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人教版中考数学第一轮考点过关:第3单元函数及其图象第13课时反比例函数及其应用课时训练
展开1.点A(-2,5)在反比例函数y=eq \f(k,x)(k≠0)的图象上,则k的值是( )
A.10 B.5 C.-5 D.-10
2.模拟关于反比例函数y=-eq \f(2,x),下列说法正确的是( )
A.图象过(1,2)点 B.图象在第一、三象限
C.当x>0时,y随x的增大而减小 D.当x<0时,y随x的增大而增大
3.模拟若反比例函数y=eq \f(k-1,x)的图象位于第二、四象限,则k的取值可能是( )
A.0 B.2 C.3 D.4
4.某学校要种植一块面积为100 m2的长方形草坪,要求两边长均不小于5 m,则草坪的一边长y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是图K13-1中的( )
图K13-1
5.一次函数y=ax+b与反比例函数y=eq \f(a-b,x),其中ab<0,a、b为常数,它们在同一坐标系中的图象可以是( )
图K13-2
6.如图K13-3,在平面直角坐标系中,点P(1,4),Q(m,n)在函数y=eq \f(k,x)(x>0)的图象上,当m>1时,过点P分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点A,B;过点Q分别作x轴、y轴的垂线,垂足为点C,D.QD交PA于点E,随着m的增大,四边形ACQE的面积( )
A.减小 B.增大
C.先减小后增大 D.先增大后减小
图K13-3 图K13-4
7.如图K13-4,A,B两点在反比例函数y=eq \f(k1,x)的图象上,C,D两点在反比例函数y=eq \f(k2,x)的图象上,AC⊥y轴于点E,BD⊥y轴于点F,AC=2,BD=1,EF=3,则k1-k2的值是( )
A.6 B.4 C.3 D.2
二、填空题
8.[2017·菏泽]直线y=kx(k>0)与双曲线y=eq \f(6,x)交于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点,则3x1y2-9x2y1的值为________.
9.如图K13-5,一块含30°、60°、90°的直角三角板,直角顶点O位于坐标原点,斜边AB垂直于x轴,顶点A在函数y1=eq \f(k1,x)(x>0)的图象上,顶点B在函数y2=eq \f(k2,x)(x>0)的图象上,∠ABO=30°,则eq \f(k1,k2)=________.
图K13-5
图K13-6
10.如图K13-6,点A在函数y=eq \f(4,x)(x>0)的图象上,且OA=4,过点A作AB⊥x轴于点B,则△ABO的周长为________.
三、解答题
11.如图K13-7,直线y=x+b与双曲线y=eq \f(k,x)(k为常数,k≠0)在第一象限内交于点A(1,2),且与x轴、y轴交于B,C两点.
(1)求直线和双曲线的解析式;
(2)点P在x轴上,且△BCP的面积等于2,求P点的坐标.
图K13-7
12.丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售.记汽车的行驶时间为t小时,平均速度为v千米/时(汽车行驶速度不超过100千米/时).根据经验,v,t的一组对应值如下表:
(1)根据表中的数据,求出平均速度v(千米/时)关于行驶时间t(小时)的函数表达式;
(2)汽车上午7:30从丽水出发,能否在上午10:00之前到达杭州市场?请说明理由;
(3)若汽车到达杭州市场的行驶时间t满足3.5≤t≤4,求平均速度v的取值范围.
13.已知点A在函数y1=-eq \f(1,x)(x>0)的图象上,点B在直线y2=kx+1+k(k为常数,且k≥0)上,若A,B两点关于原点对称,则称点A,B为函数y1,y2图象上的一对“友好点”.请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为( )
A.有1对或2对 B.只有1对
C.只有2对 D.有2对或3对
14.[2015·邵阳]如图K13-8,已知直线y=x+k和双曲线y=eq \f(k+1,x)(k为正整数)交于A,B两点.
