试卷 中考数学知识点+经典例题+真题训练 专题15 相交线与平行线含答案

专题15 相交线与平行线

一、相交线

1．邻补角：两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角是邻补角。

邻补角的性质：邻补角互补。

2．对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，像这样的两个角互为对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

3．垂线：两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

4．垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

5．同位角、内错角、同旁内角：

同位角：∠1与∠5像这样具有相同位置关系的一对角叫做同位角。

内错角：∠2与∠6像这样的一对角叫做内错角。

同旁内角：∠2与∠5像这样的一对角叫做同旁内角。

二、平行线

1.平行线概念：在同一平面内，两条不想交的直线叫做平行线。记做a∥b

2.两条直线的位置关系：平行和相交。

3.平行线公理及其推论：

（1）经过已知直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行；

（2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行.

4.平行线的判定：

判定方法1：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，两直线平行 ；

判定方法2：两条直线被第三条直线所截，内错角相等，两直线平行；

判定方法3：两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，两直线平行.

5.平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

6.平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

7．证明的一般步骤

（1）根据题意，画出图形。

（2）根据题设、结论、结合图形，写出已知、求证。

（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。

【例题1】（2019•河北省）下面是投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容

则回答正确的是（　　）

A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 

C．▲代表∠EFC D．※代表AB

【答案】C．

【解析】证明：延长BE交CD于点F，

则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）．

又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC．

故AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．

【例题2】（2019广西河池）如图，，要使，则的大小是　　

A． B． C． D．

【答案】．

【解析】平行线的判定

如果，那么．

所以要使，则的大小是．故选：．

【例题3】（2019广西省贵港市）如图，直线，直线与，均相交，若，则　　．

【答案】．

【解析】知识点是平行线的性质

如图，，

，

，

．

一、选择题

1.（2019•贵州省铜仁市）如图，如果∠1＝∠3，∠2＝60°，那么∠4的度数为（　　）

A．60° B．100° C．120° D．130°\

【答案】C．

【解答】∵∠1＝∠3，

∴a∥b，

∴∠5＝∠2＝60°，

∴∠4＝180°﹣60°＝120°，

2.（2019广东深圳）如图，已知l1∥AB，AC为角平分线，下列说法错误的是（    ）

A．∠1=∠4    B．∠1=∠5        C．∠2=∠3     D．∠1=∠3

【答案】B

【解析】∵AC为角平分线，∴∠1=∠2．∵l1∥AB，∴∠4=∠2，∠3=∠2，∴∠1=∠4，∠1=∠3．故A、C、D正确．∵l1∥AB，∴∠5=∠1+∠2，故B错误．故选B．

3.（2019•湖北省鄂州市）如图，一块直角三角尺的一个顶点落在直尺的一边上，若∠2＝35°，则∠1的度数为（　　）

A．45°              B．55° C．65° D．75°

【答案】B

【解析】根据平行线的性质和直角的定义解答即可．

如图，

作EF∥AB∥CD，

∴∠2＝∠AEF＝35°，∠1＝∠FEC，

∵∠AEC＝90°，

∴∠1＝90°﹣35°＝55°

4.（2019•海南省）如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连结AC、BC．若∠ABC＝70°，则∠1的大小为（　　）

A．20° B．35° C．40° D．70°

【答案】C

【解析】根据平行线的性质解答即可．

∵点A为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C，

∴AC＝AB，

∴∠CBA＝∠BCA＝70°，

∵l1∥l2，

∴∠CBA+∠BCA+∠1＝180°，

∴∠1＝180°﹣70°﹣70°＝40°

5.（2019广西北部湾）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为。

A. 60°          B.65°           C. 75°         D.85°

【答案】C.

【解析】如图：

∵∠BCA=60°，∠DCE=45°，
∴∠2=180°-60°-45°=75°，
∵HF∥BC，
∴∠1=∠2=75°.
6.（2019•四川省凉山州）如图，BD∥EF，AE与BD交于点C，∠B＝30°，∠A＝75°，则∠E的度数为（　　）

A．135° B．125° C．115° D．105°

【答案】D

【解析】直接利用三角形的外角性质得出∠ACD度数，再利用平行线的性质分析得出答案．

∵∠B＝30°，∠A＝75°，

∴∠ACD＝30°+75°＝105°，

∵BD∥EF，

∴∠E＝∠ACD＝105°．

7.（2019湖北十堰）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝50°，则∠2＝（　　）

A．50° B．45° C．40° D．30°

【答案】C

【解析】根据垂直的定义和余角的定义列式计算得到∠3，根据两直线平行，内错角相等可得∠3＝∠1．

解：∵直线AB⊥AC，

∴∠2+∠3＝90°．

∵∠1＝50°，

∴∠3＝90°﹣∠1＝40°，

∵直线a∥b，

∴∠1＝∠3＝40°

8.（2019湖北仙桃）如图，CD∥AB，点O在AB上，OE平分∠BOD，OF⊥OE，∠D＝110°，则∠AOF的度数是（　　）

A．20° B．25° C．30° D．35°

【答案】D

【解析】∵CD∥AB，

∴∠AOD+∠D＝180°，

∴∠AOD＝70°，

∴∠DOB＝110°，

∵OE平分∠BOD，

∴∠DOE＝55°，

∵OF⊥OE，

∴∠FOE＝90°，

∴∠DOF＝90°﹣55°＝35°，

∴∠AOF＝70°﹣35°＝35°

9. （2019湖北孝感）如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠1＝70°，则∠2的度数为（　　）

