考点01 一元二次方程-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点一 一元二次方程

知识整合

一、一元二次方程的概念

1．一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

2．一般形式

（其中为常数，），其中分别叫做二次项、一次项和常数项，分别称为二次项系数和一次项系数．

注意：（1）在一元二次方程的一般形式中要注意，因为当时，不含有二次项，即不是一元二次方程；

（2）一元二次方程必须具备三个条件：

①必须是整式方程；

②必须只含有一个未知数；

③所含未知数的最高次数是2．

二、一元二次方程的解法

1．直接开平方法

适合于或形式的方程．

2．配方法

（1）化二次项系数为1；

（2）移项，使方程左边只含有二次项和一次项，右边为常数项；

（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

（4）把方程整理成的形式；

（5）运用直接开平方法解方程．

3．公式法

（1）把方程化为一般形式，即；

（2）确定的值；

（3）求出的值；

（4）将的值代入即可．

4．因式分解法

基本思想是把方程化成的形式，可得或．

考向一 一元二次方程解法

1．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长为（　　）

A．10 B．14 C．10或14 D．8或10

【答案】B

【解析】

试题分析： ∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m=0的一个根，

∴22﹣4m+3m=0，m=4，

∴x2﹣8x+12=0，

解得x1=2，x2=6．

①当6是腰时，2是底边，此时周长=6+6+2=14； 

②当6是底边时，2是腰，2+2＜6，不能构成三角形． 

所以它的周长是14．

考点：解一元二次方程-因式分解法；一元二次方程的解；三角形三边关系；等腰三角形的性质．

2．是关于的一元一次方程的解，则（  ）

A． B． C．4 D．

【答案】A

【分析】

先把x=1代入方程得a+2b=-1，然后利用整体代入的方法计算2a+4b的值

【详解】

将x＝1代入方程x2+ax+2b＝0，

得a+2b＝－1，2a+4b＝2（a+2b）＝2×（－1）＝－2.

故选A.

【点睛】

此题考查一元二次方程的解，整式运算，掌握运算法则是解题关键

3．先化简，再求值：，其中x是方程x2﹣2x＝0的根．

【答案】,-1.

【分析】

根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后由x2﹣2x＝0可以求得x的值，再将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子即可解答本题．

【详解】

解：

＝

＝

＝

＝，

由x2﹣2x＝0，得x1＝0，x2＝2，

当x＝2时，原分式无意义，

当x＝0时，原式＝＝﹣1．

【点睛】

本题考查分式的化简求值、解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意分式化简求值的方法．

4．已知多项式．

（1）化简多项式时，小明的结果与其他同学的不同，请你检查小明同学的解题过程．在标出①②③④的几项中出现错误的是__________；请写出正确的解答过程．

（2）小亮说：“只要给出的合理的值，即可求出多项式的值．”小明给出值为4，请你求出此时的值．

小明的作业

解：

【答案】（1）①，见解析；（2）此时的值为10或．

【分析】

（1）根据整式的乘法、加减法即可得；

（2）先利用直接开方法解一元二次方程求出x的值，再代入（1）中的化简结果即可得．

【详解】

（1）出现错误的是①，正确的解答过程如下：

；

（2）

或

或

方法一：

当时，

当时，

方法二：

当时，

当时，

综上，此时的值为10或．

【点睛】

本题考查了整式的乘法、加减法、解一元二次方程等知识点，掌握各运算法则和方程解法是解题关键．

5．先化简，再求值÷，其中x为方程x2﹣4＝0的根．

【答案】，-2

【分析】

先对分式进行化简，然后求出一元二次方程的解，进而代值求解即可．

【详解】

解：

＝

＝

＝，

解方程x2﹣4＝0得：x＝±2，

如果已知分式有意义，必须x不等于2，﹣1，1，

∵x为方程x2﹣4＝0的根，

∴x只能为﹣2，

当x＝﹣2时，原式＝．

【点睛】

本题主要考查分式的化简求值及一元二次方程的解法，熟练掌握各个运算方法是解题的关键．

6．有n个方程：x2+2x﹣8=0；x2+2×2x﹣8×22=0；…x2+2nx﹣8n2=0．

小静同学解第一个方程x2+2x﹣8=0的步骤为：“①x2+2x=8；②x2+2x+1=8+1；③（x+1）2=9；④x+1=±3；⑤x=1±3；⑥x1=4，x2=﹣2．”

（1）小静的解法是从步骤　   　开始出现错误的．

（2）用配方法解第n个方程x2+2nx﹣8n2=0．（用含有n的式子表示方程的根）

【答案】（1）⑤；（2）x1=2n，x2=﹣4n．

【分析】

（1）根据移项要变号，可判断；

（2）先把常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数的一半，使左边是一个完全平方式，然后用直接开平方法求解.

