人教版中考数学第一轮考点过关：第6单元圆第24课时直线与圆的位置关系课时训练

课时训练(二十四)直线与圆的位置关系

一、选择题

1．已知⊙O的半径是6 cm，点O到同一平面内直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)

A．相交  B．相切   C．相离  D．无法判断

2．如图K24－1，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于A，BC交⊙O于点D，若∠C＝70°，则∠AOD的度数为(　　)

A．70°  B．35°  C．20°  D．40°

图K24－1         　图K24－2         图K24－3          图K24－4         图K24－5

3．如图K24－2，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于(　　)

A．20°  B．25°  C．30°  D．40°

4．如图K24－3，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为(　　)

A.    B.    C.    D.　

5．如图K24－4，过⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，OP交⊙O于点C，点D是优弧上不与点A，点B重合的一个动点，连接AD，CD，若∠APB＝80°，则∠ADC的度数是(　　)

A．15°  B．20°  C．25°  D．30°

6．如图K24－5，圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O，过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M，若∠ABC＝55°，则∠ACD等于(　　)

A．20°  B．35°   C．40°  D．55°

7．以坐标原点O为圆心，作半径为2的圆，若直线y＝－x＋b与⊙O相交，则b的取值范围是(　　)

A．0≤b<2    B．－2 ≤b≤2     C．－2 <b<2    D．－2 <b<2

二、填空题

8．如图K24－6，⊙O的半径为3，P是OB延长线上一点，PO＝5，PA切⊙O于点A，则PA＝________．

图K24－6          　图K24－7          图K24－8           图K24－9            图K24－10

9．如图K24－7，若以平行四边形一边AB为直径的圆恰好与对边CD相切于点D，则∠C＝________度．

10．如图K24－8，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，CO交⊙O于点D.若∠CAD＝30°，则∠BOD＝________．

11．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著．书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，如图K24－9所示，问该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少？________．

12．如图K24－10，已知∠AOB＝30°，在射线OA上取点O1，以O1为圆心的圆与OB相切；在射线O1A上取点O2，以O2为圆心，O2O1为半径的圆与OB相切；在射线O2A上取点O3，以O3为圆心，O3O2为半径的圆与OB相切；…；在射线O9A上取点O10，以O10为圆心，O10O9为半径的圆与OB相切．若⊙O1的半径为1，则⊙O10的半径长是________．

三、解答题

13．如图K24－11，已知⊙O的直径AB＝12，弦AC＝10，D是的中点，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是⊙O的切线；

(2)求AE的长．

‘

                                                                           图K24－11

14．如图K24－12，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.

(1)求证：四边形ACBP是菱形；

(2)若⊙O半径为1，求菱形ACBP的面积．

                                                                      图K24－12

15．如图K24－13，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，C为的中点，过点C作直线CD⊥AE于D，连接AC，BC.

(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．

                                                              图K24－13

16．如图K24－14，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－，0)，B(，0)，C(0，3)．

(1)求△ABC的内切圆⊙D的半径；

(2)过点E(0，－1)的直线与⊙D相切于点F(点F在第一象限)，求直线EF的表达式；

(3)以(2)为条件，P为直线EF上一点，以P为圆心，以2 为半径作⊙P，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，求此时圆心P的坐标．

                                                              图K24－14

参考答案

1．A　[解析] 设⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d.

∵d＝5 cm，r＝6 cm，∴d＜r，

∴直线l与圆相交．故选A.

2．D　[解析] 依题意，AC切⊙O于点A，且AB是圆O的直径，∴AB⊥AC，∴∠CAB＝90°.

又∵∠C＝70°，∴∠CBA＝20°.∴∠DOA＝40°.

3．B　[解析] ∵PA切⊙O于点A，∴∠PAO＝90°.∵∠P＝40°，∴∠POA＝180°－90°－40°＝50°.∵OC＝OB，∴∠B＝∠OCB.∵∠POA是△COB的外角，∴∠B＋∠OCB＝50°，∴∠B＝50°÷2＝25°.

4．A　[解析] 连接OC，根据直线CE与⊙O相切可得OC⊥CE.又∠A＝30°，∴∠BOC＝2∠A＝60°，

∴∠E＝90°－∠BOC＝30°，∴sin∠E＝sin30°＝.

5．C　[解析] 连接OB，OA，易得∠BOA＝360°－90°－90°－80°＝100°.又∵＝，∴∠AOC＝∠BOC＝50°，∴∠ADC＝∠AOC＝25°.

6．A　[解析] 连接OC，因为CM为⊙O的切线，所以OC⊥MC.因为AM⊥MC，所以AM∥OC.所以∠MAB＝∠COB，∠MAC＝∠OCA.因为OB＝OC，所以∠OCB＝∠OBC＝55°，所以∠MAB＝∠COB＝180°－2×55°＝70°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠OCA＝∠MAC，所以∠MAC＝∠MAB＝35°.因为∠ADC＋∠ABC＝180°，所以∠ADC＝180°－∠ABC＝180°－55°＝125°.所以∠ACD＝180°－∠ADC－∠MAC＝180°－125°－35°＝20°.

7．D　[解析] 如图，y＝－x平分第二、四象限，将y＝－x向上平移为y＝－x＋b(b>0)，当y＝－x＋b与圆相切时，b最大，由平移知∠CAO＝∠AOC＝45°，OC＝2，∴OA＝b＝2 ，同理将y＝－x向下平移为y＝－x＋b(b<0)，当y＝－x＋b与圆相切时，b最小，同理可得b＝－2 ，∴当y＝－x＋b与圆相交时，－2 ＜b＜2 .

