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2018年高考考点完全题物理考点通关练：考点18 动能和动能定理 Word版含解析
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这是一份2018年高考考点完全题物理考点通关练：考点18 动能和动能定理 Word版含解析，共20页。试卷主要包含了基础与经典，真题与模拟等内容，欢迎下载使用。
考点18 动能和动能定理
考点名片
考点细研究：本考点的命题要点有：(1)动能及动能定理；(2)应用动能定理求解多过程问题；(3)应用动能定理求解多物体的运动问题。其中考查到的如：2016年全国卷Ⅲ第20题、2016年浙江高考第18题、2016年天津高考第10题、2016年四川高考第1题、2015年全国卷Ⅰ第17题、2015年海南高考第4题、2015年天津高考第10题、2015年山东高考第23题、2015年浙江高考第23题、2014年福建高考第21题、2014年大纲全国卷第19题、2014年北京高考第22题等。
备考正能量：本考点内容命题题型非常全面，既有选择题、 又有实验题、也有计算题，以中等试题难度为主。常以生产、科技发展为命题背景，可与动力学结合，也可以与电磁学结合考查。预计今后依然会延续这些特点。
一、基础与经典
1．NBA篮球赛非常精彩，吸引了众多观众。比赛中经常有这样的场面：在临终场0.1 s的时候，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的胜利。若运动员投篮过程中对篮球做功为W，出手高度为h1，篮筐的高度为h2，球的质量为m，空气阻力不计，则篮球进筐时的动能为( )
A．mgh1＋mgh2－W B．mgh2－mgh1－W
C．W＋mgh1－mgh2 D．W＋mgh2－mgh1
答案 C
解析 根据动能定理，球获得初动能Ek0的过程有W＝Ek0－0，球离开手到进筐时的过程有－mg(h2－h1)＝Ek－Ek0，得篮球进筐时的动能Ek＝W＋mgh1－mgh2，只有选项C正确。
2. 如图所示，质量为m的物块，在恒力F的作用下，沿光滑水平面运动，物块通过A点和B点的速度分别是vA和vB，物块由A运动到B点的过程中，力F对物块做的功W为( )
A．W>mv－mv
B．W＝mv－mv
C．W＝mv－mv
D．由于F的方向未知，W无法求出
答案 B
解析 对物块由动能定理得：W＝mv－mv，故选项B正确。
3. 质量为10 kg的物体，在变力F作用下沿x轴做直线运动，力随坐标x的变化情况如图所示。物体在x＝0处，速度为1 m/s，一切摩擦不计，则物体运动到x＝16 m处时，速度大小为( )
A．2 m/s B．3 m/s C．4 m/s D. m/s
答案 B
解析 根据力F随x变化关系图象与横轴所夹图形面积表示功知，力F做功W＝40 J＋20 J－20 J＝40 J。由动能定理，W＝mv2－mv，解得v＝3 m/s。选项B正确。
4. 如图所示，在光滑水平面上有一长木板，质量为M，在木板左端放一质量为m的物块，物块与木板间的滑动摩擦力为Ff，给物块一水平向右的恒力F，当物块相对木板滑动L距离时，木板运动位移为x，则下列说法正确的是( )
A．此时物块的动能为FL
B．此时物块的动能为(F－Ff)L
C．此时物块的动能为F(L＋x)－FfL
D．此时木板的动能为Ffx
答案 D
解析 考虑物块的动能，对物块列动能定理
(F－Ff)(L＋x)＝mv2－0，所以A、B、C错误，
对木板有：Ff·x＝Mv2－0，
故只有选项D正确。
5. 如图所示，质量为m的小球，从离地面H高处由静止释放，落到地面后继续陷入泥中h深度而停止，设小球受到空气阻力为f，则下列说法正确的是( )
A．小球落地时动能等于mgH
B．小球陷入泥中的过程中克服泥土阻力所做的功小于刚落到地面时的动能
C．整个过程中小球克服阻力做的功等于mg(H＋h)
D．小球在泥土中受到的平均阻力为mg(1＋H/h)
答案 C
解析 小球下落高度为H的过程中需要克服空气阻力做功，故其落地时的动能为(mg－f)H，选项A错误；设小球刚落地时的动能为Ek，小球在泥土中运动的过程中克服阻力做功为W1，由动能定理得mgh－W1＝0－Ek，解得W1＝mgh＋Ek，故选项B错误；若设全过程中小球克服阻力做功为W2，则mg(H＋h)－W2＝0，解得W2＝mg(H＋h)，故选项C正确；若设小球在泥土中运动时，受到的平均阻力为F阻，则全程由动能定理得mg(H＋h)－fH－F阻h＝0，解得F阻＝，故选项D错误。
6. 如图所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为s，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小车重力所做的功是mgh
B．合外力对小车做的功是mv2
C．推力对小车做的功是mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是Fs－mv2－mgh
答案 B
解析 小车重力所做的功为－mgh，A错误。由动能定理得合外力对小车做的功W＝mv2，B正确。根据动能定理Fs－mgh＋Wf＝mv2，其中Wf为负值，推力对小车做的功大于mv2＋mgh，C错误。阻力对小车做的功为－，故D错误。
7. (多选)一足够长的水平传送带以恒定速率v运动，将一质量为m的物体(视为质点)轻放到传送带左端，则物体从左端运动到右端的过程中，下列说法正确的是( )
A．全过程中传送带对物体做功为mv2
B．全过程中物体对传送带做功为－mv2
C．物体加速阶段摩擦力对物体做功的功率逐渐增大
D．物体加速阶段摩擦力对传送带做功的功率恒定不变
答案 ACD
解析 物体从左端运动到右端的过程中，速率从零增大到v，根据动能定理知传送带对物体做的功为mv2，选项A正确；物体在传送带上先做初速度为零的匀加速直线运动，后做匀速直线运动到右端，则物体相对传送带滑动过程的位移大小s1＝t，对应的时间内传送带的位移大小s2＝vt，得s2＝2s1，全过程中物体对传送带做功为－fs2＝－f·2s1＝－mv2，选项B错误；物体加速阶段摩擦力对物体做功的功率P′＝f·at′，即P′逐渐增大，选项C正确；物体加速阶段摩擦力对传送带做功的功率P＝－fv，即P恒定不变，选项D正确。
