第三单元 第9课时 一元二次方程及应用（含答案）

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1．用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是 (　 　)A．(x－2)2＝2 B．(x＋1)2＝2C．(x＋2)2＝2 D．(x＋1)2＝3【解析】 根据完全平方公式可配方，得x2＋2x＋1－2＝0，整理，得(x＋1)2＝2.
2．若方程3x2－4x－4＝0的两个实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝ (　 　)
3．一元二次方程x2－2x＝0的根的判别式的值为 (　 　)A．4 B．2C．0 D．－4【解析】 根的判别式可表示为b2－4ac，在这个方程中，a＝1，b＝－2，c＝0，∴b2－4ac＝(－2)2－4×1×0＝4.
4．已知关于x的一元二次方程x2－2x－k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 (　 　)A．k≥1 B．k＞1C．k≥－1 D．k＞－1【解析】 方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4×1×(－k)＝4＋4k>0，解得k＞－1.故选D.5．经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是________________．【解析】 第一次降价后的价格为50(1－x)元，第二次降价后的价格为50(1－x)2元，故方程为50(1－x)2＝32.
50(1－x)2＝32
一、必知5 知识点1．一元二次方程的概念及一般式一元二次方程：只含有______个未知数，并且未知数的最高次数是________的整式方程．一般形式：____________________．
【智慧锦囊】在一元二次方程的一般形式中要注意强调a≠0.
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)
2．一元二次方程的解法直接开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程．配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时加上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用直接开平方法解方程．
3．一元二次方程根的判别式根的判别式定义：关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac，也把它记做Δ＝b2－4ac.根的判别式与根的关系：b2－4ac>0⇔方程有______________的实数根；b2－4ac＝0⇔方程有____________的实数根；b2－4ac<0⇔方程________实数根；b2－4ac≥0⇔方程有实数根．
4．一元二次方程根与系数的关系
【智慧锦囊】(1)一元二次方程的根与系数的关系：两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比；(2)利用一元二次方程的根与系数的关系时要注意根的判别式Δ≥0.
5．一元二次方程的应用列一元二次方程的一般步骤与列一元一次方程的步骤相同．一元二次方程应用的常见类型：(1)增长率问题；(2)握手问题；(3)降价增量问题；(4)动点问题．
【智慧锦囊】增长率中的等量关系：(1)增长率＝增量÷基础量；(2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则a(1＋m)n＝b，当m为平均下降率时，a(1－m)n＝b.
二、必会2 方法1．已知方程一个根求另一个根可以将已知根代入，先求未知系数，再解方程求另一个根，也可以利用根与系数的关系求解．2．化归思想一元二次方程的解法，如直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法，都是运用了转化思想，把待解决问题(一元二次方程)通过转化归结为易解决问题(一元一次方程)．解一元二次方程是中考的热点．
一元二次方程及其解的概念
【点悟】　(1)只含一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，其一般式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)；(2)本题考查的是方程根的含义，若已知方程的根，求方程中的其他字母的值，可以直接将这个根代入方程，或由根与系数的关系得出．
1．已知关于x的方程x2＋3x＋a＝0有一个根为－2，则另一个根为 (　 　)A．5 B．－1C．2 D．－5【解析】 已知方程x2＋3x＋a＝0，可得x1＋x2＝－3，∵x1＝－2，∴x2＝－1.
2．[2017·绵阳]关于x的方程2x2＋mx＋n＝0的两根为－2和1，则nm的值为 (　 　)A．－8 B．8C．16 D．－16
一元二次方程的解法 　[2017·丽水]解方程：(x－3)(x－1)＝3.【解析】 先把方程化为一元二次方程的一般形式，再选用合适的方法解方程．解：原方程整理为x2－4x＝0，即x(x－4)＝0，解得x1＝0，x2＝4.
