湖南省2021届高三下学期4月六校联考数学试题（word版，含答案）

湖南省2021届高三下学期六校联考

数  学

注意事项：

    1．答卷前，考生务必将白己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

    2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

    3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，，则中的元素个数为

A．1           B．2              C．3               D．4

2．已知复数在复平面内对应的点分别为，，且为纯虚数，则实数

A．6     B．    C．    D．-6

3．函数的图象大致是

4．某地安排4名工作人员随机分到3个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，且每个人只去一个村，则每个村至少有一名工作人员的概率为

A．    B．    C．    D．

5．已知，，且，则向量在向量方向上的投影的最大值为

A．4         B．2               C．1           D．

6．数学里有一种证明方法叫做Proofs without words，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，

，则该图形可以完成的无字证明为

A．   B．

C．   D．

7．已知分别是双曲线的左、右焦点，点是该双曲线上一点且在第一象限内，，则双曲线的离心率的取值范围为

A．    B．    C．   D．

8．定义函数则下列命题中正确的是

A．不是周期函数     B．是奇函数

C．的图象存在对称轴   D．是周期函数，且有最小正周期

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．下列“若p，则q”形式的命题中，p是q的必要条件的是

A．若两直线的斜率相等，则两直线平行

B．若，则

C．已知是直线的方向向量，是平面的法向量，若，则

D．已知可导函数，若，则在处取得极值

10．已知数列满足，，，，则

A．为等差数列

B．为常数列

C．

D．若数列满足，则数列的前100项和为100

11．已知函数的图象上，对称中心与对称轴的最小距离为，则下列结论正确的是

A．函数的一个对称点为

B．当时，函数的最小值为

C．若，则的值为

D．要得到函数的图象，只需要将的图象向右平移个单位

12．已知球的半径为2，球心生大小为60°的二面角内，二面角的两个半平面分别截球面得两个圆，，若两圆的公共弦的长为2，为

的中点，四面体的体积为，则下列结论中正确的有

A．四点共面    B．

C．      D．的最大值为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知某省2020年高考理科数学平均分近似服从正态分布，则         .

（附：

14．请写出满足条件“对任意的恒成立，且在上不是增函数”的一个函数：                                   .

15．已知的展开式中各项的系数和为192，则其展开式中的常数项为          .

16．电子计算机是二十世纪最伟大的发明之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数可以表示成二进制数，

，其中，，．用表示十进制数n的二进制表示中1的个数，则      ；对任意，

        .

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（本小题满分10分）

已知数列的前项和满足.

(Ⅰ)求数列的通项公式；

(Ⅱ)数列的前项和是，若存在，使得成立，

求实数的取值范围．

18．（本小题满分12分）

已知函数.

(Ⅰ)当时，分别求函数取得最大值和最小值时的值；

(Ⅱ)设的内角的对应边分别是且，，求的值，

19．（本小题满分12分）

甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4．甲、乙约定比赛当天上午进行3局热身训练，下午进行正式比赛．

(Ⅰ)上午的3局热身训练中，求甲恰好胜2局的概率；

(Ⅱ)下午的正式比赛中：

       ①若采用“3局2胜制”，求甲所胜局数x的分布列与数学期望；

       ②分别求采用“3局2胜制”与“5局3胜制”时，甲获胜的概率；对甲而言，哪种局制更有利？你对局制长短的设置有何认识？

20．（本小题满分12分）

某建筑工地上有一个旗杆（与地面垂直），其正南、正西方向各

有一标杆，（均与地面垂直，在地面上），长度分别

为1m，4m，在地面上有一基点（点A在B点的正西方向，也在D

点的正南方向上），且，且四点共面．

(Ⅰ)求基点A观测旗杆顶端F的距离及仰角的正切值；

(Ⅱ)若旗杆上有一点，使得直线与地面所成的角为，试求平面 与平面所成锐二面角的正弦值．

21．（本小题满分12分）

已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，

(Ⅰ)求椭圆的方程；

(Ⅱ)已知动点在椭圆上，两定点，.

