2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第19讲等腰三角形

第19讲　等腰三角形

一、等腰三角形

1. 定义：有______________的三角形叫做等腰三角形．

2. 性质

(1)具有三角形的一切性质．

(2)等腰三角形的两个______相等，简称________________________________________________________________________．

(3)等腰三角形的______________、______________、______________互相重合(三线合一)．

3. 判定：如果一个三角形有______相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)．

二、等边三角形

1. 定义：三条边都______的三角形叫做等边三角形．

2. 性质：等边三角形的______个内角都相等，并且每个内角都等于______．

3. 判定

(1)有一个角等于60°的______三角形是等边三角形．

(2)三个角都______的三角形是等边三角形．

,　　　　　　　　　　　　　　　

等腰三角形的边与角

(2014·玉林、防城港，第10小题，3分)在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是(　　)

A．1 cm<AB<4 cm  B．5 cm<AB<10 cm

C．4 cm<AB<8 cm  D．4 cm<AB<10 cm

【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形三边关系，设AB＝AC＝x cm，则BC＝(20－2x) cm，根据三角形的三边关系得出结论．

∵在等腰△ABC中，AB＝AC，其周长为20 cm，AB＝AC＝x cm，则BC＝(20－2x) cm，∴解得5 cm＜x＜10 cm.

(2015·来宾，第9小题，3分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，AB的垂直平分线DE分别交AB，BC于点D，E，则∠BAE＝( 　 )

A．80°  B．60°  C．30°  D．40°

,　　　　　　　　　　　　　　

　等腰三角形的判定

(2013·桂林，第21小题，8分)如图，在矩形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE＝CF，连接AF，DE交于点O.

求证：(1)△ABF≌△DCE；

(2)△AOD是等腰三角形．

【思路点拨】本题主要考查等腰三角形的判定方法；全等三角形的判定方法．(1)根据矩形的性质可得∠B＝∠C，AB＝DC，然后求出BF＝CE，再利用“边角边”证明△ABF≌△DCE.(2)根据全等三角形对应角相等可得∠BAF＝∠EDC，然后求出∠DAF＝∠EDA，最后根据等腰三角形的定义证明．

(2014·百色，第17小题，3分)如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝70°，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，分别交AC，BC于点D，E，连接AE，则∠AED的度数是________°.

,　　　　　　　　　　　　　　　等边三角形的性质)

(2015·贵港，第16小题，3分)

如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形CDE，连接AE，BE，则∠AEB的度数为________．

【思路点拨】本题主要考查等边三角形的性质和正方形的性质，等边三角形的三条边相等，每个内角都等于60°；正方形的四条边相等，四个内角都等于90°.

∵四边形ABCD为正方形，△DEC为等边三角形，

∴AB＝BC＝CD＝AD，DC＝DE＝CE，

∠ADC＝∠BCD＝90°，∠DCE＝∠CDE＝∠DEC＝60°.

∴AD＝BC＝DE＝CE，∠ADE＝∠BCE＝90°＋60°＝150°.

∴∠DAE＝∠DEA＝∠EBC＝∠BEC＝15°.

∴∠AEB＝∠DEC－∠DEA－∠BEC＝60°－15°－15°＝30°.

(2018·福建)

如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于(　　)

A．15°  B．30°

C．45°  D．60°

,　　　　　　　　　　　　　　　

与等边三角形有关的综合题

(2017·河池，第12小题，3分)

已知等边△ABC的边长为12，D是AB上的动点，过D作DE⊥AC于点E，过E作EF⊥BC于点F，过F作FG⊥AB于点G.当G与D重合时，AD的长是(　　)

A．3  B．4  C．8  D．9

【思路点拨】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质．设BD＝x，根据等边三角形的性质得到∠A＝∠B＝∠C＝60°，由垂直的定义得到∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，解直角三角形即可得到结论．

解：如图，设BD＝x，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°.

∵DE⊥AC于点E，EF⊥BC于点

F，FG⊥AB，

∴∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°.

∴BF＝2x.∴CF＝12－2x，

∴CE＝2CF＝24－4x.

∴AE＝12－CE＝4x－12.

∴AD＝2AE＝8x－24.

∵AD＋BD＝AB，∴8x－24＋x＝12.∴x＝4.

