2021高考数学（理）大一轮复习习题：第八章 立体几何 课时达标检测（三十六） 空间几何体的三视图、直观图、表面积与体积 word版含答案

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1．下列结论正确的是( )
A．各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B．以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边绕旋转轴旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥
C．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长都相等，则该棱锥可能是六棱锥
D．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析：选D A错误，如图①是由两个相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体，它的各个面都是三角形，但它不是三棱锥；B错误，如图②，若△ABC不是直角三角形，或△ABC是直角三角形但旋转轴不是直角边，所得的几何体都不是圆锥；C错误，若该棱锥是六棱锥，由题设知，它是正六棱锥．易证正六棱锥的侧棱长必大于底面边长，这与题设矛盾．
2.如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是( )
A.eq \f(41π,3) B.eq \f(62π,3)
C.eq \f(83π,3) D.eq \f(104π,3)
解析：选D 由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V＝eq \f(4,3)π×23＋π×22×6＝eq \f(104π,3).
3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A．12＋4eq \r(2) B．18＋8eq \r(2)
C．28 D．20＋8eq \r(2)
解析：选D 由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图．
则该几何体的表面积为S＝2×eq \f(1,2)×2×2＋4×2×2＋2eq \r(2)×4＝20＋8eq \r(2)，故选D.
4．《九章算数》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚线平分矩形的面积，则该“堑堵”的侧面积为( )
A．2 B．4＋2eq \r(2)
C．4＋4eq \r(2) D．6＋4eq \r(2)
解析：选C 由题可知，该几何体的底面为等腰直角三角形，等腰直角三角形的斜边长为2，腰长为eq \r(2)，棱柱的高为2.所以其侧面积S＝2×2＋2eq \r(2)×2＝4＋4eq \r(2)，故选C.
5．已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为eq \f(9π,2)，则正方体的棱长为________．
解析：设正方体棱长为a，球半径为R，则eq \f(4,3)πR3＝eq \f(9π,2)，∴R＝eq \f(3,2)，∴eq \r(3)a＝3，∴a＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
一、选择题
1．已知圆锥的表面积为a，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径是( )
A.eq \f(a,2) B.eq \f(\r(3πa),3π)
C.eq \f(2\r(3πa),3π) D.eq \f(2\r(3a),3π)
解析：选C 设圆锥的底面半径为r，母线长为l，由题意知2πr＝πl，∴l＝2r，则圆锥的表面积S表＝πr2＋eq \f(1,2)π(2r)2＝a，∴r2＝eq \f(a,3π)，∴2r＝eq \f(2\r(3πa),3π).
2．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.eq \f(2π,3) B.eq \f(4π,3)
C.eq \f(5π,3) D．2π
解析：选C 过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq \f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq \f(1,3)π×12×1＝eq \f(5π,3)，故选C.
3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.eq \f(16,3) B.eq \f(20,3)
C.eq \f(15,2) D.eq \f(13,2)
解析：选D 该几何体可视为正方体截去两个三棱锥所得，如图所示，所以其体积为23－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×2×2－eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×1×1×1＝eq \f(13,2).故选D.
4．已知正四面体的棱长为eq \r(2)，则其外接球的表面积为( )
A．8π B．12π C.eq \f(\r(3),2)π D．3π
解析：选D 如图所示，过顶点A作AO⊥底面BCD，垂足为O，则O为正三角形BCD的中心，连接DO并延长交BC于E，又正四面体的棱长为eq \r(2)，所以DE＝eq \f(\r(6),2)，OD＝eq \f(2,3)DE＝eq \f(\r(6),3)，所以在直角三角形AOD中，AO＝eq \r(AD2－OD2)＝eq \f(2\r(3),3).设正四面体外接球的球心为P，半径为R，连接PD，则在直角三角形POD中，PD2＝PO2＋OD2，即R2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)－R))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(6),3)))2，解得R＝eq \f(\r(3),2)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝3π.
