2×24×24×6＝6912（元），
此时售出：24×6＝144（件）；
答：这个服装厂售出144件时可以获得最大的利润，这个最大利润是6912元．
【点评】此题较难，容易出错，做题时应认真审题，找出题中的数量关系，然后进行分析、推理，进而得出结论．
10．甲、乙两车从A，B两站同时相向而行，已知甲车的速度是乙车的1.4倍，当甲车到达途中C站时，乙车还要再行4小时48分才能到达C站，那么甲车到达C站后还要再行多少小时与乙车相遇？
【考点】M1：相遇问题．菁优网版权所有
【分析】根据题意，甲车的速度是乙车的1.4倍，把乙车的速度看作“1”，甲车到C站时，乙车距离c站还要行4小时48分的路程，也就是说乙4小时48分所行的路程，由甲、乙两车共同行驶的时间即是相遇时间．
【解答】解：相距的路程是乙行44.8小时的路程．
所以，相遇时间是4.8÷（1+1.4）＝2（小时）；
答：还需要再行2小时与乙车相遇．
【点评】此题解答的关键是把乙车的速度看作“1”，明确乙车4小时48分所行的路程，由甲、乙两车共同行驶的时间即是相遇时间．由此解答即可．

考点卡片
1．分数除法应用题
【知识点归纳】
求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）是多少．
特征：已知一个数和另一个数，求一个数是另一个数的几分之几或百分之几．“一个数”是比较量，“另一个数”是标准量．求分率或百分率，也就是求它们的倍数关系．
解题关键：从问题入手，搞清是把谁看做标准的数也就是把谁看做了单位“1”，谁知单位“1”的量比较，谁就作为被除数．
甲是乙的几分之几（或百分之几）：甲是比较量，乙是标准量，用甲除以乙．
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）：甲减乙比乙多（或少）几分之几（或百分之几）．
关系式：（甲数﹣乙数）÷乙数，或（甲数﹣乙数）÷甲数．
特征：已知一个实际数量和它相对应的分率，求单位“1”的量．
解题关键：准确判断单位“1”的量，把单位“1”的量看成x，根据分数乘法的意义列方程，或者根据分数除法的意义列算式，但必须找准和分率相对应的已知实际数量．

【命题方向】
常考题型：
例1：一个长方形长5厘米，宽3厘米，表示（　　）几分之几．
A、长比宽多 B、长比宽少 C、宽比长少 D，宽比长多
分析：据题意5﹣3表示宽比长少的数量，除以5表示宽比长少的数量占长的几分之几．
解：表示宽比长少的占长的几分之几．
故选：C．
点评：此题考查分数应用题的基本类型：一个数比另一个多（或）几分之几的数，多的（或少的）除以另一个数．

例2：弟弟身高120厘米，比哥哥矮，计算哥哥身高的正确式子（　　）
A、120×（1） B、120÷（1） C、120×（1） D、120÷（1）
分析：根据题意“弟弟身高120厘米，比哥哥矮”把哥哥的身高看作单位“1”，哥哥的身高是未知的，用除法计算，数量120除以对应分率（1），据此解答即可．
解：哥哥的身高：120÷（1）．
故选：D．
点评：此题考查分数除法应用题，关键找准单位“1”，单位“1”是未知的，用除法计算，数量除以对应分率．
2．分数四则复合应用题
【知识点归纳】



【命题方向】
常考题型：
例：一瓶油千克，先倒出它的，然后再加千克．现在瓶内的油比原来（　　）
A、增加 B、减少 C、不变
分析：一瓶油千克，先倒出它的，还剩（1）（千克），再加千克，这时油重（）千克，计算即可．
解：现在油重：
（1），
，
，
（千克）；
原来油重：
（千克）；
因为．
所以增多了．
答：现在瓶内的油比原来增多．
故选：A．
点评：解答此题应分清两个“”的区别，第一个“”表示分率，第二个“”表示数量，在列式时不要混淆．
3．工程问题
【知识点归纳】
工程问题公式
（1）一般公式：工效×工时＝工作总量；　　工作总量÷工时＝工效；
　　工作总量÷工效＝工时．
（2）用假设工作总量为“1”的方法解工程问题的公式：
　　1÷工作时间＝单位时间内完成工作总量的几分之几；
　　1÷单位时间能完成的几分之几＝工作时间．
（注意：用假设法解工程题，可任意假定工作总量为2、3、4、5…．特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便．）
解答工程问题利用常见的数学思想方法，如代换法、比例法、列表法、方程法等．抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．

