2020年山东省泰安市中考数学试卷

这是一份2020年山东省泰安市中考数学试卷，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2020年山东省泰安市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）的倒数是　　
A． B． C．2 D．
2．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
3．（4分）2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为　　
A．元 B．元 C．元 D．元
4．（4分）将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于　　

A． B． C． D．
5．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数册
1
2
3
4
5
人数人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是　　
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
6．（4分）如图，是的切线，点为切点，交于点，，点在上，．则等于　　

A． B． C． D．
7．（4分）将一元二次方程化成，为常数）的形式，则，的值分别是　　
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
8．（4分）如图，是的内接三角形，，，是直径，，则的长为　　

A．4 B． C． D．
9．（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
10．（4分）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为　　

A． B． C． D．
11．（4分）如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：
①；
②；
③；
④当时，四边形是菱形．
其中，正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．（4分）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为　　

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）方程组的解是　　．
14．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点，，的坐标分别为，，．△是关于轴的对称图形，将△绕点逆时针旋转，点的对应点为，则点的坐标为　　．

15．（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，，斜坡长，斜坡的坡比为．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移　　时，才能确保山体不滑坡．（取

16．（4分）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是　　．

17．（4分）已知二次函数，，是常数，的与的部分对应值如下表：




0
2

6
0


6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　　．（把所有正确结论的序号都填上）
18．（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第个数记为，则　　．

三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）（1）化简：；
（2）解不等式：．
20．（9分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与轴交于点，点为点关于原点的对称点，求的面积．

21．（11分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了：机器人；：航模；：科幻绘画；：信息学；：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是　　名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；
（4）在组最优秀的3名同学名男生2名女生）和组最优秀的3名同学名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
22．（11分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1），两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进，两种茶叶共100盒（进价不变），种茶叶的售价是每盒300元，种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进，两种茶叶各多少盒？
23．（12分）若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点是的中点，连接并延长至点，使．
求证：①，
②．

24．（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点是线段上一点．
探究发现：
（1）当点为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？　　．（填“是”或“否”
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：，则点为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，，求的长．

25．（13分）若一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；
（3）如图（2），若点在抛物线上（点在轴右侧），连接交于点，连接，．
①当时，求点的坐标；
②求的最大值．


2020年山东省泰安市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个，均记零分）
1．（4分）的倒数是　　
A． B． C．2 D．
【解答】解：的倒数是．
故选：．
2．（4分）下列运算正确的是　　
A． B． C． D．
【解答】解：，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项不合题意；
．，故本选项符合题意．
故选：．
3．（4分）2020年6月23日，中国北斗系统第五十五颗导航卫星暨北斗三号最后一颗全球组网卫星成功发射入轨，可以为全球用户提供定位、导航和授时服务．今年我国卫星导航与位置服务产业产值预计将超过4000亿元．把数据4000亿元用科学记数法表示为　　
A．元 B．元 C．元 D．元
【解答】解：4000亿，
故选：．
4．（4分）将含角的一个直角三角板和一把直尺如图放置，若，则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图所示，


，
又是的外角，
，
故选：．
5．（4分）某中学开展“读书伴我成长”活动，为了解八年级学生四月份的读书册数，对从中随机抽取的20名学生的读书册数进行调查，结果如下表：
册数册
1
2
3
4
5
人数人
2
5
7
4
2
根据统计表中的数据，这20名同学读书册数的众数，中位数分别是　　
A．3，3 B．3，7 C．2，7 D．7，3
【解答】解：这20名同学读书册数的众数为3册，中位数为（册，
故选：．
6．（4分）如图，是的切线，点为切点，交于点，，点在上，．则等于　　

A． B． C． D．
【解答】解：连接，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：．

7．（4分）将一元二次方程化成，为常数）的形式，则，的值分别是　　
A．，21 B．，11 C．4，21 D．，69
【解答】解：，
，
则，即，
，，
故选：．
8．（4分）如图，是的内接三角形，，，是直径，，则的长为　　

A．4 B． C． D．
【解答】解：连接，
，，
，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
故选：．

