试卷 中考数学知识点+经典例题+真题训练 专题06 一元一次方程及其应用含答案

专题06 一元一次方程及其应用

知识点1：一元一次方程的概念
1.一元一次方程：
一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)。
要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的次数是1次；
（3）整式方程．

注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。

2.方程的解：
　　判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等．
知识点2：一元一次方程的解法
1.方程的同解原理（也叫等式的基本性质）

性质1：等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。

性质2：等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能是零），所得结果仍是等式。

要点诠释：
分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。
2.解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质2，注意防止漏乘（尤其整数项），注意添括号。

（2）去括号

 一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏乘。

（3）移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式基本性质1，移项要变号，不移不变号。

（4）合并同类项

把方程化成ax＝b(a≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。

（5）系数化为1

在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x＝b/a ,依据等式基本性质2，计算要仔细，分子分母勿颠倒。

要点诠释：
理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:
①a≠0时，方程有唯一解x＝b/a ；
②a=0，b=0时，方程有无数个解；
③a=0，b≠0时，方程无解。
知识点3：列一元一次方程解应用题
1.列一元一次方程解应用题的一般步骤：
（1）审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。

（2）设—设出未知数：根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。

（4）解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，

检验后写出答案，注意带上单位。
2.常见的一些等量关系
（1）行程问题：  距离=速度·时间    

（2）工程问题：  工作量=工效·工时 

（3）比率问题：  部分=全体·比率  

（4）顺逆流问题：  顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；

（5）商品价格问题：  售价=定价·折· ，利润=售价-成本， ；

（6）周长、面积、体积问题：C圆=2πR，S圆=πR2，C长方形=2(a+b)，S长方形=ab， C正方形=4a，

S正方形=a2，S环形=π(R2-r2),V长方体=abc ，V正方体=a3，V圆柱=πR2h ，V圆锥=πR2h.

知识点4：方程与整式、等式的区别
（1）从概念来看：
整式：单项式和多项式统称整式。
等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如2+3=5，m＝n＝n＋m等都叫做等式，而像－3a+2b，3 m2n不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。
方程：含有未知数的等式叫做方程。如5x＋3＝11。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知数。两者缺一不可。
（2）从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用运算符号连接起来，不含有等号。
（3）从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。

【例题1】（经典题）解方程：

【答案】x=

【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解

左右同乘12可得：3[2x﹣（x﹣1）]=8（x﹣1），

化简可得：3x+3=8x﹣8，

移项可得：5x=11，

解可得x=．

故原方程的解为x=

【例题2】（2019•杭州）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（　　）

A．2x+3（72﹣x）＝30 B．3x+2（72﹣x）＝30 

C．2x+3（30﹣x）＝72 D．3x+2（30﹣x）＝72

【答案】D．

【解析】设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：

3x+2（30﹣x）＝72．

【例题3】（2019•张家界）《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多　   　步．

【答案】12

【解析】设长为x步，宽为（60﹣x）步，

x（60﹣x）＝864，

解得，x1＝36，x2＝24（舍去），

∴当x＝36时，60﹣x＝24，

∴长比宽多：36﹣24＝12（步）

【例题4】（2019▪湖北黄石）“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”（出自《九章算术》）意思是：同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题：

（1）今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？

（2）今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走200步，请问走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？

【答案】（1）当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．

（2）走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

【解析】（1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人的走x步，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．列方程求解即可。

由题意得

x：600＝100：60   ∴x＝1000

∴1000﹣600﹣100＝300

所以当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步．

（2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解．

由题意得

y＝200+y

∴y＝500

所以走路快的人走500步才能追上走路慢的人．

一、选择题

1.（2019▪贵州毕节）如果3ab2m﹣1与9abm+1是同类项，那么m等于（　　）

A．2        B．1         C．﹣1        D．0

【答案】A

【解析】根据同类项的定义得出m的方程解答即可．

根据题意可得：2m﹣1＝m+1，

解得：m＝2

2.（2019•湖南怀化）一元一次方程x﹣2＝0的解是（　　）

A．x＝2       B．x＝﹣2      C．x＝0 D．x＝1

【答案】A

【解析】直接利用一元一次方程的解法得出答案．

x﹣2＝0，

解得：x＝2．

3.（2018江苏无锡）林地108公顷，旱地54公顷，为保护环境，需把一部分旱地改造为林地，使旱地占林地面积的20%，设把x公顷旱地改为林地，则可列方程(    )

A.          B.         

C.          D.

【答案】B.

