专题04 立体几何（分层训练）-【教育机构专用】2020-2021学年高三数学寒假辅导讲义（全国通用）

专题04 立体几何

A组 基础巩固

1．（2020届安徽省合肥市高三第二次质检）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半径为，则当此几何体体积最小时，则当此几何体体积最小时，它的表面积等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】设圆柱高为，则圆柱底面半径为，

圆柱体积为，

，由得（舍去），

当时，，函数递增，时，，函数递减，∴时，，

，

圆柱体积最大时，此几何体体积最小．

．

故选D。

2．（2020届安徽省皖南八校高三第三次联考）在三棱锥中，已知，，，，且平面平面，三棱锥的体积为，若点都在球的球面上，则球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】取中点，连接，设球半径为，因为，，，

所以，，，，

因为，，所以，则,

因为平面平面，所以平面，即，

所以，，球的表面积为.

故选A。

3、如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（   ）

[来源:学_科_网]

【答案】B

4、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（   ）

（A）3（B）2（C）2（D）2

【答案】B

【解析】原几何体是四棱锥P-ABCD，如图，最长的棱长为补成的正方体的体对角线，由三视图可知正方体的棱长为2，所以该四棱锥的最长棱的长度为。故选B。

5、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（   ）

A、        B、        C、          D、

【答案】A

【解析】这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，，故选A.[来源:Zxxk.Com]

6．（2019·上海高三）已知直三棱柱的6个顶点都在球O的球面上，若，，，，则球的表面积为______.

【答案】

【解析】由题意，直三棱柱的底面为直角三角形，

可把直三棱柱的补成一个长方体，

则直三棱柱的外接球和长方体的外接球是同一个球，

又由长方体的对角线长等于球的直径，且，

即，即，

所以球的表面积为．

故答案为：

7．（2019·上海市七宝中学高三月考）如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为___________.

【答案】

【解析】

由三视图得到三棱柱的侧视图为以底面正三角形的高为一边，以棱柱高为另一边的矩形，

所以侧视图的面积为，故答案为 .

8．（2019·上海高三）如图，在过正方体的任意两个顶点的所有直线中，与直线异面的直线的条数为______．

【答案】12

【解析】

由题中正方体可得与异面的直线有：，，，,，；,,，，，，共12条.

故答案为12

B组 能力提升

9．（2020届河南省郑州市高三第二次质量预测）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，三棱锥A1-BC1D内切球的表面积为，则正方体外接球的体积为(   )

A． B．36  C．  D．

【答案】B

【解析】设正方体的棱长为，则，

因为三棱锥内切球的表面积为，

所以三棱锥内切球的半径为1，

设内切球的球心为，

到面的距离为，

则，，，

又，

，

又因为正方体外接球直接就是正方体对角线长，

正方体外接球的半径为，

其体积为，故选B。

10．（2020届湖北省宜昌市高三调研）某几何体的三视图如图所示，俯视图为正三角形，为正视图一边的中点，且几何体表面上的点M、A、B在正视图上的对应点分别为、、，在此几何体中，平面过点M且与直线垂直.则平面截该几何体所得截面图形的面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】如图，原几何体是一个正三棱柱，上中点，取中点，连接，连接，由三视图知是正方形， ，又分别是中点，∴，

∴，正三棱柱中，平面，平面，故，

又，，则可得平面，平面，∴，

又，∴平面，即为截面，

同理由平面得，由三视图得，，

．故选A。

11．（2020届湖南省常德市高三模拟）三棱锥中，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球的表面积是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】是线段上一动点，连接，∵互相垂直，∴就是直线与平面所成角，当最短时，即时直线与平面所成角的正切的最大．

此时，，在直角△中，．

三棱锥扩充为长方体，则长方体的对角线长为，

∴三棱锥的外接球的半径为，

∴三棱锥的外接球的表面积为．故选B。

12、球O的球面上有四点S，A，B，C，其中O，A，B，C四点共面，△ABC是边长为2的正三角形，平面SAB⊥平面ABC，则棱锥S­ABC的体积的最大值为(　　)

A.     B.     C．2     D．4

【答案】A

13、如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为(　　)

A．8π    B．16π    C．32π    D．64π

【答案】C

【解析】 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为2，表面积为4π×(2)2＝32π.故选C。

14、a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜

边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：

①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；

②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；

③直线AB与a所成角的最小值为45°；

④直线AB与a所成角的最小值为60°.

其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）

【答案】②③

【解析】

试题分析：由题意，是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线，由，又AC⊥圆锥底面，在底面内可以过点B，作，交底面圆于点D，如图所示，连结DE，则DE⊥BD，，连结AD，等腰△ABD中， ,当直线AB与a成60°角时，，故，又在中，，学科&网

过点B作BF∥DE，交圆C于点F，连结AF，由圆的对称性可知 ,

为等边三角形，，即AB与b成60°角，②正确，①错误.

由最小角定理可知③正确；

很明显，可以满足平面ABC⊥直线a，直线与所成的最大角为90°，④错误.

正确的说法为②③.

15、如右图所示，在棱长为2的正方体中， 为棱的中点，点分别为面和线段上的动点，则周长的最小值为_______．

【答案】

【解析】将面与面折成一个平面，设E关于的对称点为M，E关于 对称点为N,则周长的最小值为.

16、在长方体中，，，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点，可以重合），则的最小值为（  ）

A．          B．        C．          D．

【答案】C．

【解析】由题意易得：，作平面于，由对称性可知，因此

，问题转化为在平面内，体对角线上找一点使得最小，如下图所示，过点作它关于直线的对称点，交直线与点, 再过点作于点，交于点，则的长度即为所求的最小值，易得，∴，

，故选C．