【详解】

解：（1）小静的解法是从步骤⑤开始出现错误的，

故答案为⑤；

（2）x2+2nx﹣8n2=0，

x2+2nx=8n2，

x2+2nx+n2=8n2+n2，

（x+n）2=9n2，

x+n=±3n，

x1=2n，x2=﹣4n．

7．解方程：

（1）

（2）

【答案】（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）利用配方法得到，然后利用直接开平方法解方程；

（2）利用求根公式法解方程．

【详解】

解：（1），

，

，

，

所以；

（2），

，

所以．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程﹣公式法：用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．也考查了配方法解方程．

8．（1）用配方法解方程：2x2+1=3x.

（2）已知：a2+6ab－40b2=0(a≠0)，求的值.

【答案】（1）；（2）或.

【分析】

（1）据配方法的步骤先把常数项移到右边，一次项移到左边，再把二次项系数化为1，两边加上一次项系数一半的平方，然后进行整理计算即可；

（2）利用配方法对式子进行配方变形计算，然后再代入所求式子计算即可.

【详解】

（1）解：∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

（2）解：方程a2+6ab－40b2=0变形得：（a+3b)2=49b2

∴a=4b≠0，或a=－10b≠0 ，

∴或.

【点睛】

本题主要考查配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的解题过程是解答本题的关键.

变式拓展

1．（2019·四川中考模拟）下列方程是一元二次方程的是(   )

A．x2﹣y＝1 B．x2+2x﹣3＝0 C．x2+＝3 D．x﹣5y＝6

【答案】B

【解析】

试题解析：根据一元二次方程的定义可以判断选项B的方程是一元二次方程.

故选B.

2．（2018·全国九年级单元测试）已知三个关于x的一元二次方程，，恰有一个公共实数根，则的值为（  ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】D

【解析】

由题意得：

故选D.

3．（2018·四川中考模拟）关于x的方程（m+1）+4x+2=0是一元二次方程，则m的值为（　　）

A．m1=﹣1，m2=1 B．m=1 C．m=﹣1 D．无解

【答案】B

【解析】

【分析】

根据一元二次方程未知数项的最高次数是2，可得m2＋1＝2且m＋1≠0，计算即可求解.

【详解】

因为一元二次方程的最高次数是2，所以m2＋1＝2，解得m＝﹣1或1，又因为m＋1≠0，即m≠﹣1，所以m＝1，故选B.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的概念：只含有一个未知数（一元），且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，掌握这个概念是解决此题的关键.

4．（2019·全国九年级课时练习）已知a﹣b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一个根是（　　）

A．1    B．﹣2    C．0    D．﹣1

【答案】D

【解析】分析：一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．只需把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中验证a﹣b+c=0即可．

详解：把x=﹣1代入一元二次方程ax2+bx+c=0中得：a﹣b+c=0，所以当a﹣b+c=0，且a≠0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根是﹣1．

    故选D．

点睛：本题考查的是一元二次方程的根，即方程的解的定义．解题的关键是要掌握一元二次方程ax2+bx+c=0中几个特殊值的特殊形式：x=1时，a+b+c=0；x=﹣1时，a﹣b+c=0．

5．（2019·四川中考模拟）解下列方程：

（1）x2﹣3x=1．                    

（2）（y+2）2﹣6=0．

【答案】(1) ;(2)

【解析】

试题分析：（1）利用公式法求解即可；

（2）利用直接开方法解即可；

试题解析：解：（1）将原方程化为一般式，得x2﹣3x﹣1=0，

∵b2﹣4ac=13＞0

∴．           

∴．     

（2）（y+2）2=12，

∴或，

∴

6．（2019·江苏中考模拟）解方程

（1）（2x+3）2﹣81＝0；

（2）y2﹣7y+6＝0．

【答案】（1）x1＝3，x2＝﹣6；（2）y1＝1，y2＝6．

【解析】

【分析】

(1)移项后开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可;

(2)直接用十字相乘法解一元二次方程组可得答案.

【详解】

（1）（2x+3）2＝81，

2x+3＝±9，

所以x1＝3，x2＝﹣6；

（2）（y﹣1）（y﹣6）＝0，

y﹣1＝0或y﹣6＝0，

所以y1＝1，y2＝6．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程组的方法：直接开平方法与十字相乘法.

7．（2020·全国九年级课时练习）解下列方程：

（1）x2+10x+25=0

（2）x2﹣x﹣1=0．

【答案】（1）x1=x2=﹣5；（2）x1=，x2=．

【详解】

解：（1）配方，得：（x+5）2=0，

开方，得：x+5=0，

解得x=﹣5，

x1=x2=﹣5；

（2）移项，得：x2﹣x=1，

配方，得：x2﹣x+=，

，

开方，得，

．

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，其步骤是：①转化：将方程化为ax2+bx+c=0的形式；②移项：将常数项移到等号的右边，即ax2+bx=-c；③系数化1：将二次项系数化为1，即化为的形式；④配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方，即；⑤整理：把左边写成完全平方式， ；⑥开方：两边开平方求出未知数的值.

