2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第15讲反比例函数

这是一份2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第15讲反比例函数，共20页。试卷主要包含了定义，图象，性质，反比例函数的应用等内容，欢迎下载使用。


一、定义
若两个变量x，y之间可以表示成y＝________(k是常数，且k≠0)，则称y是x的反比例函数．
二、图象
反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象是________，它有两个分支，这两个分支分别位于第________象限或第________象限．它们是一个中心对称图形，其对称中心是________．
注意：反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交．
三、性质
1．当k>0时，x，y同号，图象分布在第________象限，在每个象限内，y随x的增大而________．
2．当k<0时，x，y异号，图象分布在第________象限，在每个象限内y随x的增大而________．
四、反比例函数的应用
基本方法是建立反比例函数关系，然后运用反比例函数的性质解答．
注意：对于实际问题中的反比例函数，由于自变量x>0，其图象只有位于第一(或第四)象限的一支曲线.

eq \a\vs4\al(),
反比例函数的图象和性质
(2020·桂林，第17小题，3分)
反比例函数y＝eq \f(k,x)(x<0)的图象如图所示，下列关于该函数图象的四个结论：
①k>0 ；
②当x<0 时，y随x的增大而增大；
③该函数图象关于直线y＝－x对称；
④若点(－2，3)在该反比例函数图象上，则点(－1，6)也在函数的图象上．
其中正确结论的个数有________个 .
【思路点拨】①∵反比例函数y＝eq \f(k,x)(x<0)的图象在第二象限，∴k<0，错误；②∵k>0，∴根据反比例函数图象的性质可得，在每个象限内y随x的增大而增大，正确；③∵反比例函数图象在第二象限，∴反比例函数y＝eq \f(k,x)(x<0)的图象关于y＝－x对称，正确；④∵将点(－2，3)和(－1，6)代入反比例函数y＝eq \f(k,x)(x<0)时，k都等于－6，∴说法成立，正确；综上所述，正确的结论有3个 .
(2019·北部湾经济区，第9小题，3分)
若点(－1，y1)，(2，y2)，(3，y3)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A．y1>y2>y3 B．y3>y2>y1
C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1
(2019·贺州，第10小题，3分)
已知ab＜0，一次函数y＝ax－b与反比例函数y＝eq \f(a,x)在同一直角坐标系中的图象可能是( )
,A B ) ,C D)
【思路点拨】∵ab＜0，∴分两种情况：①当a＞0，b＜0时，一次函数y＝ax－b过第一、二、三象限，反比例函数y＝eq \f(a,x)过第一、三象限；②当a＜0，b＞0时，一次函数y＝ax－b过第二、三、四象限，反比例函数y＝eq \f(a,x)过第二、四象限．综上可得答案．
(2017·贺州，第10小题，3分)一次函数y＝ax＋a(a为常数，a≠0)与反比例函数y＝eq \f(a,x)(a为常数，a≠0)在同一平面直角坐标系内的图象大致为( )
eq \a\vs4\al(),
反比例函数与一次函数综合
(2020·玉林，第18小题，3分)
已知函数y1＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))与函数y2＝eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))的部分图象如图所示，有以下结论：
①当x<0时，y1，y2都随x的增大而增大；
②当x<－1时， y1>y2；
③y1，y2的图象的两个交点之间的距离是2；
④函数y＝y1＋y2的最小值为2；
则所有正确的结论是________．
【思路点拨】如解图，当x< 0时，y1＝－x，y2＝－eq \f(1,x)，
所以y1随x的增大而减小，y2随x的增大而增大，①错误；当x<－1时，eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＞eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))，即y1>y2，②正确；令y1＝y2 ，则x＝±1，所以y1与y2图象的两个交点之间的距离是2，③正确；y1＋y2 ＝ eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))>0，而(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))))2－4eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))·eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))＝(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))－eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))))2≥0，所以(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))))2－4≥0 .所以(eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))))2≥4 .因为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))) 是正数，所以eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x))＋eq \f(1,\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(x)))≥2.因此y1＋y2最小值是2，④正确 .综上所述，所有正确结论的序号②③④.
(2017·河池，第16小题，3分)
如图，直线y＝ax与双曲线y＝eq \f(k,x)(x＞0)交于点A(1，2)，则不等式ax＞eq \f(k,x)的解集是________．
(2017·贵港，第21小题，6分)
如图，一次函数y＝2x－4的图象与反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为3.