8．(多选)汽车沿平直的公路以恒定功率P启动，经过一段时间t达到最大速度v，若所受阻力f始终不变，则在t这段时间内( )
A．汽车牵引力恒定
B．汽车牵引力做的功为Pt
C．汽车加速度不断减小
D．汽车牵引力做的功为mv2
答案 BC
解析 根据P＝Fv知，速度不断增大，则牵引力不断减小，根据牛顿第二定律得a＝，可知加速度不断减小，选项A错误，C正确；因功率P恒定，牵引力做功W＝Pt，选项B正确；根据动能定理有W－fs＝mv2－0，得W>mv2，选项D错误。
9. (多选)如图所示，斜面AB和水平面BC是由同一板材上截下的两段，在B处用小圆弧连接。将小铁块(可视为质点)从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行，进入平面，最终静止于P处。若从该板材上再截下一段，搁置在A、P之间，构成一个新的斜面，再将铁块放回A处，并轻推一下使之沿新斜面向下滑动。关于此情况下铁块的运动情况，下列描述正确的是( )
A．铁块一定能够到达P点
B．铁块的初速度必须足够大才能到达P点
C．铁块能否到达P点与铁块质量有关
D．铁块能否到达P点与铁块质量无关
答案 AD
解析 设A距离地面的高度为h，动摩擦因数为μ，对全过程运用动能定理有mgh－μmgcosθ·sAB－μmgsBP＝0，得mgh－μmg(sABcosθ＋sBP)＝0，而sABcosθ＋sBP＝，即h－μ ＝0，铁块在新斜面上有mgsinα－μmgcosα＝ma，由几何关系有sinα－μcosα＝＝0，可知a＝0，铁块在新斜面上做匀速运动，与铁块的质量m无关，铁块一定能够到达P点，选项A、D正确，B、C错误。
10.(多选)如图所示，用竖直向下的恒力F通过跨过光滑定滑轮的细线拉动放在光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A、B、C三点，设AB＝BC，物体经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则它们间的关系是( )
A．EkB－EkA＝EkC－EkB
B．EkB－EkA
D．EkC<2EkB
答案 CD
解析 由动能定理得EkB－EkA＝WAB，EkC－EkB＝WBC，物体所受的合外力做的功为拉力的水平分力所做的功。由几何关系可知，从A运动到B的过程中拉力在水平方向的平均分力大小大于从B到C过程中拉力在水平方向的平均分力大小，因此WAB>WBC，选项A、B错误，C、D正确。
二、真题与模拟
11．2016·四川高考]韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1900 J，他克服阻力做功100 J。韩晓鹏在此过程中( )
A．动能增加了1900 J B．动能增加了2000 J
C．重力势能减小了1900 J D．重力势能减小了2000 J
答案 C
解析 由动能定理可知，ΔEk＝1900 J－100 J＝1800 J，故A、B均错误。重力势能的减少量等于重力做的功，故C正确、D错误。
12．2016·浙江高考](多选)如图所示为一滑草场。某条滑道由上、下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ。质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。则( )
A．动摩擦因数μ＝
B．载人滑草车最大速度为
C．载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g
答案 AB
解析 滑草车受力分析如图所示，在B点处有最大速度v，在上、下两段所受摩擦力大小分别为f1、f2，
f1＝μmgcos45°，
f2＝μmgcos37°，
整个过程由动能定理列方程：
mg·2h－f1·－f2·＝0①
解得：μ＝，A项正确。
滑草车在上段滑道运动过程由动能定理列方程：
mgh－f1·＝mv2②
解得：v＝，B项正确。
由①式知：Wf＝2mgh，C项错误。
在下段滑道上：mgsin37°－μmgcos37°＝ma2，
解得：a2＝－g，故D项错误。
13．2016·全国卷Ⅲ] (多选)如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为g。设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( )
A．a＝ B．a＝
C．N＝ D．N＝
答案 AC
解析 设质点在最低点的速度为v，根据动能定理，mgR－W＝mv2，在最低点，向心加速度a＝＝，A正确，B错误；根据牛顿第二定律，N－mg＝ma，则N＝mg＋ma＝，C正确，D错误。
14. 2015·全国卷Ⅰ]如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则( )
A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点
B．W>mgR，质点不能到达Q点
C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
D．W
解析 根据质点滑到轨道最低点N时，对轨道压力为4mg，利用牛顿第三定律可知，轨道对质点的支持力为4mg。在最低点，由牛顿第二定律得，4mg－mg＝m，解得质点滑到最低点的速度v＝。对质点从开始下落到滑到最低点的过程，由动能定理得，2mgR－W＝mv2，解得W＝mgR。质点运动过程中，半径方向的合力提供向心力，即FN－mgsinθ＝m，根据左右对称，在同一高度，由于摩擦力做功会导致右半边的速度小，轨道弹力变小，滑动摩擦力f＝μFN变小，所以摩擦力做功变小，那么对质点由最低点继续上滑的过程，到达Q点时克服摩擦力做功W′要小于W＝mgR。由此可知，质点到达Q点后，可继续上升一段距离，选项C正确，选项A、B、D错误。
