全国版2021届高考数学二轮复习专题检测六三角函数的图象与性质理含解析

专题检测（六）  三角函数的图象与性质

A组——“6＋3＋3”考点落实练

一、选择题

1．(2019·广东省七校联考)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

解析：选B　由－＋kπ<－<＋kπ，k∈Z，得2kπ－<x<2kπ＋，k∈Z，则函数f(x)＝tan的单调递增区间是，k∈Z.故选B.

2．(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω>0)两个相邻的极值点，则ω＝(　　)

A．2　　　　　　　　　 B．

C．1 D．

解析：选A　由题意及函数y＝sin ωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.

故选A.

3．(2019·江西七校第一次联考)函数y＝sin的图象与函数y＝cos的图象(　　)

A．有相同的对称轴但无相同的对称中心

B．有相同的对称中心但无相同的对称轴

C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心

D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴

解析：选A　当x＝＋kπ，k∈Z时，cos＝±1，所以函数y＝cos的图象的对称轴是x＝＋kπ，k∈Z，又当2x－＝＋kπ，k∈Z，即x＝＋，k∈Z时，sin＝±1，所以y＝sin的图象的对称轴是x＝＋，k∈Z，所以y＝cos的图象的对称轴都是y＝sin的图象的对称轴；当x＝＋kπ，k∈Z时，cos＝0，所以y＝cos的图象的对称中心是，k∈Z，又当x＝＋，k∈Z时，sin＝0，所以y＝sin的图象的对称中心是，k∈Z，由此可得，它们的对称中心均不相同．故选A.

4．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)

A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin

C．g(x)＝sin 4x D．g(x)＝cos x

解析：选C　根据题图得A＝1，T＝－＝⇒T＝π＝⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由f ＝sin＝1⇒sin＝1⇒＋φ＝＋2kπ，k∈Z⇒φ＝＋2kπ，k∈Z，因为|φ|<，所以φ＝，所以f(x)＝sin.将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到的图象对应的函数解析式为y＝f＝sin＝sin 2x，再将其图象上所有点的横坐标变为原来的，则所得图象对应函数g(x)的解析式为g(x)＝sin 4x.故选C.

5．(2019·湖南省湘东六校联考)已知函数f(x)＝|sin x|·|cos x|，则下列说法不正确的是(　　)

A．f(x)的图象关于直线x＝对称

B．f(x)的最小正周期为

C．(π，0)是f(x)图象的一个对称中心

D．f(x)在区间上单调递减

解析：选C　f(x)＝|sin x|·|cos x|＝|sin 2x|，作出函数f(x)的图象如图所示，由图知函数f(x)的图象关于直线x＝对称，f(x)的最小正周期为，f(x)在区间上单调递减，f(x)的图象无对称中心．故选C.

6．(2019·昆明市质量检测)将函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得图象对应的函数在区间[－m，m]上单调递增，则m的最大值为(　　)

A.   B.

C. D.

解析：选A　函数y＝sin的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y＝sin＝cos，由－π＋2kπ≤2x－≤2kπ(k∈Z)，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以当k＝0时函数的一个单调递增区间是，所以m的最大值为.故选A.

二、填空题

7．(2019·广东揭阳检测改编)已知f(x)＝sin－cos，则f(x)的最小正周期为________，f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝________.

解析：依题意可得f(x)＝2sin x，其最小正周期T＝6，且f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝0，故f(1)＋f(2)＋…＋f(2 019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＝2.

答案：6　2

8．(2019·天津高考改编)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f ＝________.

解析：因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.

由题意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期为2π，

所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，

所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.

所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.

答案：

9．(2019·福州模拟)已知函数f(x)＝sin 2x＋2sin2x－1在[0，m]上单调递增，则m的最大值是________．

解析：由题意，得f(x)＝sin 2x－cos 2x＝sin，由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，解得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，k＝0时，－≤x≤，即函数f(x)在上单调递增．因为函数f(x)在[0，m]上单调递增，所以0<m≤，即m的最大值为.

答案：

三、解答题

10．设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f ＝0.

(1)求ω；

(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，

所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx

＝sin ωx－cos ωx

＝

＝sin.

因为f＝0，

所以－＝kπ，k∈Z.

故ω＝6k＋2，k∈Z.

又0<ω<3，所以ω＝2.

(2)由(1)得f(x)＝sin，

所以g(x)＝sin＝sin.

因为x∈，

所以x－∈，

当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.

