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2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十二章 推理与证明、算法、复数 课时达标检测（六十） 合情推理与演绎推理 word版含答案
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这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第十二章 推理与证明、算法、复数 课时达标检测（六十） 合情推理与演绎推理 word版含答案，共7页。试卷主要包含了观察下列各式，在平面几何中，设函数f＝eq \f，观察等内容，欢迎下载使用。
1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是eq \f(1,2)ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为eq \f(1,2)lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是指数函数(小前提)，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
解析：选A y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．
3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．121 B．123 C．231 D．211
解析：选B 令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
4．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．
解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
答案：eq \f(nn＋1,2)
5．在平面几何中：△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为 eq \f(AC,BC)＝eq \f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq \f(AE,EB)＝eq \f(S△ACD,S△BCD).
答案：eq \f(AE,EB)＝eq \f(S△ACD,S△BCD)
一、选择题
1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋beq \r(2)＝c＋deq \r(2)⇒a＝c，b＝d ”；
③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；
④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．
其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 类比结论正确的有①②.复数不能比较大小，③④错误．
2．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1)
解析：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有eq \f(nn＋1,2)个“整数对”，注意到eq \f(10×10＋1,2)＜60＜eq \f(11×11＋1,2)，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，则52 016的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选C 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 016＝4×502＋8，所以52 016与58的后四位数字相同，为0 625，故选C.
4．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝eq \f(c1＋c2＋…＋cn,n)
B．dn＝eq \f(c1·c2·…·cn,n)
C．dn＝ eq \r(n,\f(c\\al(n,1)＋c\\al(n,2)＋…＋c\\al(n,n),n))
D．dn＝eq \r(n,c1·c2·…·cn)
解析：选D 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq \\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq \\al(n,1)·qeq \f(nn－1,2)，∴dn＝eq \r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq \f(n－1,2)，即{dn}为等比数列，故选D.
5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：选C 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2)，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有 1 225.
6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )
A．今天是周六 B．今天是周四
C．A车周三限行 D．C车周五限行
解析：选B 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.
二、填空题
7．对于实数x，表示不超过x的最大整数，观察下列等式：
[eq \r(1) ]＋[eq \r(2) ]＋[eq \r(3) ]＝3，
[eq \r(4) ]＋[eq \r(5) ]＋[eq \r(6) ]＋[eq \r(7) ]＋[eq \r(8) ]＝10，
[eq \r(9) ]＋[eq \r(10) ]＋[eq \r(11) ]＋[eq \r(12) ]＋[eq \r(13) ]＋[eq \r(14) ]＋[eq \r(15) ]＝21，
……
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．
解析：因为[eq \r(1) ]＋[eq \r(2) ]＋[eq \r(3) ]＝1×3，[eq \r(4) ]＋[eq \r(5) ]＋[eq \r(6) ]＋[eq \r(7) ]＋[eq \r(8) ]＝2×5，[eq \r(9) ]＋[eq \r(10) ]＋[eq \r(11) ]＋[eq \r(12) ]＋[eq \r(13) ]＋[eq \r(14) ]＋[eq \r(15) ]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.
答案：2n2＋n
8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq \f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
eq \f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sineq \f(A＋B＋C,3)＝3sineq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3),2).
答案：eq \f(3\r(3),2)
9．设函数f(x)＝eq \f(x,x＋2)(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝eq \f(x,x＋2)，
f2(x)＝f(f1(x))＝eq \f(x,3x＋4)，
f3(x)＝f(f2(x))＝eq \f(x,7x＋8)，
f4(x)＝f(f3(x))＝eq \f(x,15x＋16)，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根据题意知，各式中分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq \f(x,2n－1x＋2n).
答案：eq \f(x,2n－1x＋2n)
10.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．
解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.
答案：(1 009,1 008)
三、解答题
11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq \f(1,AD2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2).在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq \f(1,AD2)＝eq \f(1,BD·DC)
＝eq \f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq \f(BC2,AB2·AC2).
