2023年湖南省郴州市中考数学真题

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（试题卷）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上答题无效；
5．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回．
本试卷共8页，有三道大题，共26小题，满分130分，考试时间120分钟．
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的倒数是（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】乘积是1的两个数互为倒数，求一个数（0除外）的倒数，只要用1除以这个数即可．
【详解】解：∵
∴-2的倒数是
故选B．
【点睛】此题考查倒数的意义和求法：乘积是1的两个数互为倒数，一般在求小数的倒数，先把小数化为分数再求解．
2. 下列图形中，能由图形通过平移得到的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的定义：在平面内，把一个图形整体沿某一方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，结合各选项所给的图形即可作出判断．
【详解】解：观察图形可知，B中图形能由图形通过平移得到，A，C，D均不能由图形通过平移得到；
故选B．
【点睛】本题考查平移．熟练掌握平移的性质，是解题的关键．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方，合并同类项，完全平方公式进行计算，即可得出结论．
【详解】解：A、，选项计算正确，符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、选项计算错误，不符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题考查整式的运算．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
4. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形全等的几何体即可．
【详解】A、直三棱柱的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形均不同，A错误；
B、圆锥的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形均不同，B错误；
C、圆柱的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形均不同，C错误；
D、球的三视图完全相同，都是圆，D正确；
故选D．
【点睛】本题考查三视图的有关知识，注意三视图都相同的常见的几何体有球和正方体．
5. 下列问题适合全面调查的是（ ）
A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C. 了解郴江河的水质情况
D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
【答案】D
【解析】
【分析】根据全面调查的定义与适用范围对各选项进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，A、B、C项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，故不符合要求；
D项关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，故符合要求；
故选：D．
【点睛】本题考查了全面调查．解题的关键在于熟练掌握全面调查的适用条件．
6. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可．
【详解】解：由，得：；
由，得：，
∴不等式组的解集为：；
数轴上表示如图：

故选C．
【点睛】本题考查在数轴上表示不等式组的解集．正确的求出不等式组的解集，是解题的关键．
7. 小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设原计划平均速度为km/h，根据实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达，列出分式方程即可．
【详解】解：设原计划平均速度为km/h，由题意，得：
，即：；
故选B
【点睛】本题考查根据实际问题列方程．找准等量关系，正确得列出方程，是解题的关键．
8. 第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（ ）

A. 途中修车花了
B. 修车之前的平均速度是/
C. 车修好后的平均速度是/
D. 车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象信息以及速度路程÷时间的关系即可解决问题．
【详解】解：由图象可知途中修车花了，
修车之前的平均速度是÷/，
车修好后的平均速度是÷/,
∴
故A、B、C错误，D正确．
故选∶ D．
【点睛】本题考查了函数图象，观察函数图象得出相应的时间和路程是解题关键．
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：___．
【答案】3
【解析】
【分析】求数a的立方根，也就是求一个数x，使得x3=a，则x就是a的一个立方根，根据立方根的定义计算可得．
【详解】解： ∵33=27，
∴．
故答案为3．
【点睛】此题考查了求一个数的立方根，熟记立方根定义是解题的关键．
10. 在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是___________（任写一个符合条件的数即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据一次函数的性质可知“当时，变量y的值随x的值增大而增大”，由此可得出结论．
【详解】解：∵一次函数中，y随x的值增大而增大，
∴．
解得：，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据函数的单调性确定k的取值范围．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，结合一次函数的增减性，得出k的取值范围是关键．
11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是___________．
【答案】##0.7
【解析】
【分析】根据概率公式进行计算即可．
【详解】解：由题意，得，随机取出一个球共有10种等可能的结果，其中取出的是红球共有7种等可能的结果，
∴；
故答案为：．
【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率的计算公式，是解题的关键．
12. 抛物线与轴只有一个交点，则________．
【答案】9
【解析】
【分析】根据抛物线与轴只有一个交点，则判别式为0进行解答即可．
【详解】解：∵抛物线与轴只有一个交点，
∴
解得c=9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，解题关键是理解抛物线与x轴有两个交点，则判别式；抛物线与x轴有一个交点，则判别式；抛物线与x轴没有交点，则判别式．
13. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分．
【答案】93
【解析】
【分析】利用加权平均数的计算方法进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：（分）；
∴该参赛队的最终成绩是93分，
故答案为：93
【点睛】本题考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算方法，是解题的关键．
14. 在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _______．
【答案】5
【解析】
【分析】先根据题意画出图形，再运用勾股定理求得AB，然后再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
【详解】解：如图：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5．
故答案为5．
【点睛】本题主要考查了运用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质等知识点，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”成为解题的关键．
15. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．

【答案】4
【解析】
【分析】圆周角定理求出对应的圆心角的度数，利用圆心角的度数即可得解．
【详解】解：∵，
∴对应的圆心角的度数为，
∵，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台；
故答案为：4
【点睛】本题考查圆周角定理，熟练掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半，是解题的关键．
16. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是___________cm（结果用含的式子表示）．