15．2015·四川高考]在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面上时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
答案 A
解析 三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，三个小球从同一位置落至同一水平地面时，设其下落高度为h，小球质量为m。根据动能定理可知mgh＝mv－mv，得v末＝，又三个小球的初速度大小以及高度相等，则落地时的速度大小相等，A项正确。
16．2015·海南高考] 如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR C.mgR D.mgR
答案 C
解析 质点在轨道最低点时受重力和支持力，根据牛顿第三定律可知，支持力FN＝2mg。如图所示，FN－mg＝m，得v＝。对质点的下滑过程应用动能定理，mgR－W＝mv2，得W＝mgR，C正确。
17．2014·大纲卷] 一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为时，上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为( )
A．tanθ和 B.tanθ和
C．tanθ和 D.tanθ和
答案 D
解析 由动能定理有－mgH－μmgcosθ＝0－mv2，－mgh－μmgcosθ＝0－m2，解得μ＝tanθ，h＝，D正确。
18．2017·福建闽粤联合体联考](多选)一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端。已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为。若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则有( )
A．返回斜面底端时的动能为E
B．返回斜面底端时的动能为
C．返回斜面底端时的速度大小为2v
D．返回斜面底端时的速度大小为v
答案 AD
解析 以初动能E冲上斜面并返回的整个过程中运用动能定理得mv2－E＝－ ①，设以初动能E冲上斜面的初速度为v0，则以初动能2E冲上斜面时，初速度为v0，加速度相同，根据2ax＝0－v可知第二次冲上斜面的位移是第一次的两倍，所以上升过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，整个过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E。以初动能2E冲上斜面并返回的整个过程中运用动能定理得mv′2－2E＝－E ②，所以返回斜面底端时的动能为E，A正确，B错误。由①②得v′＝v，C错误，D正确。
19．2016·东北师大附中质检] (多选)在未知方向的恒力F作用下，一质量为1.0 kg的物体以一定的初速度在光滑水平面做直线运动，物体的动能Ek随位移x变化的关系如图所示。(g取10 m/s2)由上述已知条件，可求出( )
A．力F的最小值为2.5 N
B．力F不可能大于10 N
C．物体运动过程中加速度大小不断发生变化
D．物体在运动过程中在任意位置力F的功率
答案 AD
解析 根据动能定理得Fxcosθ＝Ek－Ek0，则Ek＝Ek0＋Fxcosθ；结合图象有Ek＝50－2.5x(J)，得Fcosθ＝－2.5 N，故F有最小值2.5 N，A正确，B错误；由a＝＝－2.5 m/s2，则加速度大小恒定，C错误；力F的功率PF＝Fvcosθ＝－2.5v(W)，由图象可得任意位置的动能，从而可得速度，故任意位置力F的功率可求，D正确。
20．2016·江西师大附中期末]如图所示，水平面的右端与固定的斜面平滑连接于O点，设物块经过O点时无动能损失，物块与水平面及斜面之间的动摩擦因数处处相等，物块从水平面上的M点以某一初速度向右滑动，滑上斜面的最高点P，P点距O点的水平距离为x1，竖直距离为h1。如果其他条件不变，减小斜面的倾角，物块滑到斜面的最高点为Q，Q点距O点的水平距离为x2，竖直距离为h2，下列判断正确的是( )
A．x1＝x2 B．x1>x2 C．h1＝h2 D．h1>h2
答案 D
解析 设物块经过O点时的速度为v，任一斜面的倾角为α，在斜面上上升的竖直高度为h，水平距离为x；根据动能定理得－mgh－μmgcosα·＝0－mv2，则得h＝，v相同，α越大时，tanα越大，则h越大，h1>h2，选项C错误，选项D正确；水平距离x＝＝，知α越大时，tanα越大，则x越小，x1
一、基础与经典
21．一辆质量为2吨的汽车由静止开始沿一倾角为30°的足够长斜坡向上运动，汽车发动机的功率保持48 kW不变，行驶120 m后达到最大速度。已知汽车受到地面的摩擦力为2000 N，g取10 m/s2，求：
(1)汽车可以达到的最大速度；
(2)汽车达到最大速度所用的时间(结果保留一位小数)。
答案 (1)4 m/s (2)30.3 s
解析 (1)汽车运动所受的阻力为F阻＝mgsinθ＋f＝1.2×104 N，汽车速度最大时有F＝F阻＝1.2×104 N，由P＝Fv解得v＝4 m/s。
(2)对全过程应用动能定理有Pt－(mgsinθ＋f)s＝mv2，解得t＝30.3 s。
二、真题与模拟
22．2015·浙江高考] 如图所示，用一块长L1＝1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H＝0.8 m，长L2＝1.5 m。斜面与水平桌面的夹角θ可在0～60°间调节后固定。将质量m＝0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取g＝10 m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(1)求θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)
