2021年中考数学：专题11 一次函数（知识点串讲）

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专题11 一次函数【思维导图】【知识要点】知识点一 变量与函数变量：在一个变化过程中数值发生变化的量。常量：在一个变化过程中数值始终不变的量。【注意】1、 变量是可以变化的，而常量是已知数，且它是不会发生变化的。2、 区分常量和变量就是在某个变化过程中该量的值是否发生变化。函数的定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值。【函数概念的解读】1、  有两个变量。2、  一个变量的数值随另一个变量的数值变化而变化。3、  对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应。函数定义域：一般的，一个函数的自变量x允许取值的范围，叫做这个函数的定义域。确定函数定义域的方法：（自变量取值范围）（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数； （2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。函数值概念：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值。函数解析式：用来表示函数关系的数学式子叫做函数解析式或函数关系式。函数的取值范围：使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。画函数图像的一般步骤：1、列表 2、描点 3、连线函数图像上点的坐标与解析式之间的关系：1、将点的坐标代入到解析式中，如解析式两边成立，则点在解析式上，反之，不在。2、两个函数图形交点的坐标就是这两个解析式所组成的方程组的解。函数的三种表示法及其优缺点1、解析法： 两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做解析法。优：准确反映整个变化过程中自变量与函数的关系。缺：求对应值是要经过比较复杂的计算，而且实际问题中有的函数值不一定能用解析式表示。3、     列表法：把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。优：自变量和与它对应的函数值数据一目了然，使用方便。缺：所列对应数值个数有限，不容易看出自变量与函数值的对应关系，有局限性。3、图像法：用图像表示函数关系的方法叫做图像法。优：形象的把自变量和函数值的关系表示出来。缺：图像中只能得到近似的数量关系。知识点二 一次函数的图形与性质正比例函数定义：一般地，形如 y=kx（k为常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，k叫做比例系数。一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。待定系数法：先设出函数解析式，在根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出解析式的方法叫做待定系数法。待定系数法求函数解析式的一般步骤：1、     设函数解析式 2、将已知条件带入到解析式中2、  解方程（组） 4、将求出的数值代入到解析式中正比例函数图像与一次函数图像特征　b>0b<0b=0k>0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限图象从左到右上升，y随x的增大而增大k<0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限图象从左到右下降，y随x的增大而减小总结如下：k>0时，y随x增大而增大，必过一、三象限。k>0，b>0时,  函数的图象经过一、二、三象限；（一次函数）k>0，b<0时,  函数的图象经过一、三、四象限；（一次函数）k>0，b=0时,  函数的图象经过一、三象限。    （正比例函数）k<0时, y随x增大而减小，必过二、四象限。k<0，b>0时，函数的图象经过一、二、四象限；（一次函数）k<0，b<0时，函数的图象经过二、三、四象限；（一次函数）k<0，b=0时，函数的图象经过二、四象限。    （正比例函数）直线y1=kx＋b与y2=kx图象的位置关系：1、当b>0时，将y2=kx图象向x轴上方平移b个单位，就得到y1=kx＋b的图象．2、当b<0时，将y2=kx图象向x轴下方平移－b个单位，就得到了y2=kx＋b的图象．k，b符号与直线y=kx+b（k≠0）的关系正比例函数的图像：y=kx（k≠0）是经过点（0，0）和（1，k）的一条直线。一次函数的图象：y=kx+b（k≠0）是经过点（0，b）和的一条直线。1、当,则k，b异号，直线与x轴交与正半轴2、当,则b=0，直线过原点3、当,则k，b同号，直线与x轴交与负半轴在两个一次函数表达式中： 直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2 的位置关系k相同，  b也相同时，两一次函数图像重合； 　k相同，  b不相同时，两一次函数图像平行； 　　k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 　k不相同，b相同时，  两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。 　　特殊位置关系：直线l1：y1=k1x＋b1与l2：y2=k2x＋b2 　　两直线平行，其函数解析式中K值（即一次项系数）相等 。即：　　两直线垂直，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）。