(1)当k=1时,求A,B两点的坐标.
(2)当k=2时,求△AOB的面积.
(3)当k=1时,△OAB的面积记为S1;当k=2时,△OAB的面积记为S2;….依此类推,当k=n时,△OAB的面积记为Sn,若S1+S2+…+Sn=eq \f(133,2),求n的值.[提示:12+22+…+n2=eq \f(n(n+1)(2n+1),6)]
图K13-8
参考答案
1.D
2.D [解析] ∵当x=1时,y=-2,∴图象过点(1,-2),∴A错误;∵k=-2<0,∴函数图象位于二、四象限,在各自象限内y随x的增大而增大,故B、C错误;选项D正确.故选D.
3.A [解析] 由于反比例函数y=eq \f(k-1,x)的图象位于第二、四象限,所以k-1<0,解得k<1,只有选项A符合条件,故选A.
4.C [解析] 由题意得y=eq \f(100,x),由两边长均不小于5 m,可得5≤x≤20,符合题意的选项只有C.
5.C [解析] ∵ab<0,∴a、b异号.选项A中由一次函数的图象可知a>0,b<0,则a>b,由反比例函数的图象可知a-b<0,即a<b,产生矛盾,故A错误;选项B中由一次函数的图象可知a<0,b>0,则a<b,由反比例函数的图象可知a-b>0,即a>b,产生矛盾,故B错误;选项C中由一次函数的图象可知a>0,b<0,则a>b,由反比例函数的图象可知a-b>0,即a>b,与一次函数一致,故C正确;选项D中由一次函数的图象可知a<0,b<0,则ab>0,这与题设矛盾,故D错误.
6.B [解析] 因为点P(1,4)在函数y=eq \f(k,x)(x>0)的图象上,所以k=4,又点Q(m,n)也在函数图象上,所以mn=4,QE=m-1,QC=n,所以四边形ACQE的面积为(m-1)n=mn-n=-n+4,当m增大时,n减小,-n+4是增大的,故选B.
7.D [解析] 连接OA、OC、OD、OB,由反比例函数的性质可知S△AOE=S△BOF=eq \f(1,2)|k1|=eq \f(1,2)k1,S△COE=S△DOF=eq \f(1,2)|k2|=-eq \f(1,2)k2,∵S△AOC=S△AOE+S△COE,∴eq \f(1,2)AC·OE=eq \f(1,2)×2OE=OE=eq \f(1,2)(k1-k2)…①,∵S△BOD=S△DOF+S△BOF,∴eq \f(1,2)BD·OF=eq \f(1,2)×(EF-OE)=eq \f(1,2)×(3-OE)=eq \f(3,2)-eq \f(1,2)OE=eq \f(1,2)(k1-k2)…②,由①②两式解得OE=1,则k1-k2=2.
8.36 [解析] 由图象可知点A(x1,y1),B(x2,y2)关于原点对称,∴x1=-x2,y1=-y2,把(x1,y1)代入y=eq \f(6,x),得x1y1=6,所以3x1y2-9x2y1=-3x1y1+9x1y1=-18+54=36.
9.-eq \f(1,3) [解析] 在Rt△ACO与Rt△BCO中,∠A=60°,∠B=30°,设AC=a,则OC=eq \r(3)a,BC=3a,则可知A(eq \r(3)a,a),B(eq \r(3)a,-3a).故k1=eq \r(3)a2,k2=-3 eq \r(3)a2,故eq \f(k1,k2)=-eq \f(1,3).
10.2 eq \r(6)+4 [解析] ∵点A在函数y=eq \f(4,x)(x>0)的图象上,∴设点A的坐标为(n,eq \f(4,n))(n>0).
在Rt△ABO中,∠ABO=90°,OA=4,∴OA2=AB2+OB2,
又∵AB·OB=eq \f(4,n)·n=4,∴(AB+OB)2=AB2+OB2+2AB·OB=42+2×4=24,
∴AB+OB=2 eq \r(6)或AB+OB=-2 eq \r(6)(舍去),
∴C△ABO=AB+OB+OA=2 eq \r(6)+4.
