2018版高考物理配套文档：第十章 实验16 探究单摆周期与摆长的关系 Word版含解析

[考试标准]

1．实验原理

当偏角很小时，单摆做简谐运动，其运动周期为T＝2π，它与偏角的大小及摆球的质量无关，由此得到g＝.因此，只要测出摆长l和振动周期T，就可以求出当地的重力加速度g的值．

2．实验器材

带有铁夹的铁架台、中心有小孔的金属小球、不易伸长的细线(约1 m)、秒表、毫米刻度尺和游标卡尺．

3．实验步骤

(1)让细线的一端穿过金属小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的线结，做成单摆．

(2)把细线的上端用铁夹固定在铁架台上，把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自然下垂，在单摆平衡位置处作上标记，如实验原理图所示．

(3)用毫米刻度尺量出摆线长度l′，用游标卡尺测出摆球的直径，即得出金属小球半径r，计算出摆长l＝l′＋r.

(4)把单摆从平衡位置处拉开一个很小的角度(不超过5°)，然后放开金属小球，让金属小球摆动，待摆动平稳后测出单摆完成30～50次全振动所用的时间t，计算出金属小球完成一次全振动所用时间，这个时间就是单摆的振动周期，即T＝(N为全振动的次数)，反复测3次，再算出周期的平均值＝.

(5)根据单摆周期公式T＝2π计算当地的重力加速度g＝.

(6)改变摆长，重做几次实验，计算出每次实验的重力加速度值，求出它们的平均值，该平均值即为当地的重力加速度值．

(7)将测得的重力加速度值与当地的重力加速度值相比较，分析产生误差的可能原因．

1．注意事项

(1)构成单摆的条件：细线的质量要小、弹性要小，选用体积小、密度大的小球，摆角不超过5°.

(2)要使摆球在同一竖直面内摆动，不能形成圆锥摆，方法是将摆球拉到一定位置后由静止释放．

(3)测周期的方法：①要从摆球过平衡位置时开始计时．因为此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大．

②要测多次全振动的时间来计算周期．如在摆球过平衡位置时开始计时，且在数“零”的同时按下秒表，以后每当摆球从同一方向通过平衡位置时计数1次．

(4)本实验可以采用图象法来处理数据．即用纵轴表示摆长l，用横轴表示T2，将实验所得数据在坐标平面上标出，应该得到一条倾斜直线，直线的斜率k＝.这是在众多的实验中经常采用的科学处理数据的重要办法．

2．数据处理

处理数据有两种方法：(1)公式法：测出30次或50次全振动的时间t，利用T＝求出周期；不改变摆长，反复测量三次，算出三次测得的周期的平均值，然后代入公式g＝求重力加速度．

(2)图象法：

图1

由单摆周期公式不难推出：l＝T2，因此，分别测出一系列摆长l对应的周期T，作l－T2的图象，图象应是一条通过原点的直线，求出图线的斜率k＝，即可利用g＝4π2k求得重力加速度值，如图1所示．

3．误差分析

(1)系统误差的主要来源：悬点不固定，球、线不符合要求，振动是圆锥摆而不是在同一竖直平面内的振动等．

(2)偶然误差主要来自时间的测量，因此，要从摆球通过平衡位置时开始计时，不能多计或漏计振动次数.

命题点一　教材原型实验

例1　小郑同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他找到了一块大小约为3 cm、外形不规则的大理石块代替小球．他设计的实验步骤的是：

图2

A．将石块用细线系好，结点为M，将细线的上端固定于O点(如图2所示)

B．用刻度尺测量OM间细线的长度l作为摆长

C．将石块拉开一个约为5°的偏角，然后由静止释放

D．从摆球摆到最低点时开始计时，测出石块经过最低点30次的总时间t，由T＝得出周期

(1)则该同学以上实验步骤中有错误的是________(填写序号)．

(2)根据单摆周期公式推导可得重力加速度的表达式为________；若该同学用OM的长作为摆长代入上述公式(其他错误已纠正)，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值________(填“大于”“小于”或“等于”)真实值；若该同学改变摆长，进行多次测量，先通过描点法作出T2－l图象，再利用图象的斜率来求解重力加速度，则用OM间细线的长度作为摆长将使重力加速度的测量值________(填“大于”“小于”或“等于”)真实值．

解析　(1)摆长应为O点到石块重心之间的距离，选项B错误；石块经过最低点30次的时间为t，则周期T＝，选项D错误．

(2)由单摆的周期公式T＝2π得，g＝.若该同学用OM作摆长，则摆长偏小，测得的重力加速度偏小．设石块重心到M点的距离为r，则实际摆长为l＋r，T2－l图象的斜率k＝＝，所以用OM间细线的长度作为摆长将使重力加速度的测量值等于真实值．

答案　(1)BD　(2)g＝　小于　等于

题组阶梯突破

1．某实验小组在探究单摆周期与摆长的关系的实验中：

(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图3所示，则该摆球的直径为________cm.