【命题方向】
经典题型：
例1：师徒两人共同加工一批零件，师傅每小时加工9个，徒弟每小时加工5个，完成任务时，徒弟比师傅少加工120个．这批零件共有多少个？
分析：求出师傅比徒弟每小时多加工零件个数，然后依据工作时间＝多的工作总量÷每小时多做零件个数，求出两人完成任务需要的时间，最后根据工作总量＝工作效率×工作时间即可解答．
解：120÷（9﹣5）×（9+5）
＝120÷4×14
＝420（个）
答：这批零件共有420个．
点评：解答本题的关键是求出两人完成任务需要的时间，解答依据是工作时间，工作效率以及工作总量之间数量关系．

例2：一项工程，甲、乙两人合做8天可完成．甲单独做需12天完成．现两人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3．这个工程实际工期为多少天？
分析：由题意可知，甲、乙合作8天完成，甲、乙的合作工作效率为，甲单独12天完成，甲的工作效率为，那么乙的工作效率．人合做几天后，余下的工程由乙独自完成，使乙前后两段所用时间比为1：3，设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：x3x＝1，解此方程求出两人的合作时间后，即能求出实际工期为多少天．
解：．
设两人合作x天，那么乙单独做3x天，由此可得方程：
x3x＝1，
xx＝1，
x＝1，
x＝4．
4+4×3
＝4+12，
＝16（天）．
答：这个工程实际工期为16天．
点评：首先根据题意求出乙的工作效率，然后通过设未知数列出等量关系式是完成本题的关键．
4．利润和利息问题
【知识点归纳】
主要公式：
①商品利润＝商品售价﹣商品进价；
②商品利润率＝商品利润/商品进价×100%；
③商品销售额＝商品销售价×商品销售量；
④商品的销售利润＝（销售价﹣成本价）×销售量．
⑤商品售价＝商品标价×折扣率．
利息＝本金×利率×存期；（注意：利息税）．
本息＝本金+利息，
利息税＝利息×利息税率．
注意利率有日利率、月利率和年利率，年利率＝月利率×12＝日利率×365．

【命题方向】
常考题型：
例1：商店购进了一批钢笔，决定以每支9.5元的价格出售．第一个星期卖出了60%，这时还差84元收回全部成本．又过了一个星期后全部售出，总共获得利润372元．那么商店购进这批钢笔的价格是每支多少元？
分析：又过了一个星期全部售出后，总共获得利润372元，在这之前是还差84元才可以收回全部成本，说明又买出的这部分的总额为372+84＝456（元），买出的这部分钢笔的数量是456÷9.5＝48（支），而这48支相当于总数的1﹣60%＝40%，求出总支数为48÷40%＝120（支）；然后求出每支钢笔盈利为372÷120＝3.1（元），再用每支钢笔的定价减去盈利的部分即为购进价．
解：这批钢笔的总数量：
（372+84）÷9.5÷（1﹣60%），
＝456÷9.5÷0.4，
＝48÷0.4，
＝120（支）；
每支钢笔的购进价：
9.5﹣372÷120，
＝9.5﹣3.1，
＝6.4（元）；
答：商店购进这批钢笔的价格是每支6.4元．
点评：此题条件较复杂，需认真分析，先求出这批钢笔的数量是解决此题的关键．
5．相遇问题
【知识点归纳】
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题．
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度．
它们的基本关系式如下：
总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间
相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速）
另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度．

【命题方向】
常考题型：
例1：根据算式选择问题．甲、乙两人同时从两地相向而行，甲骑车每小时行15千米，乙步行每小时行6千米，经过4小时两人相遇．
（1）甲、乙两人每小时共行多少千米？
（2）两地之间的路程是多少千米？
（3）相遇时，甲行了多少千米？
分析：（1）根据甲乙两人的速度求和，求出甲、乙两人每小时共行多少千米即可；
（2）根据速度×时间＝路程，用甲乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可；
（3）根据速度×时间＝路程，用甲的速度乘以骑车的时间，求出相遇时甲行了多少千米即可．
解：（1）15+6＝21（千米）
答：甲、乙两人每小时共行21千米．

（2）21×4＝84（千米）
答：两地之间的路程是84千米．

（3）15×4＝60（千米）
答：相遇时，甲行了60千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握．
6．追及问题
【知识点归纳】
1．追击问题的概念：
追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题．
2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：
距离差＝速度差×追及时间
追及时间＝距离差÷速度差
速度差＝距离差÷追及时间
速度差＝快速﹣慢速
3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的．