(2)当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
(3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离xm。
答案 (1)tanθ≥0.05 (2)0.8 (3)1.9 m
解析 (1)为使小物块下滑，mgsinθ≥μ1mgcosθ
θ满足的条件：tanθ≥0.05，即当θ＝arctan0.05时物块从斜面开始下滑。
(2)克服摩擦力做功Wf＝μ1mgL1cosθ＋μ2mg(L2－L1cosθ)，
由动能定理得mgL1sinθ－Wf＝0，代入数据得μ2＝0.8。
(3)由动能定理得mgL1sinθ－Wf＝mv2，
代入数据得v＝1 m/s，H＝gt2，t＝0.4 s，x1＝vt，x1＝0.4 m，xm＝x1＋L2＝1.9 m。
23．2016·天津高考]我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m＝60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530 J，取g＝10 m/s2。
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。
答案 (1)144 N (2)12.5 m
解析 (1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有v＝2ax ①
由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma②
联立①②式，代入数据解得Ff＝144 N③
(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理有
mgh＋W＝mv－mv④
设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有
FN－mg＝m⑤
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5 m。
24．2014·福建高考]如图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切。点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面。一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力。
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程中轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h。提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m
答案 (1) －(mgH－2mgR) (2)R
解析 (1)游客从B点做平抛运动，有
2R＝vBt①
R＝gt2②
由①②式得
vB＝③
从A到B过程根据动能定理，有
mg(H－R)＋Wf＝mv－0④
由③④式得
Wf＝－(mgH－2mgR)⑤
(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为FN，从B到P由动能定理，有
mg(R－Rcosθ)＝mv－0⑥
过P点时，根据向心力公式，有
mgcosθ－FN＝m⑦
FN＝0⑧
cosθ＝⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得
h＝R。
25．2016·北京海淀高三期中]建筑工程中的“打桩”是利用重锤的冲击克服泥土对桩柱的阻力，使桩柱插入泥土到达预定深度的过程。如图甲所示，设打桩机重锤的质量为m，桩柱的质量为M。打桩过程可简化如下：桩柱下端开始时在地表面没有进入泥土，提升重锤到距离桩柱上端h高度后使其自由落下，重锤撞击桩柱上端，经极短时间的撞击使两者以共同的速度一起向下移动一段距离后停止。然后再次提升重锤，重复打桩过程，逐渐把桩柱打到预定深度。设桩柱向下移动的过程中泥土对桩柱的阻力f的大小与桩柱打入泥土中的深度x成正比，其函数表达式f＝kx(k为大于0的常量，具体值未知)，fx图象如图乙所示。已知重力加速度大小为g。
(1)求重锤与桩柱第一次碰撞后瞬间的共同速度大小；
(2)图象法和比较法是研究物理问题的重要方法，例如从教科书中我们明白了由vt图象求直线运动位移的思想
和方法，请你借鉴此方法，根据图示的fx图象结合函数式f＝kx，分析推导在第一次打桩将桩柱打入泥土的过程中阻力所做的功与桩柱打入泥土深度的关系式；并将泥土对桩柱的阻力与你熟悉的弹簧弹力进行比较，从做功与能量转化的角度简要说明泥土对桩柱的阻力做功和弹簧弹力做功的不同；
(3)若重锤与桩柱第一次的撞击能把桩柱打入泥土中的深度为d，试求常量k的大小。
答案 (1) (2)W＝－kx2 见解析
(3)＋
解析 (1)设重锤落到桩柱上端时的速度为v0，对于重锤下落的过程，根据机械能守恒定律有mv＝mgh，解得：v0＝，重锤与桩柱相互作用过程极为短暂，冲击力远大于它们所受的重力，重锤与桩柱组成的系统，沿竖直方向动量守恒，设二者碰撞后共同运动的速度为v1，根据动量守恒定律有：mv0＝(M＋m)v1，解得：v1＝＝。
(2)由直线运动的vt图象与横坐标轴所围的“面积”表示位移，比较阻力随深度变化的fx图象可知，fx图象与横坐标轴所围成的三角形的“面积”表示阻力功的大小：x＝kx2，阻力对桩柱做负功，所以W＝－kx2。由题可知：弹簧弹力的大小和泥土对桩柱的阻力大小变化的规律一样，都是大小与位移成正比。但是弹簧弹力做的功会使物体减少的机械能以弹性势能的形式存储起来，是不同形式的机械能之间的转化；而泥土对桩柱做的功会使物体减少的机械能都转化成了内能，是机械能转化为其他形式能的过程。泥土阻力一定做负功，弹簧弹力可以做正功，也可以做负功。