8．4　[解析] ∵PA切⊙O于点A，

∴OA⊥PA.在Rt△OPA中，OP＝5，OA＝3，

∴PA＝＝4.故答案为4.

9．45　[解析] 连接OD，则OD⊥CD，∴△AOD是等腰直角三角形，∴∠C＝∠A＝45°.

10．120°　[解析] 由AC与⊙O相切可得∠CAO＝90°，而∠CAD＝30°，故∠OAD＝60°.由OA＝OD，可得∠OAD＝∠ODA＝60°，∠BOD＝∠OAD＋∠ODA＝60°＋60°＝120°.

11．6步　[解析] 过点O分别作OD⊥AC，OE⊥AB，OF⊥BC，

设⊙O的半径是r，

∵⊙O是△ABC的内切圆，

∴OD＝OE＝OF＝r.

∵AB＝15，BC＝8，

在Rt△ABC中，

由勾股定理得，AC＝＝17，

∴×15×8＝×(15＋17＋8)×r，

∴r＝3.

12．29　[解析] 作O1C、O2D、O3E分别垂直OB，∵∠AOB＝30°，∴OO1＝2CO1，OO2＝2DO2，OO3＝2EO3，∵O1O2＝DO2，O2O3＝EO3，

∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On的半径为2n－1CO1，∵⊙O1的半径为1，∴⊙O10的半径长＝29，故答案为29.

13．解：(1)证明：连接OD，∵D是的中点，

∴＝.

∴∠BOD＝∠BAC，

∴OD∥AE.

∵DE⊥AC，

∴∠AED＝90°.

∴∠ODE＝90°.

∴OD⊥DE.

∴DE是⊙O的切线．

(2)过点O作OF⊥AC于点F，

∵AC＝10，

∴AF＝CF＝AC＝×10＝5.

∵∠OFE＝∠DEF＝∠ODE＝90°，

∴四边形OFED是矩形，

∴FE＝OD＝AB.

∵AB＝12，

∴FE＝6，

∴AE＝AF＋FE＝5＋6＝11.

14．解：(1)证明：连接AO，BO，∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，PA＝PB，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵∠AOP＝∠CAO＋∠ACO，∴∠ACO＝30°，∴∠ACO＝∠APO，∴AC＝AP，同理BC＝PB，∴AC＝BC＝BP＝AP，∴四边形ACBP是菱形．

(2)连接AB交PC于D，∴AD⊥PC，∵OA＝1，∠AOP＝60°，∴AD＝OA＝，∴PD＝，∴PC＝3，AB＝，∴菱形ACBP的面积＝AB·PC＝.

15．解：(1)相切，理由如下：连接OC，

∵C为的中点，∴＝，

∴∠1＝∠2.

∵∠3＝2∠1，∴∠3＝∠OAE，

∴OC∥AD.

∵CD⊥AD，

∴OC⊥CD.

∴CD是⊙O的切线．

(2)∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°.

∵AD⊥CD，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACB＝∠ADC.

∵∠1＝∠2，

∴△ABC∽△ACD，

∴＝，

∴AB＝＝＝3.

16．解：(1)连接BD，

∵B(，0)，C(0，3)，

∴OB＝，OC＝3，∴tan∠CBO＝＝，

∴∠CBO＝60°.

∵点D是△ABC的内心，∴BD平分∠CBO，

∴∠DBO＝30°，

∴tan∠DBO＝，∴OD＝1，

∴△ABC内切圆的半径为1.

(2)连接DF，过点F作FG⊥y轴于点G.

∵E(0，－1)，∴OE＝1，DE＝2.

∵直线EF与⊙D相切，∴∠DFE＝90°，DF＝1，

∴sin∠DEF＝＝，∴∠DEF＝30°，

∴∠GDF＝60°.

∴在Rt△DGF中，∠DFG＝30°，∴DG＝，

由勾股定理可求得GF＝，∴F(，)．

设直线EF的表达式为y＝kx＋b，

∴解得

∴直线EF的表达式为y＝x－1.

(3)∵⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，

∴该点必为△ABC外接圆的圆心．

由(1)可知，△ABC是等边三角形，

∴△ABC外接圆的圆心为点D，

∴DP＝2 .

设直线EF与x轴交于点H，

令y＝0，代入y＝x－1，

则x＝，

∴H(，0)，∴FH＝.

当P在x轴上方时，

过点P作PM⊥x轴于M，

由勾股定理可求得PF＝3 ，

∴PH＝PF＋FH＝.

∵∠DEF＝∠HPM＝30°，

∴HM＝PH＝，PM＝5，

∴OM＝2 ，∴P(2 ，5)．

当P在x轴下方时，

过点P作PN⊥x轴于点N，

由勾股定理可求得PF＝3 ，

∴PH＝PF－FH＝.

又∠DEF＝30°，∴∠OHE＝60°，

∴sin∠OHE＝，

∴PN＝4.

令y＝－4，代入y＝x－1，

∴x＝－，

∴P(－，－4)．

综上所述，若⊙P上存在一点到△ABC三个顶点的距离相等，则圆心P的坐标为(2 ，5)或(－，－4)．