又BC2＝AB2＋AC2，
∴eq \f(1,AD2)＝eq \f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2).
猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2).
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
∵AF⊂平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AF2).
∵AB⊥平面ACD，
∴AB⊥CD.
∵AE⊥平面BCD，
∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，
∴CD⊥平面ABF，
∴CD⊥AF.
∴在Rt△ACD中eq \f(1,AF2)＝eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2)，
∴eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2).
12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cs217°－sin 13°cs 17°；
②sin215°＋cs215°－sin 15°cs 15°；
③sin218°＋cs212°－sin 18°cs 12°；
④sin2(－18°)＋cs248°－sin(－18°)cs 48°；
⑤sin2(－25°)＋cs255°－sin(－25°)cs 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cs215°－sin 15°cs 15°＝1－eq \f(1,2)sin 30°
＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
(2)三角恒等式为
sin2α＋cs2(30°－α)－sin α·cs(30°－α)＝eq \f(3,4).
证明如下：
sin2α＋cs2(30°－α)－sin α·cs(30°－α)
＝sin2α＋(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋eq \f(3,4)cs2α＋eq \f(\r(3),2)sin αcs α＋eq \f(1,4)sin2α－eq \f(\r(3),2)sin αcs α－eq \f(1,2)sin2α
＝eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(3,4)cs2α＝eq \f(3,4).
1．(1)已知a是三角形一边的长，h是该边上的高，则三角形的面积是eq \f(1,2)ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为eq \f(1,2)lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )
A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理
C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理
解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.
2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是指数函数(小前提)，所以y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提都错导致结论错
解析：选A y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．
3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )
A．121 B．123 C．231 D．211
解析：选B 令an＝an＋bn，则a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.
4．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．
解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2).
答案：eq \f(nn＋1,2)
5．在平面几何中：△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为 eq \f(AC,BC)＝eq \f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥ABCD中(如图)，DEC平分二面角ACDB且与AB相交于E，则得到类比的结论是_____________________．
解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq \f(AE,EB)＝eq \f(S△ACD,S△BCD).
答案：eq \f(AE,EB)＝eq \f(S△ACD,S△BCD)
一、选择题
1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋beq \r(2)＝c＋deq \r(2)⇒a＝c，b＝d ”；
③“a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”；
④“若x∈R，则|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“若z∈C，则|z|＜1⇒－1＜z＜1”．
其中类比结论正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：选B 类比结论正确的有①②.复数不能比较大小，③④错误．
2．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个“整数对”是( )
A．(7,5) B．(5,7) C．(2,10) D．(10,1)
解析：选B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对”的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对”，这样的前n组一共有eq \f(nn＋1,2)个“整数对”，注意到eq \f(10×10＋1,2)＜60＜eq \f(11×11＋1,2)，因此第60个“整数对”处于第11组(每个“整数对”的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对”是(5,7)．
3．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，则52 016的末四位数字为( )
A．3 125 B．5 625
C．0 625 D．8 125
解析：选C 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 016＝4×502＋8，所以52 016与58的后四位数字相同，为0 625，故选C.
4．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为( )
A．dn＝eq \f(c1＋c2＋…＋cn,n)
B．dn＝eq \f(c1·c2·…·cn,n)
C．dn＝ eq \r(n,\f(c\\al(n,1)＋c\\al(n,2)＋…＋c\\al(n,n),n))
D．dn＝eq \r(n,c1·c2·…·cn)
解析：选D 若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq \f(n－1,2)d＝eq \f(d,2)n＋a1－eq \f(d,2)，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq \\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq \\al(n,1)·qeq \f(nn－1,2)，∴dn＝eq \r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq \f(n－1,2)，即{dn}为等比数列，故选D.
5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：
他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )
A．289 B．1 024
C．1 225 D．1 378
解析：选C 观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq \f(nn＋1,2)，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有 1 225.
6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．已知E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知下列推测一定正确的是( )
A．今天是周六 B．今天是周四
C．A车周三限行 D．C车周五限行
解析：选B 因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.