5．(2017·郑州质检)如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为( )
A．8π B．16π C．32π D．64π
解析：选C 还原三视图可知该几何体为一个四棱锥，将该四棱锥补成一个长、宽、高分别为2eq \r(2)，2eq \r(2)，4的长方体，则该长方体外接球的半径r＝eq \f(\r(2\r(2)2＋2\r(2)2＋42),2)＝2eq \r(2)，则所求外接球的表面积为4πr2＝32π.
6．已知四棱锥P­ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P­ABCD的四个侧面中面积的最大值是( )
A．6 B．8 C．2eq \r(5) D．3
解析：选A 四棱锥如图所示，作PN ⊥平面ABCD，交DC于点N，PC＝PD＝3，DN＝2，则PN＝eq \r(32－22)＝eq \r(5)，AB＝4，BC＝2，BC⊥CD，故BC⊥平面PDC，即BC⊥PC，同理AD⊥PD.设M为AB的中点，连接PM，MN，则PM＝3，S△PDC＝eq \f(1,2)×4×eq \r(5)＝2eq \r(5)，S△PBC＝S△PAD＝eq \f(1,2)×2×3＝3，S△PAB＝eq \f(1,2)×4×3＝6，所以四棱锥P­ABCD的四个侧面中面积的最大值是6.
二、填空题
7．在棱长为3的正方体ABCD­A1B1C1D1中，P在线段BD1上，且eq \f(BP,PD1)＝eq \f(1,2)，M为线段B1C1上的动点，则三棱锥M­PBC的体积为________．
解析：∵eq \f(BP,PD1)＝eq \f(1,2)，∴点P到平面BC1的距离是D1到平面BC1距离的eq \f(1,3)，
即三棱锥P­MBC的高h＝eq \f(D1C1,3)＝1.M为线段B1C1上的点，
∴S△MBC＝eq \f(1,2)×3×3＝eq \f(9,2)，
∴VM­PBC＝VP­MBC＝eq \f(1,3)×eq \f(9,2)×1＝eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2)
8．一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.
解析：由三视图可得该几何体是组合体，上面是底面圆的半径为2 m、高为2 m的圆锥，下面是底面圆的半径为1 m、高为4 m的圆柱，所以该几何体的体积是eq \f(1,3)×4π×2＋4π＝eq \f(20π,3)(m3)．
答案：eq \f(20π,3)
9.如图，正方形O′A′B′C′的边长为a，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形OABC的周长是________．
解析：由斜二测画法的规则可知，原图形OABC是一个平行四边形．
在原图形OABC中OB＝2eq \r(2)a，OA＝a，
且OA⊥OB，∴AB＝3a，
∴原图形OABC的周长为2(a＋3a)＝8a.
答案：8a
10．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是________寸．
(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)
解析：由题意知，圆台中截面圆的半径为十寸，圆台内水的体积为V＝eq \f(1,3)πh(req \\al(2,中)＋req \\al(2,下)＋r中r下)＝eq \f(π,3)×9×(102＋62＋10×6)＝588π(立方寸)，降雨量为eq \f(V,142π)＝eq \f(588π,196π)＝3(寸)．
答案：3
三、解答题
11．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱的底面半径与高为何值时，它的侧面积最大？侧面积的最大值是多少？
解：如图为其轴截面，令圆柱的高为h，底面半径为r，侧面积为S，
则eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2＋r2＝R2，
即h＝2eq \r(R2－r2).
因为S＝2πrh＝4πr·eq \r(R2－r2)＝
4πeq \r(r2·R2－r2)≤4πeq \r(\f(r2＋R2－r22,4))＝2πR2，
当且仅当r2＝R2－r2，
即r＝eq \f(\r(2),2)R时，取等号，
即当内接圆柱底面半径为eq \f(\r(2),2)R，高为eq \r(2)R时，其侧面积的值最大，最大值为2πR2.
12．一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为eq \r(3)、宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．
(1)求该几何体的体积V；
(2)求该几何体的表面积S.
解：(1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为eq \r(3).
所以V＝1×1×eq \r(3)＝eq \r(3).
(2)由三视图可知，该平行六面体中，A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，
所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形．
S＝2×(1×1＋1×eq \r(3)＋1×2)＝6＋2eq \r(3).