8．（2018·四川中考模拟）用配方法解方程：x2﹣7x+5=0．

【答案】x1=，x2=．

【解析】

【分析】

移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

【详解】

x2﹣7x+5=0，

x2﹣7x=﹣5，

x2﹣7x+（）2=﹣5+（）2，

（x﹣）2=，

x﹣=±，

x1=，x2=．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．

9．（2019·河北开滦第二中学九年级三模）阅读材料：我们知道：若几个非负数相加得零，则这些数都必同时为零。

例如：①（a﹣1）2+（b+5）2=0，我们可以得：（a﹣1）2=0，（b+5）2=0，∴a=1，b=-5．

②若m2-4m+n2+6n+13=0，求m、n的值．

解：∵m2-4m+n2+6n+13=0，

∴（m2﹣4m+4)+(n2+6n+9)=0(我们将13拆成4和9，等式左边就出现了两个完全平方式）

∴(m﹣2)2+(n+3)2=0，   

∴(m﹣2)2=0，(n+3)2=0，  

∴  n=2，m=-3．        

根据你的观察，探究下面的问题：

（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a=　　．b=　　．

（2）已知x2+2xy+2y2－6y+9=0,求xy的值．

（3）已知a、b（a≠b）是等腰三角形的边长，且满足2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，求三角形的周长。

【答案】（1）a= 2 ，b= 0；（2）xy=-27；（3）当a为腰时，周长为7，当b为腰时，周长为8.

【解析】

【分析】

（1）由题意给出的运算公式即可解答

（2）根据完全平方公式，再根据非负数的性质进行解答即可

（3）同（2）根据完全平方公式求出a,b的值，再根据情况分类讨论等腰三角形的腰长即可解答

【详解】

（1）a2﹣4a+4+b2=0，则a= 2 ．b= 0 ．

（2）解:∵x2+2xy+2y2－6y+9=0,

∴x2+2xy+y2+y2－6y+9=0  

∴(x+y)2+(y－3)2=0 

∴x+y=0, y－3 =0

∴ y=3，x=-y=-3,

    ∴ xy=(-3)3=-27

（3）∵2a2+b2﹣8a﹣6b+17=0，

∴2a2﹣8a+8+b2﹣6b+9=0

∴2(a2﹣4a+4)+b2﹣6b+9=0

∴2(a﹣2)2+(b-3)2=0

∴ a﹣2=0,  b-3 =0

∴ a=2，b=3, 

当a为腰时，周长为7，

当b为腰时，周长为8.

【点睛】

此题考查配方法的应用，利用完全平方公式是解题关键

10．（2019·安徽中考模拟）用适当的方法解下列方程．   

（1）3x（x+3）＝2（x+3）

（2）2x2﹣4x﹣3＝0．

【答案】(1)x1=−3,x2=(2)

【分析】

（1）利用因式分解法解方程即可；（2）利用公式法解方程即可.

【详解】

(1)3x(x＋3)＝2(x＋3)

3x(x＋3) -2(x＋3) ＝0

(x＋3) (3x-2) ＝0

3x-2＝0或 x＋3＝0

∴x1＝，x2＝－3；

(2)2x2－4x－3＝0

a=2，b=-4，c=-3，

△=16+24=40＞0，

，

∴x1＝1＋，x2＝1－.

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

11．（2018·河南中考模拟）先化简，再求值：，其中是方程的根．

【答案】

【分析】

原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a代入方程求出a2+3a的值，代入计算即可求出值．

【详解】

原式=

=

=

，

∵a是的根，

∴a2+3a=-1,

故原式=

【点睛】

考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

12．（2019·葫芦岛市第七高级中学中考模拟）解方程：

【答案】x＝－1.

【解析】

【分析】

设，用完全平方公式将方程化为关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，即为的值，进而求出x的值，将x的值代入原方程进行检验，即可得到原分式方程的解．

【详解】

解：设，则，

原方程化成，

解这个方程，得，，

当y＝1时，=1，即．由知，此方程无实根，

当y＝－2时，，即，

解得

经检验，x＝－1是原分式方程的解.

原方程的解为x＝－1.

【点睛】

此题考查了换元法方程，关键是利用进行转化，进而设，将原方程转化为一元二次方程．

13．（2019·江苏中考模拟）先化简，再求值：，其中x满足方程x2-2x-3=0．

【答案】

【解析】

【分析】

先根据分式的运算法则化简分数，然后解一元二次方程求出x，将能使分式有意义的值代入化简后的式子即可求出答案．

【详解】

解：原式=

=

=；

当x2-2x-3=0时，

解得：x=3或x=-1（不合题意，舍去）

当x=3时，原式=；

【点睛】

本题考查分式的运算和一元二次方程解法，解题的关键是熟练运用分式的运算法则化简分式，注意代入x值要使分式有意义.