2018版高考物理配套课件：第八章 加试计算题6 带电粒子在复合场中的运动

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带电粒子在复合场中的运动
例1 　(2016·江苏单科·15)回旋加速器的工作原理如图1甲所示，置于真空中的D形金属盒半径为R，两盒间狭缝的间距为d，磁感应强度为B的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为m，电荷量为＋q，加在狭缝间的交变电压如图乙所示，电压值的大小为U0.周期T＝ .一束该种粒子在t＝ 时间内从A处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零.现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每次经过狭缝均做加速运动，不考虑粒子间的相互作用.求：
命题点一　带电粒子在复合场中的实际应用
(1)出射粒子的动能Em；
(2)粒子从飘入狭缝至动能达到Em所需的总时间t0；
解析 粒子被加速n次达到动能Em，则Em＝nqU0粒子在狭缝间做匀加速运动，设n次经过狭缝的总时间为Δt，加速度
(3)要使飘入狭缝的粒子中有超过99%能射出，d应满足的条件.
解决回旋加速器的方法1.交变电压的频率与粒子在磁场中做圆周运动的频率相等.2.在q、m和B一定的情况下，回旋加速器的半径越大，粒子的能量就越大，最大动能与加速电压无关.
1.质谱仪是一种研究带电粒子的重要工具，它的构造原理如图2所示.粒子源S产生的带正电的粒子首先经M、N两带电金属板间的匀强电场加速，然后沿直线从缝隙O垂直于磁场方向进入磁感应强度为B的匀强磁场，在磁场中经过半个圆周打在照相底片上的P点.已知M、N两板间的距离为d，电场强度为E.设带正电的粒子进入电场时的速度、所受重力及粒子间的相互作用均可忽略.
(1)若粒子源产生的带正电的粒子质量为m、电荷量为q，求这些带电粒子离开电场时的速度大小；
解析　设带电粒子离开电场时的速度大小为v，
(2)若粒子源产生的带正电的粒子质量为m、电荷量为q，其打在照相底片上的P点与缝隙O的距离为y，请推导y与m的关系式；
解析 设带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，
由几何关系可知，y＝2R，
(3)若粒子源S产生的带正电的粒子电荷量相同而质量不同，这些带电粒子经过电场加速和磁场偏转后，将打在照相底片上的不同点.现要使这些点的间距尽量大一些，请写出至少两项可行的措施.
解析 可行的措施：①增加电场强度，保持其它条件不变；②减小磁感应强度，保持其条件不变.
答案　可行的措施：①增加电场强度，保持其它条件不变；②减小磁感应强度，保持其它条件不变.
例2 　如图3甲所示，水平放置的平行金属板M、N之间存在竖直向上的匀强电场和垂直于纸面的交变磁场(如图乙所示，垂直纸面向里为正)，磁感应强度B0＝50 T，已知两板间距离d＝0.3 m，电场强度E＝50 V/m，M板中心有一小孔P，在P正上方h＝5 cm处的O点，一带电油滴自由下落，穿过小孔后进入两板间，若油滴在t＝0时刻进入两板间，最后恰好从N板边缘水平飞出.已知油滴的质量m＝10－4 kg，电荷量q＝＋2×10－5C(不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，取π＝3).求：
命题点二　带电粒子在叠加场中的运动
(1)油滴在P点的速度大小；
解析　由机械能守恒定律，得mgh＝ mv2
解析 进入场区时，因为mg＝10－3 N，Eq＝10－3 N，方向向上.所以，重力与电场力平衡，油滴做匀速圆周运动，
解得R＝0.1 m油滴要想从N板边缘水平飞出，油滴需在场内做三次 圆弧运动.所以，N板的长度L＝6R解得L＝0.6 m
(3)交变磁场的变化周期.
联立解得T＝0.3 s.
粒子在叠加场中运动的分析思路
2.(2014·四川·10)在如图4所示的竖直平面内，水平轨道CD和倾斜轨道GH与半径r＝ m的光滑圆弧轨道分别相切于D点和G点，GH与水平面的夹角θ＝37°.过G点、垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度B＝1.25 T；过D点、垂直于纸面的竖直平面右侧有匀强电场，电场方向水平向右，电场强度E＝1×104 N/C.小物体P1质量m＝2×10－3 kg、电荷量q＝＋8×10－6 C，受到水平向右的推力F＝9.98×10－3 N的作用，沿CD向右做匀速直线运动，到达D点后撤去推力.