【命题方向】
常考题型：
例1：上午8时8分，小明骑自行车从家里出发，8分后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他，然后爸爸立刻回家．到家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米，问这时是几时几分？
分析：由题意可知：爸爸第一次追上小明后，立即回家，到家后又回头去追小明，再追上小明时走了12千米．可见小明的速度是爸爸的速度的．爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．
那么，小明先走8分钟后，爸爸只花了4分钟即可追上，这段时间爸爸走了4千米．
解：爸爸的速度是小明的几倍：（4+8）÷4＝3（倍），
爸爸从家到第一次追上小明，小明走了4千米，若爸爸与小明同时出发，则爸爸应走出12千米，但是由于爸爸晚出发8分钟，所以只走了4千米，所以爸爸8分钟应走8千米，则爸爸的速度为1千米/分钟．
爸爸所用的时间：（4+4+8）÷1＝16（分钟）
16+16＝32（分钟）
答：这时是8时32分．
点评：此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意．
7．多次相遇问题
【知识点归纳】
多次相遇的基本公式和方法计算：
距离、速度、时间这三个量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离＝速度×时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量．
还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S甲、S乙；速度分别为V甲、V乙；所用时间分别为T甲、T乙时，由于S甲＝V甲×T甲，S乙＝V乙×T乙，有如下关系：
（1）当时间相同即T甲＝T乙时，有S甲：S乙＝V甲：V乙；
（2）当速度相同即V甲＝V乙时，有S甲：S乙＝T甲：T乙；
（3）当路程相同即S甲＝S乙时，有V甲：V乙＝T乙：T甲．
在多次相遇、追及问题中，用比例方法来解往往能收到很好的效果．

【命题方向】
经典题型：
例1：如图：A、B是圆直径的两端，小张在A点，小王在B点，同时出发反向而行，他们在C点第一次相遇，C点离A点100米，在D点第二次相遇，D点离A点有60米，求这个图的周长．

分析：由题意可知，第一次相遇于C点，两人合走了半个周长．从C点开始到第二次相遇于D点，两人合起来走了一个周长．因为两速度和一定，所以第一段所需时间是第二段的一半．对于小王而言，他第一段所走的行程是第二段的一半．则C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，小王第一段所走的行程为BC，第二段所走的为CD，则CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，所以半圆周长是100+80＝180米，圆的周长是180×2＝360米．
对于第二种情况，小王所走的行程为BC，第二段所走的为CD，同样有CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，则半圆周长是100+20＝120米，圆的周长是120×2＝240米．
即这个圆的周长为360米或240米．

解：由题可知，C，D的关系有如下两种情况：

对于第一种情况，CD＝2BC，所以CD＝AC+AD＝160米，则BC＝160÷2＝80米，
所以半圆周长是100+80＝180（米），
圆的周长是180×2＝360（米）．
对于第二种情况，CD＝2BC，CD＝AC﹣AD＝40米，则BC＝40÷2＝20米，
则半圆周长是100+20＝120（米），
圆的周长是120×2＝240（米）．
即这个圆的周长为360米或240米．
点评：完成本题要细心，注意分析所给条件，从两种情况进行分析解答．

8．逻辑推理
【知识点归纳】
基本方法简介：
①条件分析﹣假设法：假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断，如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假设情况是不成立的，那么与他的相反情况是成立的．例如，假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾，那么a一定是奇数．
②条件分析﹣列表法：当题设条件比较多，需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析．列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分别表示不同的对象与情况，观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断．
③条件分析﹣﹣图表法：当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象之间的关系，有连线则表示“是，有”等肯定的状态，没有连线则表示否定的状态．例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态，有连线表示认识，没有表示不认识．
④逻辑计算：在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算，根据计算的结果为推理提供一个新的判断筛选条件．
⑤简单归纳与推理：根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决．

【命题方向】
经典题型：
例1：有A，B，C，D，E五名同学进行象棋比赛，规定每两个人之间要赛一场，到现在为止，A已经赛了4场，B已经赛了3场，C已经赛了2场，D已经赛了1场，那么E赛了（　　）场．
A、1 B、2 C、3 D、4
分析：5个人两两之间比赛，那么每个人要和另外4人比赛，每人赛4场，再根据ABCD四人赛的场次进行推算．
解：每人最多赛4场；
A已经赛了4场，说明它和另外的四人都赛了一场，包括D和E；
E赛了1场，说明他只和A进行了比赛，没有和其它选手比赛；
B赛了3场，他没有和E比赛，是和另外另外的三人进行了比赛，包括C和E；
C赛了2场，是和A、B进行的比赛，没有和E比赛；
所以E只和A、B进行了比赛，一共是2场．
故选：B．
点评：本题根据每个人最多只能比赛4场作为突破口，进行逐个推理，找出E进行比赛的场次．
9．最佳方法问题
【知识点归纳】
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日期：2019/5/6 9:12:16；用户：jiangwenxiu；邮箱：jiangwenxiu@xyh.com；学号：26799902