(3)对于第一次碰撞后获得共同速度到进入泥土深度为d的过程，
根据动能定理有(M＋m)gd－kd2＝0－(M＋m)v，
可解得：k＝＋。
考点18 动能和动能定理
考点名片
考点细研究：本考点的命题要点有：(1)动能及动能定理；(2)应用动能定理求解多过程问题；(3)应用动能定理求解多物体的运动问题。其中考查到的如：2016年全国卷Ⅲ第20题、2016年浙江高考第18题、2016年天津高考第10题、2016年四川高考第1题、2015年全国卷Ⅰ第17题、2015年海南高考第4题、2015年天津高考第10题、2015年山东高考第23题、2015年浙江高考第23题、2014年福建高考第21题、2014年大纲全国卷第19题、2014年北京高考第22题等。
备考正能量：本考点内容命题题型非常全面，既有选择题、 又有实验题、也有计算题，以中等试题难度为主。常以生产、科技发展为命题背景，可与动力学结合，也可以与电磁学结合考查。预计今后依然会延续这些特点。
一、基础与经典
1．NBA篮球赛非常精彩，吸引了众多观众。比赛中经常有这样的场面：在临终场0.1 s的时候，运动员把球投出且准确命中，获得比赛的胜利。若运动员投篮过程中对篮球做功为W，出手高度为h1，篮筐的高度为h2，球的质量为m，空气阻力不计，则篮球进筐时的动能为( )
A．mgh1＋mgh2－W B．mgh2－mgh1－W
C．W＋mgh1－mgh2 D．W＋mgh2－mgh1
答案 C
解析 根据动能定理，球获得初动能Ek0的过程有W＝Ek0－0，球离开手到进筐时的过程有－mg(h2－h1)＝Ek－Ek0，得篮球进筐时的动能Ek＝W＋mgh1－mgh2，只有选项C正确。
2. 如图所示，质量为m的物块，在恒力F的作用下，沿光滑水平面运动，物块通过A点和B点的速度分别是vA和vB，物块由A运动到B点的过程中，力F对物块做的功W为( )
A．W>mv－mv
B．W＝mv－mv
C．W＝mv－mv
D．由于F的方向未知，W无法求出
答案 B
解析 对物块由动能定理得：W＝mv－mv，故选项B正确。
3. 质量为10 kg的物体，在变力F作用下沿x轴做直线运动，力随坐标x的变化情况如图所示。物体在x＝0处，速度为1 m/s，一切摩擦不计，则物体运动到x＝16 m处时，速度大小为( )
A．2 m/s B．3 m/s C．4 m/s D. m/s
答案 B
解析 根据力F随x变化关系图象与横轴所夹图形面积表示功知，力F做功W＝40 J＋20 J－20 J＝40 J。由动能定理，W＝mv2－mv，解得v＝3 m/s。选项B正确。
4. 如图所示，在光滑水平面上有一长木板，质量为M，在木板左端放一质量为m的物块，物块与木板间的滑动摩擦力为Ff，给物块一水平向右的恒力F，当物块相对木板滑动L距离时，木板运动位移为x，则下列说法正确的是( )
A．此时物块的动能为FL
B．此时物块的动能为(F－Ff)L
C．此时物块的动能为F(L＋x)－FfL
D．此时木板的动能为Ffx
答案 D
解析 考虑物块的动能，对物块列动能定理
(F－Ff)(L＋x)＝mv2－0，所以A、B、C错误，
对木板有：Ff·x＝Mv2－0，
故只有选项D正确。
5. 如图所示，质量为m的小球，从离地面H高处由静止释放，落到地面后继续陷入泥中h深度而停止，设小球受到空气阻力为f，则下列说法正确的是( )
A．小球落地时动能等于mgH
B．小球陷入泥中的过程中克服泥土阻力所做的功小于刚落到地面时的动能
C．整个过程中小球克服阻力做的功等于mg(H＋h)
D．小球在泥土中受到的平均阻力为mg(1＋H/h)
答案 C
解析 小球下落高度为H的过程中需要克服空气阻力做功，故其落地时的动能为(mg－f)H，选项A错误；设小球刚落地时的动能为Ek，小球在泥土中运动的过程中克服阻力做功为W1，由动能定理得mgh－W1＝0－Ek，解得W1＝mgh＋Ek，故选项B错误；若设全过程中小球克服阻力做功为W2，则mg(H＋h)－W2＝0，解得W2＝mg(H＋h)，故选项C正确；若设小球在泥土中运动时，受到的平均阻力为F阻，则全程由动能定理得mg(H＋h)－fH－F阻h＝0，解得F阻＝，故选项D错误。
6. 如图所示，质量为m的小车在水平恒力F推动下，从山坡(粗糙)底部A处由静止起运动至高为h的坡顶B，获得的速度为v，A、B之间的水平距离为s，重力加速度为g。下列说法正确的是( )
A．小车重力所做的功是mgh
B．合外力对小车做的功是mv2
C．推力对小车做的功是mv2＋mgh
D．阻力对小车做的功是Fs－mv2－mgh
答案 B
解析 小车重力所做的功为－mgh，A错误。由动能定理得合外力对小车做的功W＝mv2，B正确。根据动能定理Fs－mgh＋Wf＝mv2，其中Wf为负值，推力对小车做的功大于mv2＋mgh，C错误。阻力对小车做的功为－，故D错误。
7. (多选)一足够长的水平传送带以恒定速率v运动，将一质量为m的物体(视为质点)轻放到传送带左端，则物体从左端运动到右端的过程中，下列说法正确的是( )
A．全过程中传送带对物体做功为mv2
B．全过程中物体对传送带做功为－mv2
C．物体加速阶段摩擦力对物体做功的功率逐渐增大
D．物体加速阶段摩擦力对传送带做功的功率恒定不变
答案 ACD
解析 物体从左端运动到右端的过程中，速率从零增大到v，根据动能定理知传送带对物体做的功为mv2，选项A正确；物体在传送带上先做初速度为零的匀加速直线运动，后做匀速直线运动到右端，则物体相对传送带滑动过程的位移大小s1＝t，对应的时间内传送带的位移大小s2＝vt，得s2＝2s1，全过程中物体对传送带做功为－fs2＝－f·2s1＝－mv2，选项B错误；物体加速阶段摩擦力对物体做功的功率P′＝f·at′，即P′逐渐增大，选项C正确；物体加速阶段摩擦力对传送带做功的功率P＝－fv，即P恒定不变，选项D正确。
8．(多选)汽车沿平直的公路以恒定功率P启动，经过一段时间t达到最大速度v，若所受阻力f始终不变，则在t这段时间内( )