【解析】根据题意，旱地改为林地后，旱地面积为公顷，林地面积为公顷，等量关系为“旱地占林地面积的20%”，即. 故选B.

4．（2018湖南长沙）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（　　）

A．2×1000（26﹣x）=800x  B．1000（13﹣x）=800x

C．1000（26﹣x）=2×800x  D．1000（26﹣x）=800x

【答案】C 

【解析】题目已经设出安排x名工人生产螺钉，则（26﹣x）人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程．由题意得

1000（26﹣x）=2×800x，故C答案正确。

5．（2019•襄阳）《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合伙买羊，每人出5钱，会差45钱；每人出7钱，会差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为x人，所列方程正确的是（　　）

A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C．＝ D．＝

【答案】B

【解析】设合伙人数为x人，

依题意，得：5x+45＝7x+3．

二、填空题

6.（经典题）方程﹣（1﹣2x）=（3x+1）的解为___________.

【答案】x=﹣．

【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为1，从而得到方程的解

﹣7（1﹣2x）=3×2（3x+1）

﹣7+14x=18x+6

﹣4x=13

x=﹣．

7.（2019贵州黔西南州）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是　   　元．

【答案】2000

【解析】一元一次方程的应用。

设这种商品的进价是x元，

由题意，得（1+40%）x×0.8＝2240．

解得x＝2000

8.（2019湖南湘西）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为　   　．

【答案】4

【解析】考查一元一次方程的解

∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，

∴3×2﹣2k+2＝0，

解得：k＝4．

9．（2018福建）一件服装的标价为300元，打八折销售后可获利60元，则该件服装的成本价是　　元．

【答案】180

【解析】设该件服装的成本价是x元．根据“利润=标价×折扣﹣进价”即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论．

设该件服装的成本价是x元，

依题意得：300×﹣x=60，

解得：x=180．

∴该件服装的成本价是180元．

10.（2018武汉）某商品的进价为每件100元，按标价打八折售出后每件可获利20元，则该商品的标价为每件　    　元．

【答案】150． 

【解析】考点是一元一次方程的应用．设该商品的标价为每件为x元，根据八折出售可获利20元，可得出方程：80%x﹣100=20，再解答即可．

解得：x=150．

答：该商品的标价为每件150元．

11.（2019贵州省毕节市）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是　   　元．

【答案】2000.

【解析】一元一次方程的应用。

设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．

由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．

解得：x＝2000

12.（2019•湖南株洲）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有善行者

行一百步，不善行者行六十步．今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？“其意思为：速

度快的人走100步，速度慢的人只走60步，现速度慢的人先走100步，速度快的人去追赶，则速度快的

人要走　    　步才能追到速度慢的人．

[【答案】250．

【解析】设走路快的人追上走路慢的人所用时间为t，根据二者的速度差×时间＝路程，即可求出t值，再将其代入路程＝速度×时间，即可求出结论．

根据题意得：（100﹣60）t＝100，

解得：t＝2.5，

∴100t＝100×2.5＝250．

所以走路快的人要走250步才能追上走路慢的人．

13.（2019▪贵州毕节）某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商品，按标价8折销售，售价为2240元，则这种商品的进价是　 　元．

