考点01 反比例函数的图象和性质-2021年中考数学一轮复习基础夯实（安徽专用）

考点一 反比例函数的图像和性质

知识点整合

一、反比例函数的概念

1．反比例函数的概念

一般地，函数（k是常数，k≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成的形式．自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数．

2．反比例函数（k是常数，k0）中x，y的取值范围

反比例函数（k是常数，k≠0）的自变量x的取值范围是不等于0的任意实数，函数值y的取值范围也是非零实数．

二、反比例函数的图象和性质

1．反比例函数的图象与性质

（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x≠0，函数y≠0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．

（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小．

当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．

2．反比例函数图象的对称性

反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=-x，对称中心为原点．

3．注意

（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．

（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永远不与坐标轴相交，因为反比例函数中x≠0且y≠0．

（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．

三、反比例函数解析式的确定

1．待定系数法

确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．

2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤

（1）设反比例函数解析式为（k≠0）；

（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；

（3）解这个方程求出待定系数k；

（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．

四、反比例函数中|k|的几何意义

1．反比例函数图象中有关图形的面积

2．涉及三角形的面积型

当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解．

（1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S△ABC=2S△ACO=|k|；

（2）如图②，已知一次函数与反比例函数交于A、B两点，且一次函数与x轴交于点C，则S△AOB=S△AOC+S△BOC=+=；

（3）如图③，已知反比例函数的图象上的两点，其坐标分别为，，C为AB延长线与x轴的交点，则S△AOB=S△AOC–S△BOC=–=．

五、反比例函数与一次函数的综合

1．涉及自变量取值范围型

当一次函数与反比例函数相交时，联立两个解析式，构造方程组，然后求出交点坐标．针对时自变量x的取值范围，只需观察一次函数的图象高于反比例函数图象的部分所对应的x的范围.例如，如下图，当时，x的取值范围为或；同理，当时，x的取值范围为或．

2．求一次函数与反比例函数的交点坐标

（1）从图象上看，一次函数与反比例函数的交点由k值的符号来决定.

①k值同号，两个函数必有两个交点；

②k值异号，两个函数可能无交点，可能有一个交点，也可能有两个交点；

（2）从计算上看，一次函数与反比例函数的交点主要取决于两函数所组成的方程组的解的情况．

考向一 反比例函数的定义

1．反比例函数的表达式中，等号左边是函数值y，等号右边是关于自变量x的分式，分子是不为零的常数k，分母不能是多项式，只能是x的一次单项式．

2．反比例函数的一般形式的结构特征：①k≠0；②以分式形式呈现；③在分母中x的指数为-1

典例引领

1．给出的六个关系式：①x(y＋1)；②y＝；③y＝；④y＝－；⑤y＝；⑥y＝；其中y是x的反比例函数是(　　)

A．①②③④⑥ B．③⑤⑥ C．①②④ D．④⑥

【答案】D

【解析】

【分析】

根据反比例函数的一般形式是（k≠0），可得答案．

【详解】

①x(y＋1)是整式的乘法，

②y＝不是反比例函数；

③y＝不是反比例函数，

④y＝－是反比例函数，

⑤y＝是正比例函数，

⑥⑥y＝是反比例函数，

故选D.

【点睛】

本题考查了正比例函数及反比例函数的定义，注意区分：正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是（k≠0）．

2．下列关系式中，y是x的反比例函数的是(   )

A．y=4x B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

根据反比例函数的定义判断即可．

【详解】

A、y＝4x是正比例函数；

B、＝3，可以化为y＝3x，是正比例函数；

C、y＝﹣是反比例函数；

D、y＝x2﹣1是二次函数；

故选C．

【点睛】

本题考查的是反比例函数的定义，形如y＝（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数．

3．（2020·全国九年级单元测试）下列函数中，y是x的反比例函数的是（    ）

A． B． C． D．

变式拓展

1．（2020·山东广饶县·八年级期末）在下列函数表达式中，x均表示自变量：①y＝；②y＝－2x－1；③xy＝2；④y＝.其中y是x的反比例函数有____个．

2．（2019·河北九年级其他模拟）如果反比例函数的图象经过点A（2，y1）与B（3，y2），那么的值等于_____________.

3．（2019·山东九年级课时练习）已知y与x成正比例，z与y成反比例，则z与x成__________关系，当时，；当时，，则当时，_____________.