A．汽车牵引力恒定
B．汽车牵引力做的功为Pt
C．汽车加速度不断减小
D．汽车牵引力做的功为mv2
答案 BC
解析 根据P＝Fv知，速度不断增大，则牵引力不断减小，根据牛顿第二定律得a＝，可知加速度不断减小，选项A错误，C正确；因功率P恒定，牵引力做功W＝Pt，选项B正确；根据动能定理有W－fs＝mv2－0，得W>mv2，选项D错误。
9. (多选)如图所示，斜面AB和水平面BC是由同一板材上截下的两段，在B处用小圆弧连接。将小铁块(可视为质点)从A处由静止释放后，它沿斜面向下滑行，进入平面，最终静止于P处。若从该板材上再截下一段，搁置在A、P之间，构成一个新的斜面，再将铁块放回A处，并轻推一下使之沿新斜面向下滑动。关于此情况下铁块的运动情况，下列描述正确的是( )
A．铁块一定能够到达P点
B．铁块的初速度必须足够大才能到达P点
C．铁块能否到达P点与铁块质量有关
D．铁块能否到达P点与铁块质量无关
答案 AD
解析 设A距离地面的高度为h，动摩擦因数为μ，对全过程运用动能定理有mgh－μmgcosθ·sAB－μmgsBP＝0，得mgh－μmg(sABcosθ＋sBP)＝0，而sABcosθ＋sBP＝，即h－μ ＝0，铁块在新斜面上有mgsinα－μmgcosα＝ma，由几何关系有sinα－μcosα＝＝0，可知a＝0，铁块在新斜面上做匀速运动，与铁块的质量m无关，铁块一定能够到达P点，选项A、D正确，B、C错误。
10.(多选)如图所示，用竖直向下的恒力F通过跨过光滑定滑轮的细线拉动放在光滑水平面上的物体，物体沿水平面移动过程中经过A、B、C三点，设AB＝BC，物体经过A、B、C三点时的动能分别为EkA、EkB、EkC，则它们间的关系是( )
A．EkB－EkA＝EkC－EkB
B．EkB－EkA
D．EkC<2EkB
答案 CD
解析 由动能定理得EkB－EkA＝WAB，EkC－EkB＝WBC，物体所受的合外力做的功为拉力的水平分力所做的功。由几何关系可知，从A运动到B的过程中拉力在水平方向的平均分力大小大于从B到C过程中拉力在水平方向的平均分力大小，因此WAB>WBC，选项A、B错误，C、D正确。
二、真题与模拟
11．2016·四川高考]韩晓鹏是我国首位在冬奥会雪上项目夺冠的运动员。他在一次自由式滑雪空中技巧比赛中沿“助滑区”保持同一姿态下滑了一段距离，重力对他做功1900 J，他克服阻力做功100 J。韩晓鹏在此过程中( )
A．动能增加了1900 J B．动能增加了2000 J
C．重力势能减小了1900 J D．重力势能减小了2000 J
答案 C
解析 由动能定理可知，ΔEk＝1900 J－100 J＝1800 J，故A、B均错误。重力势能的减少量等于重力做的功，故C正确、D错误。
12．2016·浙江高考](多选)如图所示为一滑草场。某条滑道由上、下两段高均为h，与水平面倾角分别为45°和37°的滑道组成，滑草车与草地之间的动摩擦因数为μ。质量为m的载人滑草车从坡顶由静止开始自由下滑，经过上、下两段滑道后，最后恰好静止于滑道的底端(不计滑草车在两段滑道交接处的能量损失，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。则( )
A．动摩擦因数μ＝
B．载人滑草车最大速度为
C．载人滑草车克服摩擦力做功为mgh
D．载人滑草车在下段滑道上的加速度大小为g
答案 AB
解析 滑草车受力分析如图所示，在B点处有最大速度v，在上、下两段所受摩擦力大小分别为f1、f2，
f1＝μmgcos45°，
f2＝μmgcos37°，
整个过程由动能定理列方程：
mg·2h－f1·－f2·＝0①
解得：μ＝，A项正确。
滑草车在上段滑道运动过程由动能定理列方程：
mgh－f1·＝mv2②
解得：v＝，B项正确。
由①式知：Wf＝2mgh，C项错误。
在下段滑道上：mgsin37°－μmgcos37°＝ma2，
解得：a2＝－g，故D项错误。
13．2016·全国卷Ⅲ] (多选)如图，一固定容器的内壁是半径为R的半球面；在半球面水平直径的一端有一质量为m的质点P。它在容器内壁由静止下滑到最低点的过程中，克服摩擦力做的功为W。重力加速度大小为g。设质点P在最低点时，向心加速度的大小为a，容器对它的支持力大小为N，则( )
A．a＝ B．a＝
C．N＝ D．N＝
答案 AC
解析 设质点在最低点的速度为v，根据动能定理，mgR－W＝mv2，在最低点，向心加速度a＝＝，A正确，B错误；根据牛顿第二定律，N－mg＝ma，则N＝mg＋ma＝，C正确，D错误。
14. 2015·全国卷Ⅰ]如图，一半径为R、粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定放置，直径POQ水平。一质量为m的质点自P点上方高度R处由静止开始下落，恰好从P点进入轨道。质点滑到轨道最低点N时，对轨道的压力为4mg，g为重力加速度的大小。用W表示质点从P点运动到N点的过程中克服摩擦力所做的功。则( )
A．W＝mgR，质点恰好可以到达Q点
B．W>mgR，质点不能到达Q点
C．W＝mgR，质点到达Q点后，继续上升一段距离
D．W
解析 根据质点滑到轨道最低点N时，对轨道压力为4mg，利用牛顿第三定律可知，轨道对质点的支持力为4mg。在最低点，由牛顿第二定律得，4mg－mg＝m，解得质点滑到最低点的速度v＝。对质点从开始下落到滑到最低点的过程，由动能定理得，2mgR－W＝mv2，解得W＝mgR。质点运动过程中，半径方向的合力提供向心力，即FN－mgsinθ＝m，根据左右对称，在同一高度，由于摩擦力做功会导致右半边的速度小，轨道弹力变小，滑动摩擦力f＝μFN变小，所以摩擦力做功变小，那么对质点由最低点继续上滑的过程，到达Q点时克服摩擦力做功W′要小于W＝mgR。由此可知，质点到达Q点后，可继续上升一段距离，选项C正确，选项A、B、D错误。
15．2015·四川高考]在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出，不计空气阻力，则落在同一水平地面上时的速度大小( )