当P1到达倾斜轨道底端G点时，不带电的小物体P2在GH顶端静止释放，经过时间t＝0.1 s与P1相遇.P1和P2与轨道CD、GH间的动摩擦因数均为μ＝0.5，取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，物体电荷量保持不变，不计空气阻力.求：
(1)小物体P1在水平轨道CD上运动速度v的大小；
解析　设小物体P1在匀强磁场中运动的速度为v，受到向上的洛伦兹力为F1，受到的摩擦力为f，则F1＝qvB①f＝μ(mg－F1)②由题意，水平方向合力为零F－f＝0③联立①②③式，代入数据解得v＝4 m/s④
(2)倾斜轨道GH的长度s.
解析 设P1在G点的速度大小为vG，由于洛伦兹力不做功，根据动能定理
P1在GH上运动，受到重力、电场力和摩擦力的作用，设加速度为a1，根据牛顿第二定律qEcs θ－mgsin θ－μ(mgcs θ＋qEsin θ)＝ma1 ⑥
设P2质量为m2，在GH上运动的加速度为a2，则m2gsin θ－μm2gcs θ＝m2a2⑧P1与P2在GH上相遇时，设P2在GH上运动的距离为s2，则s2＝ a2t2⑨联立⑤～⑨式，代入数据得s＝s1＋s2s＝0.56 m.
例3 　如图5所示，平行板电容器两金属板A、B板长L＝32 cm，两板间距离d＝32 cm，A板的电势比B板高.电荷量q＝10－10 C、质量m＝10－20 kg的带正电的粒子，以初速度v0＝2×106 m/s沿电场中心线垂直电场线飞入电场.随后，粒子在O点飞出平行板电容器(速度偏转角为37°)，并进入磁场方向垂直纸面向里，且边长为CD＝24 cm的正方形匀强磁场区域.(sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，粒子的重力不计)
命题点三　带电粒子在组合场中的运动
(1)求A、B两板的电势差；
解析　带电粒子射出电场时在电场方向上的速度为：vy＝v0tan 37°①vy＝at②在电场中，由牛顿第二定律可得：qE＝ ＝ ma③在电场中垂直于电场方向上有：L＝v0t④联立①②③④可得A、B两板的电势差为：U＝300 V⑤
(2)粒子穿过磁场区域后打在放置于中心线上的荧光屏CD上，求磁感应强度的范围.
粒子要打在CD上，当磁感应强度最大时，运动轨迹如图线1所示，设此时的磁感应强度为B1，半径为R1，
由几何关系可得：y＝R1＋R1cs 37° ⑧
粒子要打在CD上，当磁感应强度最小时，假设运动轨迹与右边界相切且从CD射出，设此时的半径为R2，由几何关系可得：CD＝R2＋R2sin 37°⑩解得R2＝15 cm，又由于R2cs 37°＝12 cm＝y，故粒子圆心恰好在CD上，
且从D点射出磁场，如图线2所示，假设成立，设此时的磁感应强度为B2由洛伦兹力提供向心力可得：qvB2＝⑪联立以上各式并代入数据可得磁感应强度的范围为：1.7×10－3 T≤B≤3.75×10－3 T.
答案　1.7×10－3 T≤B≤3.75×10－3 T
带电粒子在组合场中运动的分析思路及技巧1.基本思路
2.解题关键：抓住联系两个场的纽带——速度.
3.如图6所示，在坐标系xOy平面内，过原点O的虚线MN与y轴成45°角，在MN右侧空间存在着沿y轴负方向的匀强电场，在MN左侧空间存在着磁感应强度为B、方向垂直于纸面向外的匀强磁场.一质量为m、带电荷量为－q的粒子，从坐标原点O沿y轴负方向以初速度v0射入磁场区，在磁场中运动一段时间后进入电场区.已知电场强度E＝2Bv0，不计重力，求：
(1)带电粒子从磁场区域射出时的位置坐标；
(2)带电粒子从磁场区域射出到抵达x轴的时间及通过x轴时的位置坐标.
解析 粒子进入电场区域后，做类平抛运动有：x′＝v0t
由几何关系知，粒子通过x轴时竖直方向上的位移为y′＝R
1.质谱仪可对离子进行分析.如图1所示，在真空状态下，脉冲阀P喷出微量气体，经激光照射产生电荷量为q、质量为m的正离子，自a板小孔进入a、b间的加速电场，从b板小孔射出，沿中线方向进入M、N板间的偏转控制区，到达探测器.已知a、b板间距为d，极板M、N的长度和间距均为L，a、b间的电压为U1，M、N间的电压为U2.不计离子重力及进入a板时的初速度.求：
(1)离子从b板小孔射出时的速度大小；
(2)离子自a板小孔进入加速电场至离子到达探测器的全部飞行时间；
(3)为保证离子不打在极板上，U2与U1应满足的关系.
