2021高考数学（理）大一轮复习习题：第三章 导数及其应用 课时达标检测（十四） 变化率与导数、导数的计算 word版含答案

这是一份2021高考数学（理）大一轮复习习题：第三章 导数及其应用 课时达标检测（十四） 变化率与导数、导数的计算 word版含答案，共5页。试卷主要包含了函数f＝2的导数为，给出定义等内容，欢迎下载使用。


1．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为( )
A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2)
C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2)
解析：选C ∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，
∴f′(x)＝3(x2－a2)．
2．曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
解析：选C ∵y＝sin x＋ex，
∴y′＝cs x＋ex，
∴y′eq \b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0))＝cs 0＋e0＝2，
∴曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
3．(2016·安庆二模)给出定义：设f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，f″(x)是函数f′(x)的导函数，若方程f″(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．已知函数f(x)＝3x＋4sin x－cs x的拐点是M(x0，f(x0))，则点M( )
A．在直线y＝－3x上 B．在直线y＝3x上
C．在直线y＝－4x上 D．在直线y＝4x上
解析：选B f′(x)＝3＋4cs x＋sin x，f″(x)＝－4sin x＋cs x，由题可知f″(x0)＝0，即4sin x0－cs x0＝0，所以f(x0)＝3x0，故M(x0，f(x0))在直线y＝3x上．故选B.
4．(2016·贵阳一模)曲线y＝xex在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，则eq \f(a,b)的值为( )
A．－eq \f(1,2e) B．－eq \f(2,e) C.eq \f(2,e) D.eq \f(1,2e)
解析：选D y′＝ex＋xex，则y′|x＝1＝2e.∵曲线在点(1，e)处的切线与直线ax＋by＋c＝0垂直，∴－eq \f(a,b)＝－eq \f(1,2e)，∴eq \f(a,b)＝eq \f(1,2e)，故选D.
5．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－eq \f(1,a)ex图象的切线，则实数a＝________.
解析：设切点为(x0，y0)．f ′(x)＝－eq \f(1,a)ex，则f ′(x0)＝－eq \f(1,a)·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－eq \f(1,a)·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.
答案：e2
一、选择题
1．(2017·惠州模拟)已知函数f(x)＝eq \f(1,x)cs x，则f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝( )
A．－eq \f(3,π2) B．－eq \f(1,π2)
C．－eq \f(3,π) D．－eq \f(1,π)
解析：选C 由题可知，f(π)＝－eq \f(1,π)，f′(x)＝－eq \f(1,x2)cs x＋eq \f(1,x)(－sin x)，则f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))＝－eq \f(1,π)＋eq \f(2,π)×(－1)＝－eq \f(3,π).
2．设曲线y＝eq \f(1＋cs x,sin x)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，1))处的切线与直线x－ay＋1＝0平行，则实数a等于( )
A．－1 B.eq \f(1,2) C．－2 D．2
解析：选A ∵y′＝eq \f(－1－cs x,sin2x)，∴y′x＝eq \f(π,2)＝－1，由条件知eq \f(1,a)＝－1，∴a＝－1.
3．(2017·上饶模拟)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2距离的最小值为( )
A．1 B.eq \r(2) C.eq \f(\r(2),2) D.eq \r(3)
解析：选B 由题可得，y′＝2x－eq \f(1,x).因为y＝x2－ln x的定义域为(0，＋∞)，所以由2x－eq \f(1,x)＝1，得x＝1，则P点坐标为(1,1)，所以曲线在点P处的切线方程为x－y＝0，所以两平行线间的距离为d＝eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)，即点P到直线y＝x－2距离的最小值为eq \r(2).
4．(2016·南昌二中模拟)设点P是曲线y＝x3－eq \r(3)x＋eq \f(2,3)上的任意一点，P点处切线倾斜角α的取值范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)，π)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(5π,6)))
解析：选C 因为y′＝3x2－eq \r(3)≥－eq \r(3)，故切线斜率k≥－eq \r(3)，所以切线倾斜角α的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，π)).