A．一样大 B．水平抛的最大
C．斜向上抛的最大 D．斜向下抛的最大
答案 A
解析 三个小球被抛出后，均仅在重力作用下运动，三个小球从同一位置落至同一水平地面时，设其下落高度为h，小球质量为m。根据动能定理可知mgh＝mv－mv，得v末＝，又三个小球的初速度大小以及高度相等，则落地时的速度大小相等，A项正确。
16．2015·海南高考] 如图所示，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P由静止开始滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，克服摩擦力所做的功为( )
A.mgR B.mgR C.mgR D.mgR
答案 C
解析 质点在轨道最低点时受重力和支持力，根据牛顿第三定律可知，支持力FN＝2mg。如图所示，FN－mg＝m，得v＝。对质点的下滑过程应用动能定理，mgR－W＝mv2，得W＝mgR，C正确。
17．2014·大纲卷] 一物块沿倾角为θ的斜坡向上滑动。当物块的初速度为v时，上升的最大高度为H，如图所示；当物块的初速度为时，上升的最大高度记为h。重力加速度大小为g。物块与斜坡间的动摩擦因数和h分别为( )
A．tanθ和 B.tanθ和
C．tanθ和 D.tanθ和
答案 D
解析 由动能定理有－mgH－μmgcosθ＝0－mv2，－mgh－μmgcosθ＝0－m2，解得μ＝tanθ，h＝，D正确。
18．2017·福建闽粤联合体联考](多选)一个小物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端。已知小物块的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为。若小物块冲上斜面的初动能变为2E，则有( )
A．返回斜面底端时的动能为E
B．返回斜面底端时的动能为
C．返回斜面底端时的速度大小为2v
D．返回斜面底端时的速度大小为v
答案 AD
解析 以初动能E冲上斜面并返回的整个过程中运用动能定理得mv2－E＝－ ①，设以初动能E冲上斜面的初速度为v0，则以初动能2E冲上斜面时，初速度为v0，加速度相同，根据2ax＝0－v可知第二次冲上斜面的位移是第一次的两倍，所以上升过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，整个过程中克服摩擦力做功是第一次的两倍，即为E。以初动能2E冲上斜面并返回的整个过程中运用动能定理得mv′2－2E＝－E ②，所以返回斜面底端时的动能为E，A正确，B错误。由①②得v′＝v，C错误，D正确。
19．2016·东北师大附中质检] (多选)在未知方向的恒力F作用下，一质量为1.0 kg的物体以一定的初速度在光滑水平面做直线运动，物体的动能Ek随位移x变化的关系如图所示。(g取10 m/s2)由上述已知条件，可求出( )
A．力F的最小值为2.5 N
B．力F不可能大于10 N
C．物体运动过程中加速度大小不断发生变化
D．物体在运动过程中在任意位置力F的功率
答案 AD
解析 根据动能定理得Fxcosθ＝Ek－Ek0，则Ek＝Ek0＋Fxcosθ；结合图象有Ek＝50－2.5x(J)，得Fcosθ＝－2.5 N，故F有最小值2.5 N，A正确，B错误；由a＝＝－2.5 m/s2，则加速度大小恒定，C错误；力F的功率PF＝Fvcosθ＝－2.5v(W)，由图象可得任意位置的动能，从而可得速度，故任意位置力F的功率可求，D正确。
20．2016·江西师大附中期末]如图所示，水平面的右端与固定的斜面平滑连接于O点，设物块经过O点时无动能损失，物块与水平面及斜面之间的动摩擦因数处处相等，物块从水平面上的M点以某一初速度向右滑动，滑上斜面的最高点P，P点距O点的水平距离为x1，竖直距离为h1。如果其他条件不变，减小斜面的倾角，物块滑到斜面的最高点为Q，Q点距O点的水平距离为x2，竖直距离为h2，下列判断正确的是( )
A．x1＝x2 B．x1>x2 C．h1＝h2 D．h1>h2
答案 D
解析 设物块经过O点时的速度为v，任一斜面的倾角为α，在斜面上上升的竖直高度为h，水平距离为x；根据动能定理得－mgh－μmgcosα·＝0－mv2，则得h＝，v相同，α越大时，tanα越大，则h越大，h1>h2，选项C错误，选项D正确；水平距离x＝＝，知α越大时，tanα越大，则x越小，x1
一、基础与经典
21．一辆质量为2吨的汽车由静止开始沿一倾角为30°的足够长斜坡向上运动，汽车发动机的功率保持48 kW不变，行驶120 m后达到最大速度。已知汽车受到地面的摩擦力为2000 N，g取10 m/s2，求：
(1)汽车可以达到的最大速度；
(2)汽车达到最大速度所用的时间(结果保留一位小数)。
答案 (1)4 m/s (2)30.3 s
解析 (1)汽车运动所受的阻力为F阻＝mgsinθ＋f＝1.2×104 N，汽车速度最大时有F＝F阻＝1.2×104 N，由P＝Fv解得v＝4 m/s。
(2)对全过程应用动能定理有Pt－(mgsinθ＋f)s＝mv2，解得t＝30.3 s。
二、真题与模拟
22．2015·浙江高考] 如图所示，用一块长L1＝1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H＝0.8 m，长L2＝1.5 m。斜面与水平桌面的夹角θ可在0～60°间调节后固定。将质量m＝0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与斜面间的动摩擦因数μ1＝0.05，物块与桌面间的动摩擦因数为μ2，忽略物块在斜面与桌面交接处的能量损失。(重力加速度取g＝10 m/s2；最大静摩擦力等于滑动摩擦力)
(1)求θ角增大到多少时，物块能从斜面开始下滑；(用正切值表示)
(2)当θ角增大到37°时，物块恰能停在桌面边缘，求物块与桌面间的动摩擦因数μ2；(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)
