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中考数学全程复习方略 微专题六 相似三角形的基本类型 课件
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这是一份中考数学全程复习方略 微专题六 相似三角形的基本类型 课件，共32页。PPT课件主要包含了∠ADE∠C，∠B∠C，AD⊥BC，自主解答略，①③④等内容，欢迎下载使用。
【主干必备】常见相似三角形的基本类型
∠ADE(∠C=∠E)
【微点警示】1.注意“A”字型和斜交型的区别:前者有平行,后者无平行.2.注意“X”字型和蝴蝶型的区别:前者有平行,后者无平行.
3.注意双垂型和子母型的区别:前者有垂直,后者无垂直.
【核心突破】【类型一】运用基本类型的相似三角形计算或证明例1(2019·德州模拟)已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,点F在DE的延长线上,AD=AF,AE·CE=DE·EF.
(1)求证:△ADE∽△ACD.(2)如果AE·BD=EF·AF,求证:AB=AC.
【思路点拨】(1)由AE·CE=DE·EF,推出△AEF∽△DEC,可得∠F=∠C,再证明∠ADF=∠C,即可解决问题.(2)欲证明AB=AC,利用相似三角形的性质证明∠B=∠C即可.
【自主解答】(1)∵AD=AF,∴∠ADF=∠F,∵AE·CE=DE·EF,
又∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF∽△DEC,∴∠F=∠C,∴∠ADF=∠C,又∵∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD.(2)略
【类型二】作辅助线构造基本类型的相似三角形例2(2019·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( )A.3.6 B.4 C.4.8 D.5
【类型三】基本类型的相似三角形与四边形综合例3(2018·上海中考)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E,F.
(1)求证:EF=AE-BE.(2)连接BF,如果 .求证:EF=EP.
【思路点拨】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠BAE=∠ADF,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论.
(2)利用 和AF=BE得到 ,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠EBF=∠ADF,再证明∠EBF=∠EBP,即可判断EF=EP.
【类型四】基本类型的相似三角形与圆综合例4(2019·黄冈中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D,过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.
(1)求证:△DBE是等腰三角形.(2)求证:△COE∽△CAB.
【思路点拨】(1)连接OD,由DE是☉O的切线,得出∠ODE=90°,∠ADO+∠BDE=90°,由∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,证出∠CAB=∠ADO,得出∠BDE=∠CBA,即可得出结论.(2)证出CB是☉O的切线,得出DE=EC,推出EC=EB,再由OA=OC,得出OE∥AB,即可得出结论.
【自主解答】 (1)略(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,∵DE是☉O的切线,∴DE=EC,∵EB=ED,∴EC=EB,∵OA=OC,∴OE∥AB,∴△COE∽△CAB.
【明·技法】从复杂图形中分解(构造)出基本相似三角形的技巧(1)见到线段比,一般需要作辅助线构造“A”字型或“X”字型相似三角形.(2)见到平行四边形中,其中蕴藏着“A”字型或“X”字型相似三角形.
(3)见到圆肯定用到相等的圆周角,能构造多种类型的相似三角形.(4)见到旋转,对应边成比例自然形成旋转型相似三角形.(5)见到平面直角坐标系,通过作垂线往往形成“K”字型相似三角形.
【题组过关】1.(2019·贺州中考)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于( )A.5 B.6 C.7 D.8
2.(2019·日照莒县质检)如图,☉O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=________.
3.(2019·滨州中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:①EO⊥AC;②S△AOD=4S△OCF;③AC∶BD= ∶7;④FB2=OF·DF.其中正确的结论有_____________.(填写所有正确结论的序号)
4.(对比分析题)如图1,在正方形ABCD中,E是边BC的中点,F是CD上一点,已知∠AEF=90°.
(1)求证: .(2)平行四边形ABCD中,E是边BC上一点,F是边CD上一点,∠AFE=∠ADC,∠AEF=90°.如图2,若∠AFE=45°,求 的值.
【解析】(1)如题干图1中,设正方形的边长为2a.∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠FEC=90°,∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AEB=∠EFC,
【主干必备】常见相似三角形的基本类型
∠ADE(∠C=∠E)
【微点警示】1.注意“A”字型和斜交型的区别:前者有平行,后者无平行.2.注意“X”字型和蝴蝶型的区别:前者有平行,后者无平行.
3.注意双垂型和子母型的区别:前者有垂直,后者无垂直.
