微专题三 函数—2021年《三步冲刺中考•数学》（广东专版）之第1步小题夯基础

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知识点1：直角坐标系
平面直角坐标系
（1）对应关系：坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
（2）坐标轴上的点：x轴，y轴上的点不属于任何象限.
2. 点的坐标特征
（1）各象限内点的坐标特征：
点P(x，y)在第一象限,即x>0，y>0；点P(x,y)在第二象限，即x<0,y>0；
点P(x，y)在第三象限，即x<0，y<0；点P(x,y)在第四象限，即x>0,y<0.
（2）坐标轴上点的特征：
x轴上点的纵坐标为0；y轴上点的横坐标为0；原点的坐标为(0,0).
（3）对称点的坐标特征:
点P(x,y)关于x轴的对称点为P1(x,-y)；点P(x,y)关于y轴的对称点为P2(-x,y);
点P(x,y)关于原点的对称点为P3(-x,-y).
（4）点的平移特征:将点P(x,y)向右(或左)平移a个单位长度后得P'(x+a,y)(或P'(x-a,y));
将点P(x,y)向上(或下)平移b个单位长度后得P″(x,y+b)(或P″(x,y-b)).
（5）点到坐标轴的距离:
点P(x,y)到x轴的距离为|y|；到y轴的距离为|x|.
知识点2：函数的认识
函数的有关概念
（1）变量与常量:在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量,数值始终不变的量为常量.
（2）函数的概念:一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x与y,并且对于x的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说x是自变量,y是x的函数.
（3）表示方法:解析式法、列表法、图象法.
（4）自变量的取值范围
① 解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数;
② 解析式是分式时,自变量的取值范围是分母不为0的实数;
③ 解析式是二次根式时,自变量的取值范围是被开方数大于等于0;
（5）函数值:对于一个函数,如果当x=a时,y=b,那么b叫做当自变量的值为a时的函数值.
2. 函数的图象
（1）函数图象的概念:一般地,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象.
（2）函数图象的画法:列表、描点、连线.
知识点3：一次函数与正比例函数
一次函数与正比例函数的定义
如果y=kx+b(k≠0),那么y叫x的一次函数,当b=0时,一次函数y=kx也叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例,具有一次函数的性质.
一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线.它可以由直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为,与y轴的交点为(0,b).
3.一次函数的图象与性质
4. 确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
（1）由题意设出函数的关系式;
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;
（3）解关于待定系数的方程或方程组,求出待定系数的值;
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
知识点4：反比例函数
反比例函数的定义
如果两个变量x,y之间的关系可以表示成(k为常数,且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.
反比例函数的图象和性质
（1）图象的特征:反比例函数的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.
（2）反比例函数(k≠0,k为常数)的图象和性质:
反比例函数的解析式的确定
求反比例函数的解析式跟求一次函数一样,也是待定系数法.
知识点5：二次函数
二次函数的定义
形如 y=ax2+bx+c (a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做x的二次函数.
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系
（1）二者的形状相同,位置不同,y=a(x-h)2+k是由y=ax2通过平移得来的,平移后的顶点坐标为(h,k).
右左
（2）y=ax2的图象
上下
y=a(x-h)2的图象
y=a(x-h)2+k的图象.
4. 二次函数的解析式的确定
要确定二次函数的解析式,就是要确定解析式中的待定系数(常数):
（1）当已知抛物线上任意三点时,通常将函数的解析式设为一般式:y=ax2+bx+c(a≠0);
（2）当已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时,通常将函数的解析式设为顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0).
5. 二次函数与一元二次方程的关系
二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点有三种情况:有两个交点、有一个交点、没有交点.当图象与x轴有交点时,令y=0,解方程ax2+bx+c=0就可求出与x轴交点的横坐标.
二次函数与不等式的关系
设抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于(x1,0),(x2,0)两点,其中x10的解集为x>x2或x函数
系数取值
大致
图象
经过的象限
函数性质
y=kx
(k≠0)
k>0
一、三
y随x增大而增大
k<0
二、四
y随x增大而减小
y=kx+b
(k≠0)
k>0
b>0
一、二、三
y随x增大而增大
k>0
b<0
一、三、四
k<0
b>0
一、二、四
y随x增大而减小
k<0
b<0
二、三、四
函数
图象
所在象限
性质
(k≠0,k为常数)
k>0
三象限
(x,y同号)
在每个象限内,y随x增大而减小
k<0
四象限
(x,y异号)
在每个象限内,y随x增大而增大
函数
二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
图象
a>0
a<0
性质
①当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸.
②对称轴是,顶点坐标是.
③在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而减小;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而增大,简记为左减右增.
④抛物线有最低点,当x=时,y有最小值,y最小值=.
①当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸.
②对称轴是,顶点坐标是.
③在对称轴的左侧,即当x<时,y随x的增大而增大;在对称轴的右侧,即当x>时,y随x的增大而减小,简记为左增右减.
④抛物线有最高点,当x=时,y有最大值,y最大值=.
Δ=b2-4ac
ax2+bx+c=0的根
抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点
Δ>0
两个不相等的实数根
两个交点
Δ=0
两个相等的实数根
一个交点
Δ<0
无实数根
无交点