(3)继续增大θ角，发现θ＝53°时物块落地点与墙面的距离最大，求此最大距离xm。
答案 (1)tanθ≥0.05 (2)0.8 (3)1.9 m
解析 (1)为使小物块下滑，mgsinθ≥μ1mgcosθ
θ满足的条件：tanθ≥0.05，即当θ＝arctan0.05时物块从斜面开始下滑。
(2)克服摩擦力做功Wf＝μ1mgL1cosθ＋μ2mg(L2－L1cosθ)，
由动能定理得mgL1sinθ－Wf＝0，代入数据得μ2＝0.8。
(3)由动能定理得mgL1sinθ－Wf＝mv2，
代入数据得v＝1 m/s，H＝gt2，t＝0.4 s，x1＝vt，x1＝0.4 m，xm＝x1＋L2＝1.9 m。
23．2016·天津高考]我国将于2022年举办冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一。如图所示，质量m＝60 kg的运动员从长直助滑道AB的A处由静止开始以加速度a＝3.6 m/s2匀加速滑下，到达助滑道末端B时速度vB＝24 m/s，A与B的竖直高度差H＝48 m。为了改变运动员的运动方向，在助滑道与起跳台之间用一段弯曲滑道衔接，其中最低点C处附近是一段以O为圆心的圆弧。助滑道末端B与滑道最低点C的高度差h＝5 m，运动员在B、C间运动时阻力做功W＝－1530 J，取g＝10 m/s2。
(1)求运动员在AB段下滑时受到阻力Ff的大小；
(2)若运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，则C点所在圆弧的半径R至少应为多大。
答案 (1)144 N (2)12.5 m
解析 (1)运动员在AB上做初速度为零的匀加速运动，设AB的长度为x，则有v＝2ax ①
由牛顿第二定律有mg－Ff＝ma②
联立①②式，代入数据解得Ff＝144 N③
(2)设运动员到达C点时的速度为vC，在由B到达C的过程中，由动能定理有
mgh＋W＝mv－mv④
设运动员在C点所受的支持力为FN，由牛顿第二定律有
FN－mg＝m⑤
由运动员能够承受的最大压力为其所受重力的6倍，联立④⑤式，代入数据解得R＝12.5 m。
24．2014·福建高考]如图为某游乐场内水上滑梯轨道示意图，整个轨道在同一竖直平面内，表面粗糙的AB段轨道与四分之一光滑圆弧轨道BC在B点水平相切。点A距水面的高度为H，圆弧轨道BC的半径为R，圆心O恰在水面。一质量为m的游客(视为质点)可从轨道AB的任意位置滑下，不计空气阻力。
(1)若游客从A点由静止开始滑下，到B点时沿切线方向滑离轨道落在水面上D点，OD＝2R，求游客滑到B点时的速度vB大小及运动过程中轨道摩擦力对其所做的功Wf；
(2)若游客从AB段某处滑下，恰好停在B点，又因受到微小扰动，继续沿圆弧轨道滑到P点后滑离轨道，求P点离水面的高度h。提示：在圆周运动过程中任一点，质点所受的向心力与其速率的关系为F向＝m
答案 (1) －(mgH－2mgR) (2)R
解析 (1)游客从B点做平抛运动，有
2R＝vBt①
R＝gt2②
由①②式得
vB＝③
从A到B过程根据动能定理，有
mg(H－R)＋Wf＝mv－0④
由③④式得
Wf＝－(mgH－2mgR)⑤
(2)设OP与OB间夹角为θ，游客在P点时的速度为vP，受到的支持力为FN，从B到P由动能定理，有
mg(R－Rcosθ)＝mv－0⑥
过P点时，根据向心力公式，有
mgcosθ－FN＝m⑦
FN＝0⑧
cosθ＝⑨
由⑥⑦⑧⑨式解得
h＝R。
25．2016·北京海淀高三期中]建筑工程中的“打桩”是利用重锤的冲击克服泥土对桩柱的阻力，使桩柱插入泥土到达预定深度的过程。如图甲所示，设打桩机重锤的质量为m，桩柱的质量为M。打桩过程可简化如下：桩柱下端开始时在地表面没有进入泥土，提升重锤到距离桩柱上端h高度后使其自由落下，重锤撞击桩柱上端，经极短时间的撞击使两者以共同的速度一起向下移动一段距离后停止。然后再次提升重锤，重复打桩过程，逐渐把桩柱打到预定深度。设桩柱向下移动的过程中泥土对桩柱的阻力f的大小与桩柱打入泥土中的深度x成正比，其函数表达式f＝kx(k为大于0的常量，具体值未知)，fx图象如图乙所示。已知重力加速度大小为g。
(1)求重锤与桩柱第一次碰撞后瞬间的共同速度大小；
(2)图象法和比较法是研究物理问题的重要方法，例如从教科书中我们明白了由vt图象求直线运动位移的思想
和方法，请你借鉴此方法，根据图示的fx图象结合函数式f＝kx，分析推导在第一次打桩将桩柱打入泥土的过程中阻力所做的功与桩柱打入泥土深度的关系式；并将泥土对桩柱的阻力与你熟悉的弹簧弹力进行比较，从做功与能量转化的角度简要说明泥土对桩柱的阻力做功和弹簧弹力做功的不同；
(3)若重锤与桩柱第一次的撞击能把桩柱打入泥土中的深度为d，试求常量k的大小。
答案 (1) (2)W＝－kx2 见解析
(3)＋
解析 (1)设重锤落到桩柱上端时的速度为v0，对于重锤下落的过程，根据机械能守恒定律有mv＝mgh，解得：v0＝，重锤与桩柱相互作用过程极为短暂，冲击力远大于它们所受的重力，重锤与桩柱组成的系统，沿竖直方向动量守恒，设二者碰撞后共同运动的速度为v1，根据动量守恒定律有：mv0＝(M＋m)v1，解得：v1＝＝。
(2)由直线运动的vt图象与横坐标轴所围的“面积”表示位移，比较阻力随深度变化的fx图象可知，fx图象与横坐标轴所围成的三角形的“面积”表示阻力功的大小：x＝kx2，阻力对桩柱做负功，所以W＝－kx2。由题可知：弹簧弹力的大小和泥土对桩柱的阻力大小变化的规律一样，都是大小与位移成正比。但是弹簧弹力做的功会使物体减少的机械能以弹性势能的形式存储起来，是不同形式的机械能之间的转化；而泥土对桩柱做的功会使物体减少的机械能都转化成了内能，是机械能转化为其他形式能的过程。泥土阻力一定做负功，弹簧弹力可以做正功，也可以做负功。
(3)对于第一次碰撞后获得共同速度到进入泥土深度为d的过程，
根据动能定理有(M＋m)gd－kd2＝0－(M＋m)v，
可解得：k＝＋。
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