(1)求反比例函数的解析式；
(2)求点B的坐标．
【思路点拨】根据一次函数的解析式可先求出点A的坐标，将A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k；然后将两个函数解析式联立方程组求出点B的坐标．
(2020·柳州，第24小题，10分) 如图，平行于y轴的直尺(部分) 与反比例函数y＝eq \f(m,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>0))的图象交于A、C两点，与x轴交于B、D两点，连接AC，点A、B对应直尺上的刻度分别为5、2，直尺的宽度BD＝2，OB＝2.设直线AC的解析式为y＝kx＋b.
(1)请结合图象，直接写出：
①点A的坐标是________；
②不等式kx＋b>eq \f(m,x)的解集是________；
(2)求直线AC的解析式．
eq \a\vs4\al()
反比例函数的应用
工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y(℃)与时间x(min)成一次函数关系；锻造时，温度y(℃)与时间x(min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃.
(1)分别求出材料煅烧和锻造时y与x的函数关系式，并且写出自变量x的取值范围；
(2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？
【思路点拨】(1)根据题意，材料煅烧时，温度y与时间x成一次函数关系；材料锻造时，温度y与时间x成反比例函数关系；将题中数据代入用待定系数法可得两个函数的关系式．(2)把y＝480代入反比例函数解析式中，进一步求解即可得答案．
病人按规定的剂量服用某种药物，测得服药后2小时，每毫升血液中的含药量达到最大值为4毫克，已知服药后，2小时前每毫升血液中的含药量y(毫克)与时间x(时)成正比例；2小时后y与x成反比例(如图所示)，根据以上信息解答下列问题：
(1)求当0≤x≤2时，y与x的函数关系式；
(2)求当x>2时，y与x的函数关系式；
(3)若每毫升血液中的含药量不低于2毫克时治疗有效，则服药一次，治疗疾病的有效时间是多长？
eq \a\vs4\al()
反比例函数与几何图形综合
(2016·柳州，第17小题，3分)
如图所示，反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0，x＞0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D.若矩形OABC的面积为8，则k的值为________．
【思路点拨】方法一：如图，过点D作DE⊥OA于E，过点D作DF⊥OC于F.由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k))＝S矩形FDEO可求得k的值．∵点D是矩形OABC对角线AC的中点，∴eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k))＝S矩形FDEO＝eq \f(1,2)S△AOC＝eq \f(1,4)S矩形OABC＝eq \f(1,4)×8＝2.∵反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象在第一象限，∴k＝2.
方法二：过点D作DE⊥OA于E，设Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(k,m)))，∴OE＝m，DE＝eq \f(k,m).∵点D是矩形OABC的对角线AC的中点，∴OA＝2m，OC＝eq \f(2k,m).∵矩形OABC的面积为8.∴OA·OC＝2m·eq \f(2k,m)＝8.∴k＝2.
(2014·北海，第18小题，3分)
如图，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x>0)的图象交Rt△OAB的斜边OA于点D，交直角边AB于点C，点B在x轴上．若△OAC的面积为5，AD∶OD＝1∶2，则k的值为________．
eq \a\vs4\al()
与反比例函数有关的综合题
(2020·梧州，第26小题，12分) 如图，已知边长为4的正方形ABCD中，AB⊥y轴，垂足为点E，AD⊥x轴，垂足为点F，点A在双曲线y＝eq \f(2,x)上，且A点的横坐标为1.
(1)求出B、C两点的坐标；
(2)线段BF、CE交于点G，求出点G到x轴的距离；
(3)在双曲线上任取一点H，连接BH、FH，是否存在这样的点H，使得△BFH的面积等于5，若存在，请直接写出适合的所有的点坐标；若不存在，请说明理由．
(2019·贵港，第21小题，6分)如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为(1，0)，点D(4，4)在反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象上，直线y＝eq \f(2,3)x＋b经过点C，与y轴交于点E，连接AC，AE.