2.如图2所示的空间区域里，y轴左方有一匀强电场，场强方向跟y轴负方向成30°角，大小为E＝4.0×105 N/C，y轴右方有一垂直纸面的匀强磁场，有一质子以速度v0＝2.0×106 m/s，由x轴上的A点，第一次沿x轴正向射入磁场，第二次沿x轴负向射入磁场，回旋后都垂直电场方向射入电场，最后又进入磁场.已知质子质量近似为m＝1.6×10－27 kg，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小；
解析　质子两次在磁场及电场中的运动轨迹如图所示，
质子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
两次在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，第一次转过的圆弧角度θ1＝210°，第二次转过的角度为30°，进入电场之后均做类平抛运动
(2)质子两次在磁场中运动时间的比值；
解析 θ1＝210°，θ2＝30°又θ1＝ωt1，θ2＝ωt2
(3)质子两次在电场中运动的时间各是多少.
解析 质子两次进入电场均做类平抛运动，在电场中运动时间相同.
3.如图3所示，光滑水平轨道与光滑的半圆形轨道相连(轨道均为绝缘轨道)，半圆形轨道半径为R，其上方存在垂直纸面向里的匀强磁场.在半圆形轨道最下端静止一个不带电的质量为m的小物块B，距离B左侧s＝2R处有质量也为m小物块A，A带负电，电量为q，A、B两个物块均视为质点.水平轨道处在水平向左的匀强电场中，场强的大小为E＝ .物块A由静止释放，运动一段距离s后与物块B发生碰撞(碰撞时间极短)，碰后A、B两个物块粘合不分离，当它们运动到半圆形轨道最高点时对轨道无作用力.求：
(1)A、B碰后瞬时速度v大小；
A、B碰撞过程动量守恒：mv0＝2mv,
(2)匀强磁场磁感应强度B的大小.
解析 根据机械能守恒定律得：
4.如图4所示，在两个水平平行金属极板间存在着竖直向下的匀强电场和垂直于纸面向里的匀强磁场，电场强度和磁感应强度的大小分别为E＝2×106 N/C和B1＝0.1 T，极板的长度l＝ m，间距足够大.在板的右侧还存在着另一圆形区域的匀强磁场，磁场的方向为垂直于纸面向外，圆形区域的圆心O位于平行金属极板的中线上，圆形区域的半径R＝ m.有一带正电的粒子以某速度沿极板的中线水平向右飞入极板后恰好做匀速直线运动，然后进入圆形磁场区域，飞出圆形磁场区域后速度方向偏转了60°，不计粒子的重力，粒子的比荷 ＝2×108 C/kg.
(1)求粒子沿极板的中线飞入的初速度v0；
解析　粒子在极板间做匀速直线运动，则：qv0B1＝qE，代入数据解得：v0＝2×107 m/s
答案　2×107 m/s
(2)求圆形区域磁场的磁感应强度B2的大小；
解析 设粒子在圆形区域磁场中做圆周运动的半径为r，
代入数据解得：B2＝0.1 T
(3)在其他条件都不变的情况下，将极板间的磁场B1撤去，为使粒子飞出极板后不能进入圆形区域的磁场，求圆形区域的圆心O离极板右边缘的水平距离d应满足的条件.
解析 撤去磁场B1后，粒子在极板间做平抛运动，设在板间运动时间为t，运动的加速度为a，飞出电场时竖直方向的速度为vy，速度的偏转角为θ，则
设粒子飞出电场后速度恰好与圆形区域的边界相切时，圆心O离极板右边缘的水平距离为d1，
5.如图5，静止于A处的离子经电压为U的加速电场加速后沿图中圆弧虚线通过静电分析器，从P点垂直CN进入矩形区域的有界匀强电场，电场方向水平向左.静电分析器通道内有均匀辐向分布的电场，已知圆弧所在处场强为E0，方向如图所示；离子质量为m、电荷量为q； ，离子重力不计.
解析　离子在加速电场中加速，根据动能定理，
(1)求圆弧虚线对应的半径R的大小；
离子在辐向电场中做匀速圆周运动，电场力提供向心力，
解析 离子做类平抛运动，若恰好能打在NQ的中点，则
(2)若离子恰好能打在NQ的中点上，求矩形区域QNCD内匀强电场场强E的值；
由牛顿第二定律得：qE＝ma
(3)若撤去矩形区域QNCD内的匀强电场，换为垂直纸面向里的匀强磁场，要求离子能最终打在QN上，求磁场磁感应强度B的取值范围.
解析 离子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，根据牛顿第二定律，有
离子能打在QN上，则既没有从DQ边出去也没有从PN边出去，则离子运动径迹的边界如图中Ⅰ和Ⅱ.由几何关系知，离子能打在QN上，