【答案】
【解析】
【分析】由于旋转到，故C的运动路径长是的圆弧长度，根据弧长公式求解即可．
【详解】以A为圆心作圆弧，如图所示．

直角中，，则，
则．
∴．
由旋转性质可知，，又，
∴是等边三角形．
∴．
由旋转性质知，．
故弧的长度为：；
故答案为：
【点睛】本题考查了含角直角三角形的性质、勾股定理、旋转的性质、弧长公式等知识点，解题的关键是明确C点的运动轨迹．
三、解答题（17~19题每题6分，20~23题每题8分，24~25题每题10分，26题12分，共82分）
17. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算．熟练掌握相关运算法则，正确的进行计算，是解题的关键．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【解析】
【分析】先根据分式的加减乘除混合运算进行化简，再将x的值代入，根据二次根式的性质化简即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查分式的加减乘除混合运算，二次根式的性质，正确化简是解题的关键．
19. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．

（1）请把图1中缺失的数据，图形补充完整；
（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．
【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）300．
【解析】
【分析】（1）根据选择的人数是人，所占的比例是，据此即可求得本次参加抽样调查的学生人数，进而求得选择的人数，即可补全统计图；
（2）利用乘以选择的人数所占总人数的比即可得解；
（3）利用总人数乘以对应的百分比即可求得．
【小问1详解】
解：（人）
选择的人数：（人）
补全图形如下：
【小问2详解】
解：，
∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；
小问3详解】
（人）
答：最喜欢去地研学的学生人数共有人．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
20. 如图，四边形是平行四边形．

（1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；
（2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据垂直平分线的作图方法进行作图即可；
（2）设与交于点，证明，得到，得到四边形为平行四边形，根据，即可得证．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图：设与交于点，

∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
【点睛】本题考查基本作图—作垂线，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定．熟练掌握菱形的判定定理，是解题的关键．
21. 某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．

【答案】该船在航行过程中与小岛的最近距离．
【解析】
【分析】过点作，垂足为，先在中，利用三角函数求出与的关系，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出与的关系，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
【详解】解：过点作，垂足为，

解∶∵，，，，，
∴，，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴（），
∴该船在航行过程中与小岛的最近距离．
【点睛】本题主要考查了与方位角有关的解直角三角形，作出相应辅助线构造直角三角形是解题的关键．
22. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为
（2）5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人
【解析】
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
【小问1详解】
解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
【小问2详解】
设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
23. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．

（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）连接，由是直径，得，再证，从而有，于是即可证明结论成立；
（2）由圆周角定理求得，在中，解直角三角形得，从而利用扇形及三角形的面积公式即可求解．
【小问1详解】
证明：连接，

∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
【小问2详解】
解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，切线的判定，扇形的面积公式以及解直角三角形，熟练掌握圆周角定理，切线的判定以及扇形的面积公式是解题的关键．
24. 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：

把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．

（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
【答案】（1）作图见解析；
（2）①；②；③减小，减小，下；
（3）．
【解析】
【分析】（1）将平面直角坐标系中的点用平滑曲线连接即可；
（2）①观察图象可知，函数可能是反比例函数，设，把，的坐标代入，得，再检验其余各个点是否满足即可；②根据可能与成反比例，设，即可得解；③跟图像结合解析式作答即可．
（3）利用反比例函数的性质即可解决问题．
【小问1详解】
解∶函数图象如图所示，
【小问2详解】
解：①观察图象可知，可能是反比例函数，设，
把的坐标代入，得，
经检验，其余各个点坐标均满足，
∴关于的函数表达式；
②观察表格以及①可知，可能与成反比例，设，
把的坐标代入，得，
经检验，其余各个点坐标均满足，
∴关于的函数表达式；
③由图图像可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到，
故答案为：减小，减小，下；
【小问3详解】
解：当时，解得，
当时，解得，
∴托盘与点的距离（）的取值范围．
【点睛】本题考查反比例函数的应用、描点法画图等知识，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质，属于基础题，中考常考题型．
25. 已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．

（1）如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，
①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接．设，若，求四边形的面积．
【答案】（1），理由见解析
（2）①成立，理由见解析②
【解析】
分析】（1）过点作，交于点，易得，证明，得到，即可得出结论．
（2）①过点作，交的延长线于点，易得，证明，得到，即可得出结论；②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，根据已知条件推出，得到，证明，得到，求出的长，利用四边形的面积为进行求解即可．
【小问1详解】
解：，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交于点，

∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
①成立，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交的延长线于点，

∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
②过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，

由①知：为等边三角形，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：②，
联立①②可得：（负值已舍去），
经检验是原方程的根，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为
．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形．本题的综合性强，难度大，属于中考压轴题，解题的关键是添加辅助线构造特殊三角形，全等和相似三角形．
26. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线的对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）待定系数法求函数解析式即可；
（2）根据的周长等于，以及为定长，得到当的值最小时，的周长最小，根据抛物线的对称性，得到关于对称轴对称，则：，得到当三点共线时，，进而求出点坐标，即可得解；
（3）求出点坐标为，进而得到，得到，分点在点上方和下方，两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴；
【小问2详解】
∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
【小问3详解】
解：存在，
∵为中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标为，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【点睛】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出二次函数解析式，利用数形结合，分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．本题的综合性强，难度较大，属于中考压轴题．托盘与点的距离
30
25
20
15
10
容器与水的总质量
10
12
15
20
30
加入的水的质量
5
7
10
15
25