考向二 反比例函数的图象和性质

当k>0时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左向右下降，也就是在每个象限内，y随x的增大而减小．

当k<0时，函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，曲线从左向右上升，也就是在每个象限内，y随x的增大而增大．

双曲线是由两个分支组成的，一般不说两个分支经过第一、三象限（或第二、四象限），而说图象的两个分支分别在第一、三象限（或第二、四象限）．

典例引领

1．（2020·福建省泉州第一中学八年级月考）一次函数y=ax+b与反比例函数，其中ab＜0，a、b为常数，它们在同一坐标系中的图象可以是（　　）

A．B．C．D．

2．（2019·山西九年级专题练习）如图，已知直线y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（　　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣1，2） C．（1，﹣2） D．（﹣2，﹣1）

3．（2020·山西九年级专题练习）如图，函数的图象所在坐标系的原点是（　　）

A．点 B．点 C．点 D．点

4．（2019·山东九年级其他模拟）若点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3）在双曲线y=（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）

A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2

5．（2020·武汉市洪山中学九年级其他模拟）对于反比例函数，下列说法不正确的是　　

A．图象分布在第二、四象限

B．当时，随的增大而增大

C．图象经过点（1,-2）

D．若点，都在图象上，且，则

6．（2019·山西九年级专题练习）从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为、，那么点在函数图象的概率是（   ）

A． B． C． D．

变式拓展

1．（2020·全国九年级课时练习）已知某函数的图象与函数的图象关于直线对称．下列命题：①图象与函数的图象交于点；②点在图象上；③图象上的点的纵坐标都小于4；④，是图象上任意两点，若，则．其中真命题是（　　）

A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④

2．（2019·山西九年级期中）如图已知关于x的函数y=k(x-1)和y=-(k≠0),它们在同一坐标系内的图象大致是（ ）

A．B．C．D．

3．（2020·湖南广益实验中学）已知二次函数y=﹣（x﹣a）2﹣b的图象如图所示，则反比例函数y=与一次函数y=ax+b的图象可能是（  ）

A． B． C． D．

4．（2020·全国）若，是函数图象上的两点，当时，下列结论正确的是　　

A． B． C． D．

考向三 反比例函数解析式的确定

1．反比例函数的解析式（k≠0）中，只有一个待定系数k，确定了k值，也就确定了反比例函数，因此要确定反比例函数的解析式，只需给出一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，代入中即可．

2．确定点是否在反比例函数图象上的方法：（1）把点的横坐标代入解析式，求出y的值，若所求值等于点的纵坐标，则点在图象上；若所求值不等于点的纵坐标，则点不在图象上．（2）把点的横、纵坐标相乘，若乘积等于k，则点在图象上，若乘积不等于k，则点不在图象上．

典例引领

1．（2018·全国专题练习）如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　　)

A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16

2．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点、分别在轴、轴的正半轴上，，轴，点在函数的图象上，若，则的值为（   ）

A．1 B． C． D．2

3．（2020·河南九年级专题练习）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图象过点C，则该反比例函数的表达式为（　　）

A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝

变式拓展

1．（2020·湖南九年级期末）如图，B（3，﹣3），C（5，0），以OC，CB为边作平行四边形OABC，则经过点A的反比例函数的解析式为_____．

2．（2019·山西九年级专题练习）若一个反比例函数的图象经过点A(m，m)和B(2m，－1)，则这个反比例函数的表达式为______

3．（2020·山西九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上运动，且始终保持线段的长度不变．为线段的中点，连接．则线段长度的最小值是_____(用含的代数式表示)．

考向四 反比例函数中k的几何意义

三角形的面积与k的关系

（1）因为反比例函数中的k有正负之分，所以在利用解析式求矩形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．

（2）若三角形的面积为|k|，满足条件的三角形的三个顶点分别为原点，反比例函数图象上一点及过此点向坐标轴所作垂线的垂足．

典例引领

1．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为　    　．

2．如图，反比例函数y=的图象经过▱ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，▱ABCD的面积为6，则k=_____．

3．如图，点A，B是反比例函数y=（x＞0）图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x轴于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD=2，S△BCD=3，则S△AOC=__．

变式拓展

1．如图，点D为矩形OABC的AB边的中点，反比例函数的图象经过点D，交BC边于点E.若△BDE的面积为1，则k =________

2．如图，直线轴于点，且与反比例函数（）及（）的图象分别交于、两点，连接、，已知的面积为4，则________．

3．如图，双曲线y=经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，S△BOD=21，求k=__．

考向五 反比例函数与一次函数的综合

反比例函数与一次函数综合的主要题型：

（1）利用k值与图象的位置的关系，综合确定系数符号或图象位置；

（2）已知直线与双曲线表达式求交点坐标；

（3）用待定系数法确定直线与双曲线的表达式；

（4）应用函数图象性质比较一次函数值与反比例函数值的大小等．

解题时，一定要灵活运用一次函数与反比例函数的知识，并结合图象分析、解答问题．

典例引领

1．（2020·深圳市福田区石厦学校九年级期中）已知A（﹣4，2）、B（n，﹣4）两点是一次函数y=kx+b和反比例函数y=图象的两个交点．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积；