9．（4分）在同一平面直角坐标系内，二次函数与一次函数的图象可能是　　
A．
B．
C．
D．
【解答】解：、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故错误；
、二次函数图象开口向下，对称轴在轴左侧，
，，
一次函数图象应该过第二、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故错误；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故正确；
、二次函数图象开口向上，对称轴在轴右侧，
，，
一次函数图象应该过第一、三、四象限，且与二次函数交于轴负半轴的同一点，
故错误；
故选：．
10．（4分）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为　　

A． B． C． D．
【解答】解：过作于，

高，，
，
，，
，
沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，
，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
故选：．
11．（4分）如图，矩形中，，相交于点，过点作交于点，交于点，过点作交于点，交于点，连接，．则下列结论：
①；
②；
③；
④当时，四边形是菱形．
其中，正确结论的个数是　　

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：四边形是矩形，
，，，，，，
，
，，
，
，
在和中，，
，
，，故①正确；
在和中，，
，
，，故③正确；
，即，
，
四边形是平行四边形，
，故②正确；
，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
四边形是菱形；故④正确；
正确结论的个数是4个，
故选：．
12．（4分）如图，点，的坐标分别为，，点为坐标平面内一点，，点为线段的中点，连接，则的最大值为　　

A． B． C． D．
【解答】解：如图，
点为坐标平面内一点，，
在的圆上，且半径为1，
取，连接，

，，
是的中位线，
，
当最大时，即最大，而，，三点共线时，当在的延长线上时，最大，
，，
，
，
，即的最大值为；
故选：．
二、填空题（本大题共6小题，满分24分．只要求写出最后结果，每小题填对得4分）
13．（4分）方程组的解是　　．
【解答】解：
②①，得，
．
把代入①，得，
．
原方程组的解为．
故答案为：．
14．（4分）如图，将正方形网格放置在平面直角坐标系中，其中，每个小正方形的边长均为1，点，，的坐标分别为，，．△是关于轴的对称图形，将△绕点逆时针旋转，点的对应点为，则点的坐标为　　．

【解答】解：将△绕点逆时针旋转，如图所示：

所以点的坐标为，
故答案为：．
15．（4分）如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地．，，斜坡长，斜坡的坡比为．为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移　10　时，才能确保山体不滑坡．（取

【解答】解：在上取点，使，过点作于，
，，，
四边形为矩形，
，，
斜坡的坡比为，
，
设，则，
由勾股定理得，，即，
解得，，
，，
，
在中，，
，
，
坡顶沿至少向右移时，才能确保山体不滑坡，
故答案为：10．

16．（4分）如图，点是半圆圆心，是半圆的直径，点，在半圆上，且，，，过点作于点，则阴影部分的面积是　　．

【解答】解：连接，
，，
是等边三角形，
，
的半径为8，
，
，
，
，
，
，
于点，
，，
，



故答案为．

17．（4分）已知二次函数，，是常数，的与的部分对应值如下表：




0
2

6
0


6
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是　①③④　．（把所有正确结论的序号都填上）
【解答】解：将，，，代入得，
，解得，，
抛物线的关系式为，
，因此①正确；
对称轴为，即当时，函数的值最小，因此②不正确；
把，，代入关系式得，，，因此③正确；
方程，也就是，即方，由可得有两个不相等的实数根，因此④正确；
正确的结论有：①③④，
故答案为：①③④．
18．（4分）如表被称为“杨辉三角”或“贾宪三角”．其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．表中两平行线之间的一列数：1，3，6，10，15，，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，，第个数记为，则　20110　．

【解答】解：观察“杨辉三角”可知第个数记为，
则．
故答案为：20110．
三、解答题（本大题共7小题，满分78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤）
19．（10分）（1）化简：；
（2）解不等式：．
【解答】解：（1）原式


；

（2）去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：．
20．（9分）如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）若一次函数图象与轴交于点，点为点关于原点的对称点，求的面积．