图3

(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)．

A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期为

C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大

D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

答案　(1)0.97　(2)C

解析　(1)主尺刻度加游标尺刻度的总和等于最后读数，0.9 cm＋7× mm＝0.97 cm，不需要估读．(2)单摆在摆角较小时才能看做简谐运动，其周期公式才成立，为减小计时误差，应从摆球速度最大的最低点瞬间计时，A错；通过最低点100次的过程中，经过的时间是50个周期，B错；应选用密度较大、直径较小的球以减小空气阻力的影响，D错；悬线的长度加摆球的半径才等于摆长，由单摆周期公式T＝2π可知，若摆长记录值偏大，测定的重力加速度也偏大，C正确．

2．在用单摆测定重力加速度的实验中：

(1)实验时用20分度的游标卡尺测量摆球直径，示数如图4甲所示，则该摆球的直径d＝________cm.

图4

(2)接着测量摆线的长度为l0，实验时用拉力传感器测得摆线的拉力F随时间t变化的图象如图乙所示，则通过计算，求得重力加速度的表达式为________．

答案　(1)1.410　(2)g＝

解析　(1)游标卡尺为20等份，每等份为0.05 mm，故读数为(14＋2×0.05) mm＝14.10 mm＝1.410 cm.

(2)由题图知，周期T＝4t0，而摆长l＝l0＋，由T＝2π，得g＝l＝＝.

3．(1)(2016·浙江10月选考·21(1))在“探究单摆周期与摆长的关系”实验中，测量单摆的周期时，图5中________(填“甲”、“乙”或“丙”)作为计时开始与终止的位置更好些．

图5

(2)一位同学在做探究单摆周期与摆长关系的实验时，进行了如下步骤：

A．组合单摆：选择相应器材组成单摆，并用铁夹将绳的上端固定；

B．测摆长l：用米尺量出摆线的长度；

C．测周期T：将摆球拉起一个小角度，然后放开，在放手的同时按下秒表开始计时，测量单摆50次全振动的时间t，算出单摆的周期T＝；

D．将所测得的l和T填入表格，分析数据得出单摆的周期和摆长的关系．

从上面操作步骤中找出两处错误的地方，写出该步骤的字母，并加以改正．

(1)________________________________________________________________________；

(2)________________________________________________________________________．

答案　(1)乙　(2)见解析

解析　(1)单摆周期的计时位置，一般选取摆球经过最低点时记录，所以选择乙图．(2)B.摆长不等于摆线的长度，所以要用游标卡尺测出摆球直径d，摆长l等于摆线长与之和；C.小球从最高点释放时速度为0，计时的误差比较大，而小球通过最低点时的速度最大，计时的误差比较小，所以按秒表开始计时最好是在小球通过最低点的时候．

命题点二　拓展创新实验

例2　(1)两个同学分别利用清华大学和广东中山大学的物理实验室，各自在那里用先进的DIS系统较准确地探究了“单摆的周期T与摆长L的关系”，他们通过校园网交换实验数据，并由计算机绘制了T2－L图象，如图6甲所示．在中山大学的同学所测实验结果对应的图线是________(选填A或B) .

图6

(2)在清华大学做实验的同学还利用计算机绘制了a、b两个摆球的振动图象，如图乙所示．关于a、b两个摆球的振动图象，下列说法正确的是________．

A．a、b两个单摆的摆长相等

B．b摆的振幅比a摆小

C．a摆的机械能比b摆大

D．在t＝1 s时有正向最大加速度的是a摆

解析　(1)由单摆周期公式T＝2π可得：T2＝L，由此可知T2－L图象的斜率k＝，则重力加速度g＝，图象的斜率k越大，重力加速度越小，中山大学当地的重力加速度小于清华大学当地的重力加速度，由图象可知，图象A是在中山大学的同学的实验结果对应的图线．

(2)由于Ta＜Tb，重力加速度g相等，由单摆周期公式T＝2π可得，两单摆的摆长不相等，故A错误；由题图乙所示图象可知，两单摆的振幅关系：Aa＜Ab，故B错误；由于不知道两摆球的质量关系，因此无法比较两摆的机械能关系，故C错误；由题图乙所示图象可知，在t＝1 s时刻，a摆摆球位于负最大位移处，因此它具有正向的最大加速度，故D正确；故选D.

答案　(1)A　(2)D

题组阶梯突破

4．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h(未知)且开口向下的小筒中(单摆的下部分露于筒外)，如图7甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆振动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出T2－L函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.

图7

(1)如果实验中所得到的T2－L关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________；

(2)由图可知，小筒的深度h＝________ m，当地重力速度g＝________ m/s2(π取3.14，g的计算结果保留三位有效数字)．

答案　(1)a　(2)0.3　9.86

解析　(1)由单摆周期公式T＝2π 得T2＝＋，纵轴截距大于0，图线应为题图乙中的图线a；

(2)由图象的截距得h＝0.3 m；由斜率可求得

g＝＝ m/s2＝π2 m/s2≈9.86 m/s2.