①求的面积的最大值；

②若直线与分别与直线交于两点，问：是否存在点，使得

与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

22．（本小题满分12分）

已知，.

(Ⅰ)若恒成立，求实数的取值范围；

(Ⅱ)确定在内的零点个数.

数学参考答案

一、二选择题

三、填空题

13．0.8186

14．（答案不唯一）

15．17

16．3 

四、解答题

17．【解析】(Ⅰ)，

，…………………………………………2分

两式相减得：，则，………………………………4分

由知，也满足上式，

故.     …………………………………………5分

(Ⅱ).   ………………………………6分

.      …………………………………………7分

，

由存在性得.   ………………………………………8分

而（当且仅当时取等号），

故.      ………………………………………10分

18．【解析】(Ⅰ)

，

………………………………………2分

，，，

∴当，即，得时，取得最大值0； ……4分

当，即，得时，取得最小值.

………………………………………6分

（Ⅱ）且，.…………………8分

由余弦定理A得，……………10分

解得或.      ………………………………………12分

另解：且，，………………8分

由正弦定理有，则或，…………………9分

当时．，由勾股定理有.………………………………………10分

当时，，则.

综上，或.     ………………………………………12分

19．【解析】(Ⅰ)甲恰好胜2局的概率为.………………………4分

(Ⅱ)①甲所胜局数x可取0，1，2．

，

，

，………………………………6分

∴甲所胜局数x的分布列为

.…………………………………8分

②采用“3局2胜制”时，甲获胜的概率为

，

采用“5局3胜制”时，甲获胜的概率为

. ……………10分

对甲而言，显然“5局3胜制”更有利，

由此可得出：比赛局数越多，对水平高的选手越有利， ………………………12分

20．【解析】(Ⅰ)易知平面平面CDGF，且A、E、F、G四点共面于平面AEFG，故

，同理，故AEFG为平行四边形，故，过点G作CF的垂线，垂足为N，则，，，，

.

.    ……………………………………5分

(Ⅱ)以A为原点，为轴建立直角坐标系，，，

，.    ……………………………………6分

设平面ABM的法向量，

则设，取， ………………8分

又，，，，设平面AEFG的法向量，

则

设，则，取，  ……………………………10分

则，

设平面ABM与平面AEFG所成锐二面角为α，

则为所求.   ……………………………12分

21．【解析】(Ⅰ)由题意得，则，.

由，得，即，

所以椭圆E的方程为.     ……………………………3分

(Ⅱ)①设，直线即：，

点P到直线MN的距离，

，

则，即，……………………………7分

②设，，点P到直线MN的距离，

.    …………………………………………8分

直线，令，可得，

直线，令，可得，

，到直线CD的距离为，

， ……………………………10分

与面积相等，，

故（舍）或，

解得，带入椭圆方程得，

故点或.  ………………………………………………12分

22．【解析】(Ⅰ)显然为偶函数，故只需在上恒成立即可，由

知，

.………………………………………1分

(1)若，则，在上单调递增，，

单调递增，

，故满足条件． ………………………………………3分

(2)若，则存在，，当时，， 单调递减，

，单调递减，，不成立，故不满足条件，

所以所求的范围为.    ………………………………………5分

（Ⅱ）

．

……………………………………… 6分

(1)当时，，单调递减，，单调递增，

又，，在内恰有一个零点；         ………………………………………7分

(2)当时，可以证明，由（Ⅰ）知，

，故在内无零点；

…………………………………8分

(3)当时，，单调递减，，单调递减，

，故在无零点；……………………………………9分

(4)当时，，单调递减，

又，，

在内恰有一零点；     ………………………………………10分

(5)当时，，单调递增，又，，

∴存在唯一，，当时，，递减，当时，，递增，，

在内无零点；

综上，恰有两个零点，    ………………………………………12分