【解答】解：（1）点，点在反比例函数上，
，解得：，则，
故反比例函数的表达式为：；

（2），故点、的坐标分别为、，
设直线的表达式为：，则，解得，
故一次函数的表达式为：；
当时，，故点，故，
而点为点关于原点的对称点，则，
的面积．
21．（11分）为迎接2020年第35届全国青少年科技创新大赛，某学校举办了：机器人；：航模；：科幻绘画；：信息学；：科技小制作等五项比赛活动（每人限报一项），将各项比赛的参加人数绘制成如图两幅不完整的统计图．

根据统计图中的信息解答下列问题：
（1）本次参加比赛的学生人数是　80　名；
（2）把条形统计图补充完整；
（3）求扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数；
（4）在组最优秀的3名同学名男生2名女生）和组最优秀的3名同学名男生1名女生）中，各选1名同学参加上一级比赛，利用树状图或表格，求所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率．
【解答】解：（1）本次参加比赛的学生人数为（名；
故答案为：80；
（2）组人数为：（名，把条形统计图补充完整如图：

（3）扇形统计图中表示机器人的扇形圆心角的度数为；
（4）画树状图如图：

共有9个等可能的结果，所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的结果有5个，
所选两名同学中恰好是1名男生1名女生的概率为．
22．（11分）中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化．2020年5月21日以“茶和世界 共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了种茶叶若干盒，用8400元购进种茶叶若干盒，所购种茶叶比种茶叶多10盒，且种茶叶每盒进价是种茶叶每盒进价的1.4倍．
（1），两种茶叶每盒进价分别为多少元？
（2）第一次所购茶叶全部售完后，第二次购进，两种茶叶共100盒（进价不变），种茶叶的售价是每盒300元，种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进，两种茶叶各多少盒？
【解答】解：（1）设种茶叶每盒进价为元，则种茶叶每盒进价为元，
依题意，得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
．
答：种茶叶每盒进价为200元，种茶叶每盒进价为280元．
（2）设第二次购进种茶叶盒，则购进种茶叶盒，
依题意，得：，
解得：，
．
答：第二次购进种茶叶40盒，种茶叶60盒．
23．（12分）若和均为等腰三角形，且．
（1）如图（1），点是的中点，判定四边形的形状，并说明理由；
（2）如图（2），若点是的中点，连接并延长至点，使．
求证：①，
②．

【解答】解：（1）四边形是平行四边形，
理由如下：
为等腰三角形，，是的中点，
，，
是等腰三角形，，
，，
，，
四边形是平行四边形；
（2）①和均为等腰三角形，，
，，，
，
；
②延长至点，使，

是的中点，
，
又，
，
，，
，，
，
，
．
24．（12分）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，与恰好为对顶角，，连接，，点是线段上一点．
探究发现：
（1）当点为线段的中点时，连接（如图（2），小明经过探究，得到结论：．你认为此结论是否成立？　是　．（填“是”或“否”
拓展延伸：
（2）将（1）中的条件与结论互换，即：，则点为线段的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
问题解决：
（3）若，，求的长．

【解答】解：（1）如图（2）中，

，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为是．

（2）结论成立：
理由：，，
，，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，，
，
，
，
点是的中点．

（3）如图3中，取的中点，连接．则．

，
，
在中，，
，
在中，，
，，
，
，
，
，
．
25．（13分）若一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，点的坐标为，二次函数的图象过，，三点，如图（1）．
（1）求二次函数的表达式；
（2）如图（1），过点作轴交抛物线于点，点在抛物线上轴左侧），若恰好平分．求直线的表达式；
（3）如图（2），若点在抛物线上（点在轴右侧），连接交于点，连接，．
①当时，求点的坐标；
②求的最大值．

【解答】解：（1）一次函数的图象与轴，轴分别交于，两点，则点、的坐标分别为、，
将点、、的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为：；

（2）设直线交轴于点，

从抛物线表达式知，抛物线的对称轴为，
轴交抛物线于点，故点，
由点、的坐标知，直线与的夹角为，即，
恰好平分，故，
而，
故，
，故，故点，
设直线的表达式为：，则，解得，
故直线的表达式为：；

（3）过点作轴交于点，

则，则，
而，则，解得：，
①当时，则，
设点，
由点、的坐标知，直线的表达式为：，当时，，故点，
故，
解得：或2，故点或；
②，
，故的最大值为．