2．解方程：2(x－3)2＝x2－9.【解析】 方法1：观察方程，可先分解因式，然后提取(x－3)，利用因式分解法求解；方法2：将方程化为一般式，利用公式法求解．
解：解法1：原方程可化为2(x－3)2＝(x＋3)(x－3)，移项，得2(x－3)2－(x＋3)(x－3)＝0，提取公因式，得(x－3)[2(x－3)－(x＋3)]＝0，即(x－3)(x－9)＝0，则x－3＝0或x－9＝0，解得x1＝3，x2＝9；解法2：原方程可化为x2－12x＋27＝0，即该一元二次方程的a＝1，b＝－12，c＝27.∵b2－4ac＝(－12)2－4×1×27＝36>0，
【点悟】　解一元二次方程的方法有直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法等．一般地，在不能直接用因式分解法时，可选择配方法或公式法来解．
一元二次方程根的判别式　 已知关于x的方程(m－2)x2－2(m－1)x＋m＋1＝0.当m为何非负整数时，(1)方程只有一个实数根？(2)方程有两个相等的实数根？(3)方程有两个不相等的实数根？【解析】 (1)方程只有一个实数根，则方程为一元一次方程，据此可以得到m的值；(2)方程有两个相等的实数根，则根的判别式为0，且m－2≠0，从而求得m的值；
(3)方程有两个不相等的实数根，则根的判别式大于0，且m－2≠0，从而得到m的值．解：(1)∵方程只有一个实数根，∴m－2＝0，且m－1≠0，解得m＝2；(2)∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＝0，解得m＝3，且m－2≠0，∴m＝3；(3)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝4(m－1)2－4(m－2)(m＋1)＞0，解得m＜3，且m－2≠0，∵m为非负整数，∴m＝0或1.
1．一元二次方程3x2－4x＋1＝0的根的情况是 (　 　)A．没有实数根 B．只有一个实数根C．两个相等的实数根 D．两个不等的实数根【解析】 ∵Δ＝(－4)2－4×3×1＝4>0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D.
2．已知关于x的方程x2－4x＋c＋1＝0有两个相等的实数根，则常数c的值为 (　 　)A．－1 B．0 C．1 D．3【解析】 一元二次方程有两个相等实数根，则判别式为0，即Δ＝(－4)2－4(c＋1)＝0，则可得c＝3.
3．若关于x的一元二次方程x2－x＋k＋1＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是____________．【点悟】　对于ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，令Δ＝b2－4ac，则有：Δ＞0等价于方程有两个不等实数根；Δ＝0等价于方程有两个相等实数根；Δ＜0等价于方程无实数根；Δ≥0等价于方程有实数根．注意：运用判别式，当a含有字母时，要把a≠0考虑进去．
(选学)一元二次方程根与系数的关系　 [2017·黄冈]已知关于x的一元二次方程x2＋(2k＋1)x＋k2＝0①有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；
1．一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别为x1，x2，则下列结论正确的是 (　 　)A．x1＝－1，x2＝2 B．x1＝1，x2＝－2C．x1＋x2＝3 D．x1·x2＝22．若方程x2－4x＋1＝0的两个根是x1，x2，则x1(1＋x2)＋x2的值为_____．【解析】 x1(1＋x2)＋x2＝x1＋x1·x2＋x2＝x1＋x2＋x1·x2.由一元二次方程的根与系数关系，可知x1＋x2＝4，x1·x2＝1，∴x1(1＋x2)＋x2＝4＋1＝5.
3．[2017·十堰]已知关于x的方程x2＋(2k－1)x＋k2－1＝0有两个实数根x1，x2.(1)求实数k的取值范围；
【点悟】　(1)用根与系数的关系求字母的值时，要代入Δ检验；(2)一元二次方程根与系数的关系常用于求有关根的代数式的值，体现了整体思想．
一元二次方程的应用 　收发微信红包已成为各类人群进行交流联系，增强感情的一种普通活动，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？
解： (1)设2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是x，依题意得400(1＋x)2＝484，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.2(舍去)．
答：2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是10%；(2)设甜甜在2017年六一收到微信红包为y元，依题意得2y＋34＋y＝484，解得y＝150，∴484－150＝334(元)．答：甜甜在2017年六一收到微信红包为150元，她妹妹收到微信红包为334元．
某玩具厂生产一种玩具，按照控制成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？
解： 设销售单价为x元，由题意，得(x－360)[160＋2(480－x)]＝20 000，整理，得x2－920x＋211 600＝0，解得x1＝x2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利20 000元．【点悟】　本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
必明3 易错点1．解一元二次方程时，方程两边不能同时约去一个相同的式子，因为这个式子可能是0.2．在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件．3．运用根与系数的关系时，只有在Δ≥0时才能使用．