5．(2017·重庆诊断)已知函数f(x)＝eq \f(2,ex＋1)＋sin x，其导函数为f′(x)，则f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 017)－f′(－2 017)的值为( )
A．0 B．2 C．2 017 D．－2 017
解析：选B ∵f(x)＝eq \f(2,ex＋1)＋sin x，∴f′(x)＝－eq \f(2ex,ex＋12)＋cs x，f(x)＋f(－x)＝eq \f(2,ex＋1)＋sin x＋eq \f(2,e－x＋1)＋sin(－x)＝2，f′(x)－f′(－x)＝－eq \f(2ex,ex＋12)＋cs x＋eq \f(2e－x,e－x＋12)－cs(－x)＝0，∴f(2 017)＋f(－2 017)＋f′(2 017)－f′(－2 017)＝2.
6．已知f(x)＝ln x，g(x)＝eq \f(1,2)x2＋mx＋eq \f(7,2)(m<0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为( )
A．－1 B．－3 C．－4 D．－2
解析：选D ∵f′(x)＝eq \f(1,x)，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，又f(1)＝0，∴切线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝eq \f(1,2)xeq \\al(2,0)＋mx0＋eq \f(7,2)，m<0，于是解得m＝－2.
二、填空题
7．已知函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2x·f′(2)，则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题意得f′(x)＝2x＋2f′(2)，则f′(2)＝4＋2f′(2)，所以f′(2)＝－4，所以f(x)＝x2－8x.
答案：f(x)＝x2－8x
8．若直线l与幂函数y＝xn的图象相切于点A(2,8)，则直线l的方程为________．
解析：由题意知，A(2,8)在y＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴y′＝3x2，直线l的斜率k＝3×22＝12，又直线l过点(2,8)．∴y－8＝12(x－2)，即直线l的方程为12x－y－16＝0.
答案：12x－y－16＝0
9．若曲线f(x)＝ax3＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意，可知f′(x)＝3ax2＋eq \f(1,x)，又存在垂直于y轴的切线，所以3ax2＋eq \f(1,x)＝0，即a＝－eq \f(1,3x3)(x>0)，故a∈(－∞，0)．
答案：(－∞，0)
10.已知f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，且它们在同一平面直角坐标系内的图象如图所示．
(1)若f(1)＝1，则f(－1)＝________；
(2)设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则h(－1)，h(0)，h(1)的大小关系为________．(用“<”连接)
解析：(1)依题意，f′(x)＝x，g′(x)＝x2，
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
g(x)＝dx3＋ex2＋mx＋n(d≠0)，
则f′(x)＝2ax＋b＝x，g′(x)＝3dx2＋2ex＋m＝x2，
故a＝eq \f(1,2)，b＝0，d＝eq \f(1,3)，e＝m＝0，f(x)＝eq \f(1,2)x2＋c，
g(x)＝eq \f(1,3)x3＋n，由f(1)＝1得c＝eq \f(1,2)，
则f(x)＝eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)，故f(－1)＝1.
(2)h(x)＝f(x)－g(x)＝eq \f(1,2)x2－eq \f(1,3)x3＋c－n，
则有h(－1)＝eq \f(5,6)＋c－n，h(0)＝c－n，h(1)＝eq \f(1,6)＋c－n，
故h(0)答案：(1)1 (2)h(0)三、解答题
11．已知函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围．
解：(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是∪(1,3)∪[2＋eq \r(2)，＋∞)．
12．设函数y＝x2－2x＋2的图象为C1，函数y＝－x2＋ax＋b的图象为C2，已知过C1与C2的一个交点的两切线互相垂直，求a＋b的值．
解：对于C1：y＝x2－2x＋2，有y′＝2x－2，
对于C2：y＝－x2＋ax＋b，有y′＝－2x＋a，
设C1与C2的一个交点为(x0，y0)，
由题意知过交点(x0，y0)的两条切线互相垂直．
∴(2x0－2)(－2x0＋a)＝－1，
即4xeq \\al(2,0)－2(a＋2)x0＋2a－1＝0，①
又点(x0，y0)在C1与C2上，
故有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x\\al(2,0)－2x0＋2，,y0＝－x\\al(2,0)＋ax0＋b，))
即2xeq \\al(2,0)－(a＋2)x0＋2－b＝0.②
由①②消去x0，可得a＋b＝eq \f(5,2).