人教版中考数学第一轮考点过关：第7单元图形与变换第29课时图形的相似课时训练

课时训练(二十九)图形的相似

一、选择题

1．已知2x＝3y(y≠0)，则下面结论成立的是(　　)

A.＝   B.＝    C.＝   D.＝

2．如图K29－1，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，若BD＝2AD，则(　　)

A.＝   B.＝    C.＝   D.＝

图K29－1              图K29－2                  图K29－3            图K29－4

3．如图K29－2，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形，若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的面积比为(　　)

A．4∶9    B．2∶5    C．2∶3    D.∶

4．[2017·永州]如图K29－3，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ADC的面积为1，则△BCD的面积为(　　)

A．1    B．2    C．3    D．4

5．宽与长的比是(约0.618)的矩形叫作黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感，我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD，BC的中点E，F，连接EF；以点F为圆心，以FD为半径画圆弧，交BC的延长线于点H.则图②中的矩形是黄金矩形的是(　　)

A．矩形ABFE    B．矩形EFCD   C．矩形EFHG    D．矩形DCHG

6．如图K29－5，在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(　　)

图K29－5                       图K29－6                     图K29－7            图K29－8

二、填空题

7．如图K29－7，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC＝________．

8．如图K29－8，△ABO三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是________．

三、解答题

9．如图K29－9，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知△ABC三个顶点分别为A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)．

(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；

(2)以原点O为位似中心，在x轴的上方画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，并求出△A2B2C2的面积．

图K29－9

10．如图K29－10，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．

(1)求证：△BDE∽△CEF；

(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.

                                                             图K29－10

11．州如图K29－11，若要在宽AD为20米的城南大道两边安装路灯，路灯的灯臂BC长2米，且与灯柱AB成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线CO与灯臂BC垂直，当灯罩的轴线CO通过公路路面的中心线时照明效果最好，此时，路灯的灯柱AB高应该设计为多少米(结果保留根号)?

                                                                     图K29－11

12．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

13．如图K29－12①，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OB＝OD，OC＝OA＋AB，AD＝m，BC＝n，∠ABD＋∠ADB＝∠ACB.

(1)填空：∠BAD与∠ACB的数量关系为________；      (2)求的值；

(3)将△ACD沿CD翻折，得到△A′CD(如图K29－12②)，连接BA′，与CD相交于点P.若CD＝，求PC的长．

                                                       图K29－12

参考答案

1．A　[解析] 根据等式的性质2，等式的两边同时乘以或者除以一个不为0的数或字母，等式依然成立．故在等式左右两边同时除以2y，可得＝，故选A.

2．B　[解析] ∵点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，∴＝，∵BD＝2AD，故＝＝.故选B.

3．A　[解析] 由位似的性质得，四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的位似比为2∶3，所以四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的面积比为4∶9.

4．C　[解析] ∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴＝，∴AB＝4，

∴＝()2，∴＝()2，∴S△ABC＝4，∴S△BCD＝S△ABC－S△ACD＝4－1＝3.

5．D　[解析] 设正方形ABCD的边长为2a，由E，F分别为正方形ABCD的边AD，BC的中点可知AE＝DE＝BF＝CF＝AB＝GH＝a，在Rt△DCF中，依据勾股定理可知DF＝＝＝a，即FH＝a.因为四边形CHGD是矩形，所以CH＝FH－FC＝(－1)a.分别计算选项A，B，C，D中四个矩形的宽与长的比，根据黄金矩形的概念即可判断．

6．C　[解析] A．阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；B.阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似；C.两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似；D.两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故选C.

7.　[解析] ∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE是三角形ABC的中位线，∴△ADE∽△ABC，

∴S△ADE∶S△ABC＝()2＝()2＝.

8．(1，2)　[解析] 根据位似变换的性质及位似比，可知A′的坐标为(1，2)．

9．解：(1)如图所示，△A1B1C1就是所求三角形；

(2)如图所示，△A2B2C2就是所求三角形．

如图，分别过点A2，C2作y轴的平行线，过点B2作x轴的平行线，交点分别为E，F，

∵A(－1，2)，B(2，1)，C(4，5)，△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2，

∴A2(－2，4)，B2(4，2)，C2(8，10)．

∴A2E＝2，C2F＝8，EF＝10，B2E＝6，B2F＝4，

∴S△A2B2C2＝×(2＋8)×10－×2×6－×4×8＝28.

10．证明：(1)∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠DEF＋∠CEF＝∠B＋∠BDE，∠DEF＝∠B，∴∠CEF＝∠BDE，∴△BDE∽△CEF；

(2)由(1)得：＝，

∵E是BC的中点，∴BE＝CE，

∴＝，即＝，

∵∠C＝∠DEF，∴△EDF∽△CEF，

∴∠CFE＝∠EFD，即FE平分∠DFC.

11．解：如图，延长OC，AB交于点P.

∵∠ABC＝120°，∴∠PBC＝60°.

∵∠OCB＝∠A＝90°，∴∠P＝30°.

∵AD＝20米，

∴OA＝AD＝10米．

∵BC＝2米，

∴在Rt△CPB中，PC＝BC·tan60°＝2 米，PB＝2BC＝4米．

∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠A，

∴△PCB∽△PAO，

∴＝，

∴PA＝＝＝10 (米)，

∴AB＝PA－PB＝(10 －4)米．

答：路灯的灯柱AB高应该设计为(10 －4)米．

12.或　[解析] ∠A＝∠A，分两种情况：①当＝时，△ADE∽△ABC，即＝，∴AE＝；②当＝时，△ADE∽△ACB，即＝，∴AE＝.综上所述，当AE＝或时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．

13．解：(1)由于∠ABD＋∠ADB＝∠ACB，所以∠BAD＋∠ACB＝∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°，故答案为：∠BAD＋∠ACB＝180°；

(2)作DE∥AB，交AC于点E，则∠DEA＝∠BAE，∠OBA＝∠ODE，

又∵OB＝OD，∴△OAB≌△OED(AAS)，

∴AB＝DE，OA＝OE，

设AB＝DE＝CE＝x，OA＝OE＝y，

∵∠EDA＋∠DAB＝180°，∴∠EDA＝∠ACB.

∵∠DEA＝∠EAB，∴△EAD∽△ABC，

∴＝＝＝，即＝，4y2＋2xy－x2＝0，

∴()2＋－1＝0，解得＝，

∴＝；

(3)由(2)知∠EDA＝∠ACB，ED＝EC，

∴∠EDC＝∠ECD，∴∠EDA＋∠EDC＝∠ACB＋∠ECD，

∴∠ADC＝∠BCD.

∵∠ADC＝∠A′DC，∴∠A′DC＝∠BCD，

∴A′D∥BC，∴△PA′D∽△PBC，

∴＝，∴＝＝.

又CD＝，∴PC＝1.