专题45 空间几何体的折叠问题-2021年高考数学微专题复习练习（新高考地区专用）

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题型一 、展开问题
例1、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cs∠FCB=______________.
例2、(2017南京三模）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，BB1＝3，∠ABC＝90°，点D为侧棱BB1上的动点．当AD＋DC1最小时，三棱锥D－ABC1的体积为 ▲ ．
A
C
B
A1
B1
C1
D
题型二、折叠问题
例3、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.
（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；
（2）求图2中的二面角B−CG−A的大小.
例4、【2018年高考全国Ⅰ卷理数】如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值.
例5、（2020届山东省德州市高三上期末）如图（1），边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图（3）.
（1）求证：；
（2）求二面角最小时的余弦值.
例6、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）如图，为正三角形，且，，将沿翻折.
（1）若点的射影在上，求的长；
（2）若点的射影在中，且直线与平面所成角的正弦值为，求的长.
题型三、折叠的综合性问题
例7、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知菱形中，，与相交于点，将沿折起，使顶点至点，在折起的过程中，下列结论正确的是( )
A．B．存在一个位置，使为等边三角形
C．与不可能垂直D．直线与平面所成的角的最大值为
例8、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）如图，在直角梯形中，，，，为中点，，分别为，的中点，将沿折起，使点到，到，在翻折过程中，有下列命题：
①的最小值为；
②平面；
③存在某个位置，使；
④无论位于何位置，均有.
其中正确命题的个数为（ ）
A．B．C．D．
二、达标训练
1、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知边长为2的等边三角形，为的中点，以为折痕进行折叠，使折后的，则过，，，四点的球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）如图，点在正方体的表面上运动，且到直线与直线 的距离相等，如果将正方体在平面内展开，那么动点的轨迹在展开图中的形状是（ ）
A．B．
C．D．
3、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE，AF及EF将这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，则在这个空间图形中必有( )
A. AG⊥平面EFH B. AH⊥平面EFH
C. HF⊥平面AEF D. HG⊥平面AEF
4、【2020年高考浙江】已知圆锥的侧面积（单位：cm2）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm）是_______．
5、（2020届山东省济宁市高三上期末）下图是两个腰长均为的等腰直角三角形拼成的一个四边形，现将四边形沿折成直二面角，则三棱锥的外接球的体积为__________．
6、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为eq \r(2)的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________．
（图1） （图2）
7、【天津市和平区2020届高考三模】如图甲所示的平面五边形PABCD中，PD=PA，AC=CD=BD=5，AB=1，AD=2，PD⊥PA，现将图甲所示中的△PAD沿AD边折起，使平面PAD⊥平面ABCD得如图乙所示的四棱锥P−ABCD．在如图乙所示中
（1）求证：PD⊥平面PAB；
（2）求二面角A−PB−C的大小；
（3）在棱PA上是否存在点M使得BM与平面PCB所成的角的正弦值为13？并说明理由．