【核心突破】【类型一】运用基本类型的相似三角形计算或证明例1(2019·德州模拟)已知:如图,在△ABC中,点D,E分别在边BC,AC上,点F在DE的延长线上,AD=AF,AE·CE=DE·EF.
(1)求证:△ADE∽△ACD.(2)如果AE·BD=EF·AF,求证:AB=AC.
【思路点拨】(1)由AE·CE=DE·EF,推出△AEF∽△DEC,可得∠F=∠C,再证明∠ADF=∠C,即可解决问题.(2)欲证明AB=AC,利用相似三角形的性质证明∠B=∠C即可.
【自主解答】(1)∵AD=AF,∴∠ADF=∠F,∵AE·CE=DE·EF,
又∵∠AEF=∠DEC,∴△AEF∽△DEC,∴∠F=∠C,∴∠ADF=∠C,又∵∠DAE=∠CAD,∴△ADE∽△ACD.(2)略
【类型二】作辅助线构造基本类型的相似三角形例2(2019·安徽中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=12,点D在边BC上,点E在线段AD上,EF⊥AC于点F,EG⊥EF交AB于点G.若EF=EG,则CD的长为( )A.3.6 B.4 C.4.8 D.5
【类型三】基本类型的相似三角形与四边形综合例3(2018·上海中考)已知:如图,正方形ABCD中,P是边BC上一点,BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分别是点E,F.
(1)求证:EF=AE-BE.(2)连接BF,如果 .求证:EF=EP.
【思路点拨】(1)利用正方形的性质得AB=AD,∠BAD=90°,根据等角的余角相等得到∠BAE=∠ADF,则可判断△ABE≌△DAF,则BE=AF,然后利用等线段代换可得到结论.
(2)利用 和AF=BE得到 ,则可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠EBF=∠ADF,再证明∠EBF=∠EBP,即可判断EF=EP.
【类型四】基本类型的相似三角形与圆综合例4(2019·黄冈中考)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径的☉O交AB于点D,过点D作☉O的切线交BC于点E,连接OE.
(1)求证:△DBE是等腰三角形.(2)求证:△COE∽△CAB.
【思路点拨】(1)连接OD,由DE是☉O的切线,得出∠ODE=90°,∠ADO+∠BDE=90°,由∠ACB=90°,得出∠CAB+∠CBA=90°,证出∠CAB=∠ADO,得出∠BDE=∠CBA,即可得出结论.(2)证出CB是☉O的切线,得出DE=EC,推出EC=EB,再由OA=OC,得出OE∥AB,即可得出结论.
【自主解答】 (1)略(2)∵∠ACB=90°,AC是☉O的直径,∴CB是☉O的切线,∵DE是☉O的切线,∴DE=EC,∵EB=ED,∴EC=EB,∵OA=OC,∴OE∥AB,∴△COE∽△CAB.
【明·技法】从复杂图形中分解(构造)出基本相似三角形的技巧(1)见到线段比,一般需要作辅助线构造“A”字型或“X”字型相似三角形.(2)见到平行四边形中,其中蕴藏着“A”字型或“X”字型相似三角形.
(3)见到圆肯定用到相等的圆周角,能构造多种类型的相似三角形.(4)见到旋转,对应边成比例自然形成旋转型相似三角形.(5)见到平面直角坐标系,通过作垂线往往形成“K”字型相似三角形.
【题组过关】1.(2019·贺州中考)如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC边上的点,DE∥BC,若AD=2,AB=3,DE=4,则BC等于( )A.5 B.6 C.7 D.8
2.(2019·日照莒县质检)如图,☉O中弦AB,CD相交于点P,已知AP=3,BP=2,CP=1,则DP=________.
3.(2019·滨州中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,CE平分∠BCD交AB于点E,交BD于点F,且∠ABC=60°,AB=2BC,连接OE.下列结论:①EO⊥AC;②S△AOD=4S△OCF;③AC∶BD= ∶7;④FB2=OF·DF.其中正确的结论有_____________.(填写所有正确结论的序号)
4.(对比分析题)如图1,在正方形ABCD中,E是边BC的中点,F是CD上一点,已知∠AEF=90°.
(1)求证: .(2)平行四边形ABCD中,E是边BC上一点,F是边CD上一点,∠AFE=∠ADC,∠AEF=90°.如图2,若∠AFE=45°,求 的值.
【解析】(1)如题干图1中,设正方形的边长为2a.∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠FEC=90°,∠FEC+∠EFC=90°,∴∠AEB=∠EFC,
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