A．10° B．20° C．30° D．40°

【答案】B

【解析】解：∵l1∥l2，

∴∠1＝∠CAB＝70°，

∵BC⊥l3交l1于点B，

∴∠ACB＝90°，

∴∠2＝180°﹣90°﹣70°＝20°，

10.（2019湖南湘西）如图，直线a∥b，∠1＝50°，∠2＝40°，则∠3的度数为（　　）

A．40° B．90° C．50° D．100°

【答案】B

【解析】∵a∥b，

∴∠4＝∠1＝50°，

∵∠2＝40°，

∴∠3＝90°，

故选：B．

11.（2019湖南邵阳）如图，已知两直线与被第三条直线所截，下列等式一定成立的是　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】与是同为角，与是内错角，与是同旁内角，由平行线的性质可知，选项，，成立的条件为时，而与是邻补角，故正确．

12.（2019贵州遵义）如图，∠1+∠2=180°，∠3=104°，则∠4的度数是（   ）

A. 74°   B. 76°   C. 84°   D. 86°

【答案】B

【解析】平行线的性质与判定

由于∠1+∠2=180°可知两直线平行，所以∠3的对顶角与∠4互补，因为∠3=104°，

所以，∠4的度数是76°，所以选B。

二、填空题

13.（2019湖南郴州）如图，直线a，b被直线c，d所截．若a∥b，∠1＝130°，∠2＝30°，则∠3的度数为  　度．

【答案】100

【解析】∵a∥b，

∴∠3＝∠4，

∵∠1＝∠2+∠4＝∠2+∠3，∠1＝130°，∠2＝30°，

∴130°＝30°+∠3，

解得：∠3＝100°．

故答案为：100．

14.（2019年广西柳州市）如图，若AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是___________．

【答案】∠1=∠3

【解析】平行线的判定

AB∥CD，根据两直线平行，同位角相等得∠1=∠3，因此本题填∠1=∠3．

15.（2019吉林长春）如图，直线MN//PQ，点A、B分别在MN、PQ上，∠MAB=33°.过线段上的点C作CD⊥AB交PQ于点D，则∠CDB的大小为          度

【答案】57．

【解析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理，直接利用平行线的性质得出∠ABD的度数，再结合三角形内角和定理得出答案．

∵直线MN∥PQ，
∴∠MAB=∠ABD=33°，
∵CD⊥AB，
∴∠BCD=90°，
∴∠CDB=90°-33°=57°．
16.（2019江苏镇江）如图，直线a∥b，△ABC的顶点C在直线b上，边AB与直线b相交于点D．若△BCD是等边三角形，∠A＝20°，则∠1＝      ．

【答案】40°

【解析】本题考查了平行线的性质、等边三角形的性质及三角形内角和定理，根据等边三角形的性质及三角形内角和定理，先求出∠ACD的度数是解题的关键．

∵△BCD是等边三角形，

∴∠B＝∠BCD＝60°．

∵∠A＝20°，

∴∠ACB＝180°－∠A－∠B＝100°．

∴∠ACD＝∠ACB－∠BCD＝40°．

∵a∥b，

∴∠1＝∠ACD＝40°．

17.（2019江苏镇江）如图，直线，的顶点在直线上，边与直线相交于点．若是等边三角形，，则　　 ．

【答案】40

【解析】是等边三角形，

，

，

，

由三角形的外角性质可知，

18.(2019•四川省绵阳市)如图，AB∥CD，∠ABD的平分线与∠BDC的平分线交于点E，则∠1+∠2=______．

【答案】90°

【解析】∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，

∵BE是∠ABD的平分线，∴∠1=∠ABD，

∵BE是∠BDC的平分线，∴∠2=∠CDB，∴∠1+∠2=90°，故答案为：90°．

根据平行线的性质可得∠ABD+∠CDB=180°，再根据角平分线的定义可得∠1=∠ABD，∠2=∠CDB，进而可得结论．

19.（2019湖南益阳）如图，直线AB∥CD，OA⊥OB，若∠1＝142°，则∠2＝　　度．

【答案】52．

【解析】根据平行线的性质解答即可．

∵AB∥CD，∴∠OCD＝∠2，

∵OA⊥OB，∴∠O＝90°，

∵∠1＝∠OCD+∠O＝142°，

∴∠2＝∠1﹣∠O＝142°﹣90°＝52°

20．（2019•威海）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，过点C作CE⊥BC，交AD于点E，连接BE，∠BEC＝∠DEC，若AB＝6，则CD＝　　．

【答案】3

【解析】延长BC、AD相交于点F，可证△EBC≌△EFC，可得BC＝CF，则CD为△ABF的中位线，故CD＝可求出．如图，延长BC、AD相交于点F，

∵CE⊥BC，∴∠BCE＝∠FCE＝90°，

∵∠BEC＝∠DEC，CE＝CE，

∴△EBC≌△EFC（ASA），∴BC＝CF，

∵AB∥DC，∴AD＝DF，

∴DC＝．

三、解答题

21.（经典题）如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．

【答案】69°．

【解析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质可求出∠AFE的度数．

∵∠AEC=42°，

∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°，

∵EF平分∠AED，

∴∠DEF=∠AED=69°，

又∵AB∥CD，

∴∠AFE=∠DEF=69°．