11．已知m＝，n＝(cos x,1)．

(1)若m∥n，求tan x的值；

(2)若函数f(x)＝m·n，x∈[0，π]，求f(x)的单调递增区间．

解：(1)由m∥n得，sin－cos x＝0，展开变形可得，sin x＝cos x，即tan x＝.

(2)f(x)＝m·n＝sincos x＋1

＝sin xcos x－cos2x＋1

＝sin 2x－＋1

＝＋

＝sin＋，

由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.

又x∈[0，π]，所以当x∈[0，π]时，f(x)的单调递增区间为和.

12．已知函数f(x)＝cos x(2sin x＋cos x)－sin2x.

(1)求函数f(x)的最小正周期；

(2)若当x∈时，不等式f(x)≥m有解，求实数m的取值范围．

解：(1)f(x)＝2sin xcos x＋cos2x－sin2x

＝sin 2x＋cos 2x

＝2

＝2sin，

所以函数f(x)的最小正周期T＝π.

(2)由题意可知，不等式f(x)≥m有解，

即m≤f(x)max，

因为x∈，所以2x＋∈，

故当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值，

且最大值为f＝2.从而可得m≤2.

所以实数m的取值范围为(－∞，2]．

B组——大题专攻强化练

1．已知向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，函数f(x)＝m·n＋，直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为.

(1)求ω的值；

(2)求函数f(x)的单调递增区间．

解：(1)因为向量m＝(2sin ωx，sin ωx)，n＝(cos ωx，－2sin ωx)(ω>0)，所以函数f(x)＝m·n＋＝2sin ωxcos ωx＋sin ωx·(－2sin ωx)＋＝sin 2ωx－2sin2ωx＋＝sin 2ωx＋cos 2ωx＝2sin.

因为直线x＝x1，x＝x2是函数y＝f(x)的图象的任意两条对称轴，且|x1－x2|的最小值为，所以函数f(x)的最小正周期为×2＝π，即＝π，得ω＝1.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin，

令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，

解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，

所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．

2．已知函数f(x)＝sin 2ωx＋cos4ωx－sin4ωx＋1(0<ω<1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．

(1)求f(x)的解析式，并求距y轴最近的一条对称轴的方程；

(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．

解：(1)f(x)＝sin 2ωx＋(cos2ωx－sin2ωx)·(cos2ωx＋sin2ωx)＋1

＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋1

＝2sin＋1.

∵点是函数f(x)图象的一个对称中心，

∴－＋＝kπ，k∈Z，∴ω＝－3k＋，k∈Z.

∵0<ω<1，∴k＝0，ω＝，∴f(x)＝2sin＋1.

由x＋＝kπ＋，k∈Z，得x＝kπ＋，k∈Z，

令k＝0，得距y轴最近的一条对称轴方程为x＝.

(2)由(1)知，f(x)＝2sin＋1，当x∈[－π，π]时，列表如下：

则函数f(x)在区间[－π，π]上的图象如图所示．

3．函数f(x)＝Asin＋1(A>0，ω>0)的最小值为－1，其图象相邻两个最高点之间的距离为π.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)设α∈，f＝2，求α的值．

解：(1)∵函数f(x)的最小值为－1，

∴－A＋1＝－1，即A＝2.

∵函数f(x)的图象的相邻两个最高点之间的距离为π，

∴函数f(x)的最小正周期T＝π，

∴ω＝2，故函数f(x)的解析式为

f(x)＝2sin＋1.

(2)∵f＝2sin＋1＝2，

∴sin＝.

∵0<α<，∴－<α－<，

∴α－＝，解得α＝.

4．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)图象的相邻两对称轴之间的距离为，且在x＝时取得最大值1.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)当x∈时，若方程f(x)＝a恰好有三个根，分别为x1，x2，x3，求x1＋x2＋x3的取值范围．

解：(1)由题意，T＝2×＝π，故ω＝＝2，

所以sin＝sin＝1，

所以＋φ＝2kπ＋，k∈Z，

所以φ＝2kπ＋，k∈Z.

因为0≤φ≤，所以φ＝，

所以f(x)＝sin.

(2)画出该函数的图象如图，当≤a<1时，方程f(x)＝a恰好有三个根，且点(x1，a)和(x2，a)关于直线x＝对称，点(x2，a)和(x3，a)关于直线x＝对称，

所以x1＋x2＝，π≤x3<，

所以≤x1＋x2＋x3<，

故x1＋x2＋x3的取值范围为.