二、填空题
7．对于实数x，表示不超过x的最大整数，观察下列等式：
[eq \r(1) ]＋[eq \r(2) ]＋[eq \r(3) ]＝3，
[eq \r(4) ]＋[eq \r(5) ]＋[eq \r(6) ]＋[eq \r(7) ]＋[eq \r(8) ]＝10，
[eq \r(9) ]＋[eq \r(10) ]＋[eq \r(11) ]＋[eq \r(12) ]＋[eq \r(13) ]＋[eq \r(14) ]＋[eq \r(15) ]＝21，
……
按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．
解析：因为[eq \r(1) ]＋[eq \r(2) ]＋[eq \r(3) ]＝1×3，[eq \r(4) ]＋[eq \r(5) ]＋[eq \r(6) ]＋[eq \r(7) ]＋[eq \r(8) ]＝2×5，[eq \r(9) ]＋[eq \r(10) ]＋[eq \r(11) ]＋[eq \r(12) ]＋[eq \r(13) ]＋[eq \r(14) ]＋[eq \r(15) ]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.
答案：2n2＋n
8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq \f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).若y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________．
解析：由题意知，凸函数满足
eq \f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，
又y＝sin x在区间(0，π)上是凸函数，则sin A＋sin B＋sin C≤3sineq \f(A＋B＋C,3)＝3sineq \f(π,3)＝eq \f(3\r(3),2).
答案：eq \f(3\r(3),2)
9．设函数f(x)＝eq \f(x,x＋2)(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝eq \f(x,x＋2)，
f2(x)＝f(f1(x))＝eq \f(x,3x＋4)，
f3(x)＝f(f2(x))＝eq \f(x,7x＋8)，
f4(x)＝f(f3(x))＝eq \f(x,15x＋16)，
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.
解析：根据题意知，各式中分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq \f(x,2n－1x＋2n).
答案：eq \f(x,2n－1x＋2n)
10.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为________．
解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.
答案：(1 009,1 008)
三、解答题
11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq \f(1,AD2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2).在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．
解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq \f(1,AD2)＝eq \f(1,BD·DC)
＝eq \f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq \f(BC2,AB2·AC2).
又BC2＝AB2＋AC2，
∴eq \f(1,AD2)＝eq \f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2).
猜想，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，则eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2).
证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，
∴AB⊥平面ACD.
∵AF⊂平面ACD，
∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
∴eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AF2).
∵AB⊥平面ACD，
∴AB⊥CD.
∵AE⊥平面BCD，
∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，
∴CD⊥平面ABF，
∴CD⊥AF.
∴在Rt△ACD中eq \f(1,AF2)＝eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2)，
∴eq \f(1,AE2)＝eq \f(1,AB2)＋eq \f(1,AC2)＋eq \f(1,AD2).
12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：
①sin213°＋cs217°－sin 13°cs 17°；
②sin215°＋cs215°－sin 15°cs 15°；
③sin218°＋cs212°－sin 18°cs 12°；
④sin2(－18°)＋cs248°－sin(－18°)cs 48°；
⑤sin2(－25°)＋cs255°－sin(－25°)cs 55°.
(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；
(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．
解：(1)选择②式，计算如下：
sin215°＋cs215°－sin 15°cs 15°＝1－eq \f(1,2)sin 30°
＝1－eq \f(1,4)＝eq \f(3,4).
(2)三角恒等式为
sin2α＋cs2(30°－α)－sin α·cs(30°－α)＝eq \f(3,4).
证明如下：
sin2α＋cs2(30°－α)－sin α·cs(30°－α)
＝sin2α＋(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cs 30°cs α＋sin 30°sin α)
＝sin2α＋eq \f(3,4)cs2α＋eq \f(\r(3),2)sin αcs α＋eq \f(1,4)sin2α－eq \f(\r(3),2)sin αcs α－eq \f(1,2)sin2α
＝eq \f(3,4)sin2α＋eq \f(3,4)cs2α＝eq \f(3,4).
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