11.解:(1)∵直线y=x+b与双曲线y=eq \f(k,x)交于点A(1,2),∴eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2=1+b,,2=\f(k,1),))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k=2,,b=1.))
∴y=x+1,y=eq \f(2,x).
(2)分别将x=0,y=0代入y=x+1求得C(0,1),B(-1,0),∴OC=1,S△BCP=eq \f(1,2)·OC·BP=2,解得BP=4.∴当P在B左边时,P(-5,0);当P在B右边时,P(3,0).
12.解:(1)根据表中的数据,可画出v关于t的函数图象如图所示:
根据图象形状,选择反比例函数模型进行尝试.
设v关于t的函数表达式为v=eq \f(k,t),
∵当v=75时,t=4,
∴k=4×75=300.
∴v=eq \f(300,t).
将点(3.75,80),(3.53,85),(3.33,90),(3.16,95)的坐标代入v=eq \f(300,t),
验证:eq \f(300,80)=3.75,eq \f(300,85)≈3.53,eq \f(300,90)≈3.33,eq \f(300,95)≈3.16,
∴v与t的函数表达式为v=eq \f(300,t)(t≥3).
(2)∵10-7.5=2.5,
∴当t=2.5时,v=eq \f(300,2.5)=120>100.
∴汽车上午7:30从丽水出发,不能在上午10:00之前到达杭州市场.
(3)由图象或反比例函数的性质得,
当3.5≤t≤4时,75≤v≤eq \f(600,7).
答:平均速度v的取值范围是75≤v≤eq \f(600,7).
13.A [解析] ①当k=0时y2=1,y1=-eq \f(1,x)(x>0),则一对“友好点”为A(1,-1),B(-1,1);
②当k≠0时,设A点坐标为(x,-eq \f(1,x)),由于A,B关于原点对称,则可设B点坐标为(-x,-kx+1+k).A、B两点纵坐标互为相反数,因此eq \f(1,x)=-kx+1+k,将其化为一元二次方程,得到kx2-(1+k)x+1=0,Δ=(k-1)2≥0,因此,当k=1时,有1对“友好点”,坐标为A(1,-1),B(-1,1);当k>0且k≠1时,有两对“友好点”,因此答案为A.
14.解:(1)当k=1时,直线y=x+k和双曲线y=eq \f(k+1,x)化为y=x+1和y=eq \f(2,x),
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=x+1,,y=\f(2,x),))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=-2,,y=-1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=1,,y=2.))
∴点A的坐标为(1,2),点B的坐标为(-2,-1).
(2)当k=2时,直线y=x+k和双曲线y=eq \f(k+1,x)化为y=x+2和y=eq \f(3,x),
解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=x+2,,y=\f(3,x),))
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=-3,,y=-1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=1,,y=3,))
∴点A(1,3),点B(-3,-1).
∵直线AB与y轴的交点坐标为(0,2),
∴S△AOB=eq \f(1,2)×2×1+eq \f(1,2)×2×3=4.
(3)当k=1时,S1=eq \f(1,2)×1×(1+2)=eq \f(3,2);
当k=2时,S2=eq \f(1,2)×2×(1+3)=4;
…
当k=n时,Sn=eq \f(1,2)n(1+n+1)=eq \f(1,2)n2+n.
∵S1+S2+…+Sn=eq \f(133,2),
∴eq \f(1,2)×(12+22+32+…+n2)+(1+2+3+…+n)=eq \f(133,2),
整理得eq \f(1,2)×eq \f(n(n+1)(2n+1),6)+eq \f(n(n+1),2)=eq \f(133,2),
解得n=6.
v(千米/时)
75
80
85
90
95
t(小时)
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
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