2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第20讲直角三角形

第20讲　直角三角形

一、直角三角形的性质

1. 直角三角形的两锐角________；等腰直角三角形的两锐角都是________．

2. 在直角三角形中，如果一个锐角等于________，那么它所对的直角边等于斜边的一半．

3. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的________．

二、勾股定理

直角三角形的两条________的平方和等于________的平方．设直角边分别为a，b，斜边为c，用代数式可表示为____________．

三、勾股定理的逆定理

如果三角形两边的________等于第三边的________，那么这个三角形是直角三角形．

四、直角三角形的判定

1. 有一个角是________的三角形是直角三角形．

2. 如果一个三角形一边上的______等于这边的______，那么这个三角形是直角三角形．

3. 如果一个三角形两边的____________等于第三边的________，那么这个三角形是直角三角形.

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直角三角形及勾股定理

(2018·贺州，第10小题，3分)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D，E是边BC的中点，AD＝ED＝3，则BC的长为(　　)

A．3  B．3

C．6  D．6

【思路点拨】由题意得到△ADE为等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再利用直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，求出BC.

∵AD＝ED＝3，AD⊥BC，∴△ADE为等腰直角三角形．根据勾股定理得，AE＝＝3.在Rt△ABC中，∵E为BC的中点，∴AE＝BC.∴BC＝2AE＝6.

(2018·柳州，第18小题，3分)

如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠DCA＝30°，AC＝，AD＝，则BC的长为________．

(2014·柳州，第22小题，8分)如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5，∠A＝30°.

(1)求BD和AD的长；

(2)求tan∠C的值．

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勾股定理的逆定理

(2015·桂林，第8小题，3分)下列各组线段能构成直角三角形的一组是(　　)

A．30，40，50  B．7，12，13

C．5，9，12  D．3，4，6

【思路点拨】本题主要考查对勾股定理的逆定理的理解和记忆，即如果a2＋b2＝c2，则这个三角形就是直角三角形．

∵302＋402＝502，∴A选项能构成直角三角形；

∵72＋122≠132，∴B选项不能构成直角三角形；

同理C，D选项也不够构成直角三角形．

(2017·益阳)如图，△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，CD是AB边上的中线．则CD＝________．

1. 下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是(　　)

A．3，4，5  B．6，8，10

C.，2，  D．5，12，13

2. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，若将△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的E处，则∠ADE的度数是(　　)

A．30°  B．40°  C．50°  D．55°

,第2题图)　　　　,第3题图)

3. 如图，某同学将一块三角板叠放在直尺上，若∠1＝20°，则∠2的度数为(　　)

A．40°  B．60° 

C．70°  D．80°

4. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝9，BC＝12，则点C到AB的距离是(　　)

A.  B.

C.  D.

5. 在△ABC中，∠ACB为直角，∠A＝30°，CD⊥AB于D，若BD＝1，则AB的长度是(　　)

A．4  B．3  C．2  D．1

6. 如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为(　　)

A. 米  B. 米

C．(＋1)米  D．3米

7. 如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(　　)

A．8米  B．10米  C．12米  D．14米

8. (2020·北部湾经济区) 如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为(　　)

A．15　   B．20  C．25   D．30

9. 若直角三角形的一个锐角为20°，则另一个锐角等于________°.

10. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝4 cm，则AB＝________cm.

11. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝________.

第11题图

　　　　　第12题图

12. 如图，△ABC是等边三角形，AB＝4 cm，则BC边上的高AD等于________cm.

13. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，沿AD折叠，使点B落在斜边AC上．若AB＝3，BC＝4，则BD＝________.

第13题图

　　　　　第14题图

14. 如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB的长为6 cm，将△ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，则图中阴影部分的面积等于________cm2.

15. 已知三角形相邻两边长分别为20 cm和30 cm，第三边上的高为10 cm，则此三角形的面积为________cm2.

16. 如图，矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为________．

17．如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.

(1)求DB的长；

(2)在△ABC中，求BC边上高的长．

18. 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，CD＝5 cm，求AB的长．

19. (2020·桂林) 如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠CAB＝30°，∠DAB＝45°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E.

(1)求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；

(2)求证：CD平分∠ACB；

(3)点D作DF∥BC交AB于点F，求证：BO2＋OF2＝EF·BF.

第20讲　直角三角形

【基础梳理】

一、1.互余　45°　2.30°　3.一半

二、直角边　斜边　a2＋b2＝c2

三、平方和　平方

四、1.直角　2.中线　一半　3.平方和　平方

【重点突破】

[例1]D　[变式1]2或5

[变式2]解：(1)∵BD⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°.

在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，∴BD＝AB＝3，

∴AD＝＝3.

(2)CD＝AC－AD＝5－3＝2，

在Rt△BCD中，tan∠C＝＝＝.

[例2]A　[变式3]

【达标检测】

1．C　2.C　3.C　4.A　5.A　6.C　7.B　8.B　9.70　10.8　11.2　12.2　13.　14.6　

15．100＋50或100－50　16.5

17．解：(1)∵DB⊥BC，∴∠DBC＝90°，

∴△DBC是直角三角形．

由勾股定理得DB＝＝＝3.

(2)如图所示，过点A作AE⊥CB的延长线于点E，

∵AE⊥CB，DB⊥CB，

∴AE∥DB，

又∵点D是AC的中点，

∴DB是△ACE的中位线，

∴AE＝2DB＝6，

∴BC边上高的长为6.

18．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，

∠A＝30°，BD是∠ABC的平分线，

∴∠ABD＝∠CBD＝30°.

∴AD＝DB.又∵在Rt△CBD中，CD＝5 cm，

∴BD＝10 cm.∴BC＝5 cm，AB＝2BC＝10 cm.

19．证明：(1)如图，连接OC，OD.

∵△ABC和△ABD都是直角三角形，O是斜边AB的中点，∴OC＝OA＝OB＝OD.

∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；

(2)∵A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上，

∴∠DCB＝∠DAB＝45°.

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝90°－45°＝45°.

∴∠DCB＝∠ACD.

∴CD平分∠ACB；

(3)如图，∵△ABD是等腰直角三角形，

∴OD⊥AB，∠DAB＝∠DBA＝45°.

∴DO2＋OF2＝DF2  .

∵BO＝DO，∴BO2＋OF2＝DO2＋OF2＝DF2.

∵DF∥BC，∠FDC＝∠DCB＝∠DBA＝45°.

又∵∠DFE＝∠DFB，∴△FDE∽△FBD.∴＝.

∴DF2＝EF·BF.∴BO2＋OF2＝EF·BF.