即:直线l1与坐标原点构成的三角形面积为s=知识点三 一次函数与方程（组）、不等式一次函数与一元一次方程的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次方程都可以转化为kx+b=0（k≠0 ）的形式.求方程kx+b=0(k≠0)的解，就是求函数y=kx+b(k≠0)函数值为0时，自变量x的值.一次函数与二元一次方程组的关系： 一般因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可以写成y=kx+b（k≠0，k，b为常数 ）的形式。所以每个这样的方程都对应一个一次函数，即对应一条直线。直线上每个点的坐标（x，y），都是这个二元一次方程的解。由上可知，含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线。从“数”的角度看，解这样的方程组，相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等，以及这个函数值是多少。从“形”的角度看，解这样的方程组，相当于确定两条直线的交点坐标。因此可以通过画一次函数图像的方法得到方程组的解一次函数与一元一次不等式的关系：因为任何一个以x为未知数一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0 （a≠0 ）的形式。求不等式的解，就是求不等式y=ax+b函数值大于或小于0时，自变量x的取值范围。【考查题型】考查题型一 正比例函数的定义【解题思路】正比例函数的定义典例1．（2018·天津中考模拟）已知函数y＝（m﹣1）x+m2﹣1是正比例函数，则m＝_____．变式1-1．（2019·吉林中考模拟）若y=（m﹣1）x|m|是正比例函数，则m的值为_____.变式1-2．（2018·柳州市龙城中学中考模拟）若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．考查题型二 正比例函数的图像与性质【解题思路】熟知函数图象上点的坐标满足其解析式是解决此题的关键．典例2．（2020·陕西模拟）下列四个点，在正比例函数y=x的图象上的点是（   ）A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）变式2-1．（2020·陕西模拟）若一个正比例函数的图象经过A(3，m﹣1)，B(4，2m﹣1)两点，则m的值为（    ）A．﹣0.5 B．0.5 C．2 D．﹣2变式2-2．（2020·西安市模拟）若正比例函数经过两点（1，）和（2，），则和的大小关系为（    ）A． B． C． D．无法确定变式2-3．（2020·湖南株洲市一模）如图，在同一直角坐标系中，正比例函数，，，的图象分别为，，，，则下列关系中正确的是（    ）A． B．C． D．考查题型三 根据一次函数的定义求参数【解题思路】熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解答的关键．典例3（2020·海口市模拟）一次函数y＝（k﹣1）x+3的图象经过点（﹣2，1），则k的值是（　　）A．﹣1 B．2 C．1 D．0变式3-1．（2020·安徽中考真题）已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（  ）A． B． C． D．变式3-2．（2020·浙江杭州市·中考真题）在平面直角坐标系中，已知函数y＝ax+a（a≠0）的图象过点P（1，2），则该函数的图象可能是（　　）A． B．C． D．考查题型四 一次函数的图像【解题思路】解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答．典例4（2020·四川广安市·中考真题）一次函数的图象不经过的象限是（　　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限变式4-1．（2020·山东济南市·中考真题）若m﹣2，则一次函数的图象可能是（　　）A． B．C． D．变式4-2．（2020·山东日照市·中考真题）将函数y＝2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是（　　）A．y＝2x+3 B．y＝2x﹣3 C．y＝2（x+3） D．y＝2（x﹣3）变式4-3．（2020·辽宁沈阳市·中考真题）一次函数的图象经过点，点，那么该图象不经过的象限是（　　）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限变式4-4．（2020·湖南益阳市·中考真题）一次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A． B．C．随的增大而减小 D．当时，考查题型五 一次函数的性质【解题思路】解题的关键是熟知一次函数的性质特点．典例5（2020·湖北省直辖县级行政单位·中考真题）对于一次函数，下列说法不正确的是（    ）A．图象经过点 B．图象与x轴交于点C．图象不经过第四象限 D．当时，变式5-1．（2020·四川凉山彝族自治州·中考真题）已知一次函数y =（2m+1）x+m-3的图像不经过第二象限，则m的取值范围（    ）A．m>- B．m<3 C．-<m<3 D．-<m≤3变式5-2．（2020·浙江九年级二模）设，关于的一次函数，当时的最大值是（   ）A． B． C． D．变式5-3．（2020·河南安阳市模拟）点A(x1，y1)、B(x2，y2)都在直线y＝kx+2（k＜0）上，且x1＜x2则y1、y2的大小关系是（    ）A．