（3）观察图象，直接写出不等式kx+b﹣＞0的解集．

【答案】（1）反比例函数解析式为y=﹣，一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；（2）6；（3）x＜﹣4或0＜x＜2．

【解析】

试题分析：（1）先把点A的坐标代入反比例函数解析式，即可得到m=﹣8，再把点B的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n=2，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式；

（2）先求出直线y=﹣x﹣2与x轴交点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC进行计算；

（3）观察函数图象得到当x＜﹣4或0＜x＜2时，一次函数的图象在反比例函数图象上方，据此可得不等式的解集．

试题解析：（1）把A（﹣4，2）代入，得m=2×（﹣4）=﹣8，所以反比例函数解析式为，把B（n，﹣4）代入，得﹣4n=﹣8，解得n=2，把A（﹣4，2）和B（2，﹣4）代入y=kx+b，得： ，解得：，所以一次函数的解析式为y=﹣x﹣2；

（2）y=﹣x﹣2中，令y=0，则x=﹣2，即直线y=﹣x﹣2与x轴交于点C（﹣2，0），∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×2×2+×2×4=6；

（3）由图可得，不等式的解集为：x＜﹣4或0＜x＜2．

考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求一次函数解析式．

2．（2020·广东九年级一模）如图，直线y=kx+b（k≠0）与双曲线y=（m≠0）交于点A（﹣，2），B（n，﹣1）．

（1）求直线与双曲线的解析式．

（2）点P在x轴上，如果S△ABP=3，求点P的坐标．

【答案】（1）y=﹣2x+1；（2）点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．

【解析】

【分析】

（1）把A的坐标代入可求出m，即可求出反比例函数解析式，把B点的坐标代入反比例函数解析式，即可求出n，把A，B的坐标代入一次函数解析式即可求出一次函数解析式；

（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，设点P的坐标为(x,0)，根据三角形的面积公式结合S△ABP=3，即可得出，解之即可得出结论．

【详解】

（1）∵双曲线y=（m≠0）经过点A（﹣，2），

∴m=﹣1．

∴双曲线的表达式为y=﹣．

∵点B（n，﹣1）在双曲线y=﹣上，

∴点B的坐标为（1，﹣1）．

∵直线y=kx+b经过点A（﹣，2），B（1，﹣1），

∴，解得

∴直线的表达式为y=﹣2x+1；

（2）当y=﹣2x+1=0时，x=，

∴点C（，0）．

设点P的坐标为（x，0），

∵S△ABP=3，A（﹣，2），B（1，﹣1），

∴×3|x﹣|=3，即|x﹣|=2，

解得：x1=﹣，x2=．

∴点P的坐标为（﹣，0）或（，0）．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、一次（反比例）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式以及三角形的面积，解题的关键是：（1）根据点的坐标利用待定系数法求出函数的解析式；（2）根据三角形的面积公式以及S△ABP=3，得出．

3．（2020·湖北枣阳市·九年级其他模拟）如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象交于点A（－3，m＋8），B（n，－6）两点．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）求△AOB的面积．

4．（2020·全国九年级课时练习）如图，已知反比例函数的图象与反比例函数的图象关于轴对称，，是函数图象上的两点，连接，点是函数图象上的一点，连接，.

（1）求，的值；

（2）求所在直线的表达式；

（3）求的面积.

5．（2017·佛冈县潖江中学）如图，一次函数y=﹣x+4的图象与反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象交于A（1，a），B（3，b）两点．

（1）求反比例函数的表达式

（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，求满足条件的点P的坐标

（3）求△PAB的面积．

变式拓展

1．（2020·六安市汇文中学九年级期中）如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点，，点的横坐标实数4，点在反比例函数的图象上.

（1）求反比例函数的表达式；

（2）观察图象回答：当为何范围时，；

（3）求的面积.

2．如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；

（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成1：3两部分，求此时点P的坐标．

3．（2018·浙江九年级期中）如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y=（k为常数且k≠0）的图象交于A（﹣1，a），B两点，与x轴交于点C

（1）求此反比例函数的表达式；

（2）若点P在x轴上，且S△ACP=S△BOC，求点P的坐标．

4．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝﹣x与反比例函数y＝的图象交于A，B两点（点A在点B左侧），已知A点的纵坐标是2；

（1）求反比例函数的表达式；

（2）根据图象直接写出﹣x＞的解集；

（3）将直线l1：y＝﹣x沿y向上平移后的直线l2与反比例函数y＝在第二象限内交于点C，如果△ABC的面积为30，求平移后的直线l2的函数表达式．

5．（2020·河南省洛阳市东升第二中学九年级一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.

（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点在线段上，且，求点的坐标.