(1)求k，b的值；
(2)求△ACE的面积．
1. (2019·天门)反比例函数y＝－eq \f(3,x)，下列说法不正确的是( )
A．图象经过点(1，－3)
B．图象位于第二、四象限
C．图象关于直线y＝x对称
D．y随x的增大而增大
2. (2020·贺州) 在反比例函数y＝eq \f(2,x)中，当x＝－1 时，y的值为( )
A．2 B．－2
C.eq \f(1,2) D．－eq \f(1,2)
3. (2020·徐州)如图，在平面直角坐标系中，函数y＝eq \f(4,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x>0))与y＝x－1的图象交于点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a，b))，则代数式eq \f(1,a)－eq \f(1,b)的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2)
C．－eq \f(1,4) D.eq \f(1,4)
4. 已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是反比例函数y＝eq \f(k,x)(k>0)图象上的两点，若x1<0A．y1<0C．y15. 若反比例函数y＝(2m－1)xm2－2的图象在第二、四象限，则m的值是( )
A．－1或1 B．小于eq \f(1,2)的任意实数
C．－1 D．不能确定
6. 一次函数y＝－x＋1(0≤x≤10)与反比例函数y＝eq \f(1,x)(－10≤x＜0)在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，点(x1，y1)，(x2，y2)是图象上两个不同的点．若y1＝y2，则x1＋x2的取值范围是( )
A．－eq \f(89,10)≤x≤1
B．－eq \f(89,10)≤x≤eq \f(89,9)
C．－eq \f(89,9)≤x≤eq \f(89,10)
D．1≤x≤eq \f(89,10)
7. (2020·常州)如图，点D是▱OABC内一点，CD与x轴平行，BD与y轴平行，BD＝eq \r(2)，∠ADB＝135°，S△ABD＝2.若反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＞0)的图象经过A，D两点，则k的值是( D )
A．2eq \r(2) B．4 C．3eq \r(2) D．6
8. (2020·南通)将双曲线y＝eq \f(3,x)向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新双曲线与直线y＝kx－2－k(k＞0)相交于两点，其中一个点的横坐标为a，另一个点的纵坐标为b，则(a－1)(b＋2)＝________．
9. 对于函数y＝eq \f(2,x)，当函数值y＜－1时，自变量x的取值范围是________．
10. (2019·邵阳)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(－4，2)，反比例函数y＝eq \f(k,x)(x＜0)的图象经过线段OA的中点B，则k＝________．
11．(2019·玉林)如图，一次函数y1＝(k－5)x＋b的图象在第一象限与反比例函数y2＝eq \f(k,x)的图象相交于A，B两点，当y1＞y2时，x的取值范围是1＜x＜4，则k＝________．
12. (2020·深圳)如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为平行四边形，O(0，0)，A(3，1)，B(1，2)，反比例函数y＝eq \f(k,x)(k≠0)的图象经过▱OABC的顶点C，则k＝________．
13. (2020·百色)如图，在平面直角坐标系中，将点A(2，4)绕原点O顺时针旋转90°后得到点B，连接AB，双曲线y＝eq \f(m,x)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m≠0)) 恰好经过AB的中点C .
(1)直接写出点B的坐标；
(2)求直线AB及双曲线的表达式．
14. 某气球内充满一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强p(千帕)是气球的体积V(立方米)的反比例函数，其图象如图所示(千帕是一种压强单位)．
(1)写出这个函数的解析式；
(2)当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？
(3)当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为安全起见，气球的体积应不小于多少立方米？
第15讲 反比例函数
【基础梳理】
一、eq \f(k,x) 二、双曲线 一和三 二和四 原点
三、1.一和三 减小 2.二和四 增大
【重点突破】
[例1]3 [变式1]C [例2]A [变式2]C
[例3]②③④ [变式3]x>1
[例4]解：(1)把x＝3代入y＝2x－4，
得y＝6－4＝2，∴A的坐标是(3，2)．
把(3，2)代入y＝eq \f(k,x)，得k＝6，
∴反比例函数的解析式是y＝eq \f(6,x).
(2)根据题意，得2x－4＝eq \f(6,x)，解得x＝3或－1.
把x＝－1代入y＝2x－4，得y＝－6，
∴B的坐标是(－1，－6)．
[变式4]解：(1)①(2，3)；②2(2)∵点A、C在反比例函数y＝eq \f(m,x) 的图象上，
设C(4，y)，∴2×3＝4y，∴y＝eq \f(3,2)，
∴点C的坐标为(4，eq \f(3,2))．
将A(2，3)、C(4，eq \f(3,2))代入y＝kx＋b，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝3，,4k＋b＝\f(3,2).)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(4,3)，,b＝\f(9,2).))
∴直线AC的解析式为 y＝－eq \f(4,3)x＋eq \f(9,2).
[例5]解：(1)锻造时，设y＝eq \f(k,x)(k≠0)，
由题意得600＝eq \f(k,8)，解得k＝4 800.
当y＝800时，eq \f(4 800,x)＝800，解得x＝6.
∴点B的坐标为(6，800)．
材料煅烧时，设y＝ax＋32(a≠0)，
由题意得800＝6a＋32，解得a＝128.