y1 ＝y2 B．y1 ＜y2 C．y1 ＞y2 D．y1 ≥y2考查题型六 求一次函数解析式【解题思路】一次函数图像上点的坐标特点，以及利用待定系数法求解一次函数的解析式，掌握一次函数图像上的点满足函数解析式是解题的关键．典例6（2020·广西中考真题）直线y＝kx+2过点（﹣1，4），则k的值是（　　）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2变式6-1．（2020·湖南邵阳市·中考真题）已知正比例函数的图象过点，把正比例函数的图象平移，使它过点，则平移后的函数图象大致是（    ）A． B． C． D．变式6-2．（2020·四川乐山市·中考真题）直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D．考查题型七 一次函数与一元一次方程【解题思路】考查了一次函数与一元一次方程：任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0 （a，b为常数，a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值．从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值．典例7（2020·山东济宁市·中考真题）数形结合是解决数学问题常用的思思方法．如图，直线y=x+5和直线y=ax+b,相交于点P ,根据图象可知，方程x+5=ax+b的解是（ ）A．x=20 B．x=5 C．x=25 D．x=15变式7-1．（2020·陕西渭南市模拟一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（    ）A． B． C． D．变式7-2．（2020·湖北襄阳市模拟）如图，直线过点A(0，5)，B(－4，0)，则关于x的方程的解是(      )A． B． C． D．变式7-3．（2020·河北九年级其他模拟）如图，在直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，一次函数的图象为，且，，能围成三角形，则在下列四个数中，的值能取的是（　　）A．﹣2 B．1 C．2 D．3考查题型八 一次函数与一元一次不等式典例8（2020·湖南湘潭市·中考真题）如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（    ）A． B． C． D．变式8-1．（2020·陕西模拟）如图，函数 y1＝﹣2x 与 y2＝ax+3 的图象相交于点 A（m，2），则关于 x 的不等式﹣2x＞ax+3 的解集是（  ）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1变式8-2．（2020·山西模拟）如图，函数和的图象相交于A(m，3),则不等式的解集为（    ）A． B． C． D．考查题型九 一次函数与二元一次方程（组）典例9（2020·陕西中考真题）在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（　　）A．2 B．3 C．4 D．6变式9-1．（2020·河北承德市·九年级二模）如图，点，，在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，1，2，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积和是（  ）A．1 B．3 C． D．变式9-2．（2020·西安市铁一中学九年级其他模拟）若直线y＝3x+m和y＝nx﹣4相交于点P（﹣3，﹣2），则方程组的解为（　　）A． B． C． D．变式9-3．（2020·陕西西安市·高新一中九年级其他模拟）若直线l1经过点（﹣1，0），l2经过点（2，2），且l1与l2关于直线x＝1对称，则l1和l2的交点坐标为（　　）A．（1，4） B．（1，2） C．（1，0） D．（1，3）考查题型十 一次函数的实际应用典例10（2020·四川广安市·中考真题）某小区为了绿化环境，计划分两次购进A，B两种树苗，第一次购进A种树苗30棵，B种树苗15棵，共花费1350元；第二次购进A种树苗24棵，B种树苗10棵，共花费1060元．（两次购进的A，B两种树苗各自的单价均不变）（1）A，B两种树苗每棵的价格分别是多少元？（2）若购买A，B两种树苗共42棵，总费用为W元，购买A种树苗t棵，B种树苗的数量不超过A种树苗数量的2倍．求W与t的函数关系式．请设计出最省钱的购买方案，并求出此方案的总费用．变式10-1．（2020·山东济南市·中考真题）5G时代的到来，将给人类生活带来巨大改变．现有A、B两种型号的5G手机，进价和售价如表所示：型号价格 进价（元/部）售价（元/部）A30003400B35004000某营业厅购进A、B两种型号手机共花费32000元，手机销售完成后共获得利润4400元．（1）营业厅购进A、B两种型号手机各多少部？（2）若营业厅再次购进A、B两种型号手机共30部，其中B型手机的数量不多于A型手机数量的2倍，请设计一个方案：营业厅购进两种型号手机各多少部时获得最大利润，最大利润是多少？变式10-2．（2020·浙江宁波市·中考真题）A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？变式10-3．（2020·江苏南通市·中考真题）如图，直线l1：y＝x+3与过点A（3，0）的直线l2交于点C（1，m），与x轴交于点B．（1）求直线l2的解析式；（2）点M在直线l1上，MN∥y轴，交直线l2于点N，若MN＝AB，求点M的坐标．