【答案】2000

【解析】设这种商品的进价是x元，根据提价之后打八折，售价为2240元，列方程解答即可．

由题意得，（1+40%）x×0.8＝2240．

解得：x＝2000

14.（2019•湖南湘西州）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为　  　．

【答案】4

【解析】∵关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，

∴3×2﹣2k+2＝0，

解得：k＝4．

15.（2019•湖南岳阳）我国古代的数学名著《九章算术》中有下列问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺．问日织几何？”其意思为：今有一女子很会织布，每日加倍增长，5日共织布5尺．问每日各织多少布？根据此问题中的已知条件，可求得该女子第一天织布　　尺．

【答案】．[

【解析】设第一天织布x尺，则第二天织布2x尺，第三天织布4x尺，第四天织布8x尺，第五天织布16x尺，根据题意可得：

x+2x+4x+8x+16x＝5，

解得：x＝，

即该女子第一天织布尺．

三、解答题

16.（经典题）解方程

（1）4﹣x=3（2﹣x）；

（2）．

【答案】见解析。

【解析】（1）去括号得：4﹣x=6﹣3x，

移项得：﹣x+3x=6﹣4，

合并得：2x=2，

系数化为1得：x=1．

（2）去分母得：5（x﹣1）﹣2（x+1）=2，

去括号得：5x﹣5﹣2x﹣2=2，

移项得：5x﹣2x=2+5+2，

合并得：3x=9，

系数化1得：x=3．

17．（经典题）解方程

（1）4（x﹣1）﹣3（20﹣x）=5（x﹣2）；

（2）x﹣=2﹣．

【答案】见解析。

【解析】（1）去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10

移项得：4x+3x﹣5x=4+60﹣10

合并得：2x=54

系数化为1得：x=27；

（2）去分母得：6x﹣3（x﹣1）=12﹣2（x+2）

去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4

移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3

合并得：5x=5

系数化为1得：x=1．

18.（2019•湖南岳阳）岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放40年地方改革创新40案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地1200亩用于复耕和改造，其中复耕土地面积比改造土地面积多600亩．

（1）求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？

（2）该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的，求休闲小广场总面积最多为多少亩？

【答案】见解析。

【解析】（1）设改造土地面积是x亩，则复耕土地面积是（600+x）亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200亩”列出方程并解答；

由题意，得x+（600+x）＝1200,解得x＝300．

则600+x＝900．

所以改造土地面积是300亩，则复耕土地面积是900亩。

（2）设休闲小广场总面积是y亩，则花卉园总面积是（300﹣y）亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总面积的”列出不等式并解答．

 由题意，得y≤（300﹣y）．

解得 y≤75．

故休闲小广场总面积最多为75亩．

所以休闲小广场总面积最多为75亩．

19.（2019•甘肃）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？

【答案】共有39人，15辆车．

【解析】设共有x人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．

根据题意得：+2＝，

去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，

∴＝15，

则共有39人，15辆车．

 20．（2019•张家界）某社区购买甲、乙两种树苗进行绿化，已知甲种树苗每棵30元，乙种树苗每棵20元，且乙种树苗棵数比甲种树苗棵数的2倍少40棵，购买两种树苗的总金额为9000元．

（1）求购买甲、乙两种树苗各多少棵？

（2）为保证绿化效果，社区决定再购买甲、乙两种树苗共10棵，总费用不超过230元，求可能的购买方案？

【答案】见解析。

【解析】（1）设购买甲种树苗x棵，购买乙种树苗（2x﹣40）棵，

由题意可得，30x+20（2x﹣40）＝9000，

70x＝9800，x＝140，

∴购买甲种树苗140棵，乙种树苗240棵。

（2）设购买甲树苗y棵。乙树苗（10-y）棵，

根据题意得：30y+20（10-y）230

10y30   y3

购买方案2：购买甲树苗2棵，乙树苗8棵；

购买方案3：购买甲树苗1棵，乙树苗9棵；

购买方案4：购买甲树苗0棵，乙树苗10棵。

21.(2019安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？

【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天．

【解析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米．根据“甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米”列出方程，然后求工作时间．

由题意，得2x+（x+x﹣2）＝26，

解得x＝7，

所以乙工程队每天掘进5米，

（天）

所以甲乙两个工程队还需联合工作10天．