∴材料煅烧时，y与x的函数关系式为y＝128x＋32(0≤x≤6)．
∴停止煅烧进行锻造时，y与x的函数关系式为y＝eq \f(4 800,x)(6＜x≤150)．
(2)把y＝480代入y＝eq \f(4 800,x)，得x＝10.
故锻造操作的时间，共经历了10－6＝4分钟．
答：锻造操作的时间，共经历了4分钟．
[变式5]解：(1)当0≤x≤2时，y与x的函数关系式为y＝2x.
(2)当x＞2时，y与x的函数关系式为y＝eq \f(8,x).
(3)把y＝2代入y＝2x得x＝1，
把y＝2代入y＝eq \f(8,x)得x＝4.
故治疗疾病的有效时间是4－1＝3小时．
[例6]2 [变式6]8
[例7]解：(1)∵点A在双曲线y＝eq \f(2,x)上，且横坐标为1，
∴A(1，2)．
又∵正方形的边长为4，
∴点B的坐标为(－3，2)，点C的坐标为(－3，－2)；
(2)根据题意易知点E(0，2)，点F(1，0)．
设直线CE的解析式为y＝kx＋b，将点C(－3，－2)，E(0，2)代入，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－3k＋b＝－2，,b＝2.)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝\f(4,3)，,b＝2.))
∴直线CE的解析式为y＝eq \f(4,3)x＋2.
同理，直线BF的解析式为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(1,2).
联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝\f(4,3)x＋2，,y＝－\f(1,2)x＋\f(1,2).))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－\f(9,11)，,y＝\f(10,11).))
∴点G的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(9,11)，\f(10,11)))，
即点G到x轴的距离为eq \f(10,11)；
(3)存在，点H的坐标为
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3＋\r(5)，\f(3－\r(5),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\r(5)，\f(3＋\r(5),2)))或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，－1)).
[变式7]解：(1)∵点D(4，4)在反比例函数y＝eq \f(k,x)的图象上，∴k＝16.
过点D作DF⊥x轴于点F.
∵A(1，0)，D(4，4)，
∴AF＝3，DF＝4.
在Rt△ADF中，由勾股定理可得AD＝eq \r(32＋42)＝5.
∵四边形ABCD是菱形，
∴DC＝AB＝AD＝5，DC∥AB.
∴点C的坐标为(9，4)．
∵直线y＝eq \f(2,3)x＋b经过点C，
∴eq \f(2,3)×9＋b＝4，解得b＝－2.
(2)设CE与x轴交于点G.
令y＝eq \f(2,3)x－2＝0，解得x＝3.
令x＝0，解得y＝－2.
∴E(0，－2)，G(3，0)．
∴S△ACE＝S△AGC＋S△AGE＝eq \f(1,2)×2×4＋eq \f(1,2)×2×2＝6.
【达标检测】
1．D 2.B 3.C 4.A 5.C 6.B 7.D 8.－3
9．－213．解：(1)(4，－2)．
(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋b，将点A(2，4)，B(4，－2)代入，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2k＋b＝4，,4k＋b＝－2.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－3，,b＝10.))
∴直线AB的解析式为y＝－3x＋10.
由题图得点C的坐标为(3，1)，代入y＝eq \f(m,x)中，得m＝3，
∴双曲线的解析式为 y＝eq \f(3,x).
14．解：(1)设p与V的函数解析式为p＝eq \f(k,V)，
把点A(1.5，64)代入，解得k＝96.
∴这个函数的解析式为p＝eq \f(96,V).
(2)把V＝0.8代入p＝eq \f(96,V)，解得p＝120.
∴当气球的体积为0.8立方米时，气球内的气压是120千帕．
(3)由p＝144时，V＝eq \f(2,3)，
∴p≤144时，V≥eq \f(2,3).
∴当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，
为安全起见，气球的体积应不小于eq \f(2,3)立方米．
课标要求
(1)结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式．
(2)能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y ＝eq \f(k,x)(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况．
(3)能用反比例函数解决简单实际问题.
考情分析
该内容主要是以选择题、填空题、解答题的形式来考查，分值为3～12分．主要考查的内容为：(1)求解析式；(2)图象和性质；(3)反比例函数的应用；(4)k值的几何意义；(5)与反比例函数有关的综合题．这几个知识点几乎每年各地市都考，预测这几个知识点依然是2021年中考的热点，建议加强对这几个知识点的训练，力争做到题型熟练，方法掌握.
小结
反比例函数的几何意义，即如图，
D是反比例函数y＝eq \f(k,x)上一点，则矩形AOCD的面积为eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k))，△ADO和△CDO的面积为eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(k)),2).应用几何意义，在解决相关的问题时会有意想不到的效果.