∴AD＝8x－24＝32－24＝8.

(2017·贵港，第16小题，3分)

如图，点P在等边△ABC的内部，且PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段PC绕点C顺时针旋转60°得到P′C，连接AP′，则sin∠PAP′的值为________．

1. 等腰三角形的顶角为80°，则它的底角是(　　)

A．20°  B．50°  C．60°  D．80°

2. 已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是(　　)

A．55°，55°  B．70°，40°

C．55°，55°或70°，40°  D．以上都不对

3. 如果一个等腰三角形的两边长分别是5 cm和6 cm，那么此三角形的周长是(　　)

A．15 cm  B．16 cm

C．17 cm  D．16 cm或17 cm

4. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，则下列结论不一定成立的是(　　)

A．AD＝BD

B．BD＝CD

C．∠1＝∠2

D．∠B＝∠C

5. 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD＝BC，则△ABC底角的度数为(　　)

A．45°  B．75°

C．45°或15°或75°  D．60°

6. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为(　　)

A．20  B．12  C．14  D．13

7. (2020·南充)如图，在等腰三角形ABC中，BD为∠ABC的平分线，∠A＝36°，AB＝AC＝a，BC＝b，则CD＝( C )

A.  B.  C．a－b  D．b－a

8. 如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝65°，则∠A＝________°.

9. 在△ABC中，AB＝AC，CD平分∠ACB，∠A＝36°，则∠BDC的度数为________．

10. 如图，BD是△ABC的角平分线，∠ABD＝36°，∠C＝72°，则图中的等腰三角形有________个．

11. 等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为________．

12. 等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为________．

13. 如图，等边三角形ABC的边长是6 cm，BD是中线，延长BC至E，使CE＝CD，连接DE，则DE的长是________cm.

第13题图

　　　　第14题图

14. 如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点．若AE＝2，EM＋CM的最小值为________．

15. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边上一点，∠B＝30°，∠DAB＝45°.

(1)求∠DAC的度数；

(2)求证：DC＝AB.

16. 已知：如图，锐角△ABC的两条高BD，CE相交于点O，且OB＝OC.

(1)求证：△ABC是等腰三角形；

(2)判断点O是否在∠BAC的角平分线上，并说明理由．

第19讲　等腰三角形

【基础梳理】

一、1.两边相等　2.(2)底角　等边对等角　(3)底边上的高　底边上的中线　顶角平分线　3.两个角

二、1.相等　2.三　60°　3.(1)等腰　(2)相等

【重点突破】

[例1]B　[变式1]D　

[例2]证明：(1)在矩形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝DC，

∵BE＝CF，BF＝BC－FC，CE＝BC－BE，∴BF＝CE.

在△ABF和△DCE中，AB＝DC，∠B＝∠C，BF＝CE，

∴△ABF≌△DCE(SAS)．

(2)∵△ABF≌△DCE，∴∠BAF＝∠EDC.

∵∠DAF＝90°－∠BAF，∠EDA＝90°－∠EDC，

∴∠DAF＝∠EDA.∴△AOD是等腰三角形．

[变式2]50

[例3]30°　[变式3]A　[例4]C　[变式4]

【达标检测】

1．B　2.C　3.D　4.A　5.C　6.C　7.C　8.50　9.72°　10.3　11.8或或3　12.4或6　13.3　14.2

15．(1)解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°.

∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，

∴∠BAC＝180°－30°－30°＝120°.

∵∠DAB＝45°，

∴∠DAC＝∠BAC－∠DAB＝120°－45°＝75°.

(2)证明：∵∠DAB＝45°，∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°.

∴∠DAC＝∠ADC.∴DC＝AC.∴DC＝AB.

16．(1)证明：∵BD，CE是△ABC的高，∴∠BEC＝∠CDB＝90°.

∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.

又∵BC是公共边，∴△BEC≌△CDB(AAS)．

∴∠ABC＝∠ACB.∴AB＝AC.∴△ABC是等腰三角形．

(2)解：点O在∠BAC的角平分线上．理由如下：

∵△BEC≌△CDB，∴BD＝CE.∵OB＝OC，∴OD＝OE.

又∵OD⊥AC，OE⊥AB，∴点O在∠BAC的角平分线上．