2021届江苏省南通市学基地高三上学期第一次联考数学试题（Word版，含答案解析）

这是一份2021届江苏省南通市学基地高三上学期第一次联考数学试题（Word版，含答案解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021届江苏省南通市学基地高三上学期第一次联考
数学试题


一、单选题
1．已知U＝R，A＝，B＝，则(A)B＝（ ）
A．(﹣1，2) B．(，﹣2] C．(2，4) D．[2，4)
【答案】D
【分析】化简集合A，根据补集、交集运算即可.
【详解】因为A＝＝(﹣2，2)，
所以A＝(，﹣2][2，)，
因为B＝，
所以(A)B＝[2，4).
故选：D
2．已知复数的共轭复数为，若，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】求得，可得出，结合可求得的值.
【详解】，，
所以，，
，因此，.
故选：B.
3．已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】化简，根据指数函数、对数函数的性质借助中间值0和1比较可得．
【详解】，
，
，
所以.
故选：C．
【点睛】方法点睛：比较指数式大小时，常常化为同底数的幂，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幂，利用幂函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数，或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小
4．命题“”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先确定“”为真命题时的范围，进而找到对应选项.
【详解】“”为真命题，可得，因为 ，
故选:D.
5．有5名学生志愿者到2个小区参加疫情防控常态化宣传活动，每名学生只去1个小区，每个小区至少安排1名学生，则不同的安排方法为（ ）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
【分析】先将5名学生分成两组，再分配即可求解.
【详解】将5名学生分成两组可以有两类，
一组人，一组人，则有，
一组人，一组人，则有，
所以不同的安排方法为种，
故选：C
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先分组后分配，5名学生分成两组，即一组人，一组人和一组人，一组人，再分配即可.
6．函数的部分图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数为奇函数，排除A；根据函数在只有一个零点，排除C；根据
，排除D，即可求解.
【详解】由，所以函数为奇函数，排除A；
当时，令，解得，即函数在只有一个零点，排除C；
是单调增函数，

，排除D.
故选：B.
7．若双曲线：与双曲线：的渐近线相同，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先分别写出两双曲线的渐近线方程，根据渐近线相同列出等式，求出，进而可求出离心率.
【详解】因为双曲线：的渐近线方程为，
双曲线：的渐近线方程为，
又这两双曲线的渐近线相同，
所以，解得，
所以双曲线的离心率.
故选：B.
8．2013年9月7日，习近平总书记在哈萨克斯坦纳扎尔巴耶夫大学发表演讲并回答学生们提出的问题，在谈到环境保护问题时他指出：“我们既要绿水青山，也要金山银山.宁要绿水青山，不要金山银山，而且绿水青山就是金山银山.”“绿水青山就是金山银山”这一科学论断，成为树立生态文明观、引领中国走向绿色发展之路的理论之基.某市为了改善当地生态环境，2014年投入资金160万元，以后每年投入资金比上一年增加20万元，从2020年开始每年投入资金比上一年增加10%，到2024年底该市生态环境建设投资总额大约为（ ）
A．2655万元 B．2970万元 C．3005万元 D．3040万元
【答案】C
【分析】根据年每年的投资额成等差数列、年每年的投资额成等比数列，利用等差和等比数列求和公式即可求得结果.
【详解】年每年的投资额成等差数列，首项为，公差为，
则年的投资总额为：（万元），
年的投资额为：（万元）
年每年的投资额成等比数列，首项为，公比为，
则年的投资总额为：（万元）；
年的投资总额约为（万元）
故选：C.
9．2019年1月到2019年12月某地新能源汽车配套公共充电桩保有量如下：

则下列说法正确的是（ ）
A．2019年各月公共充电桩保有量一直保持增长态势
B．2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加超过2万台
C．2019年6月到2019年7月，公共充电桩保有量增幅最大
D．2019年下半年各月公共充电桩保有量均突破45万台
【答案】A
【分析】根据题设的统计图表逐项判断即可.
【详解】对于A，2019年各月公共充电桩保有量逐步增加，故一直保持增长态势，故A正确.
对于B，2019年12月较2019年11月公共充电桩保有量增加量为：，故B错.
对于C，2019年6月到2019年7月，公共充电桩保有量增幅约，
而2019年2月到2019年3月，公共充电桩保有量增幅约，故C错误；
2019年7月公共充电桩保有量小于45万台，故D错误.
故选：A.

二、多选题
10．设a，bR，则下列结论正确的是（ ）
A．若a＞b＞0，则 B．若a＜b＜0，则
C．若a＋b＝2，则≥4 D．若，则a＞b
【答案】AC
【分析】由不等式的性质可得A正确，通过举反例可得BD错误，利用基本不等式可得C正确.
【详解】选项A显然正确；
选项B，a＝﹣2，b＝﹣1代入即可验证，不等式不成立，故B错误；
选项C，，当且仅当a＝b＝1时，取“＝”，故C正确；
选项D，a＝﹣1，b＝满足，不符合a＞b，故D错误.
故选：AC
11．如图，在半圆柱中，AB为上底面直径，DC为下底面直径，AD，BC为母线，AB＝AD＝2，点F在上，点G在上，BF＝DG＝1，P为DC的中点.则（ ）

A．BF∥PG
B．异面直线AF与CG所成角为60°
C．三棱锥P—ACG的体积为
D．直线AP与平面ADG所成角的正弦值为
【答案】ABD
【分析】作出GC在上底面上的投影，找出空间角对应的平面角.
【详解】
取AB中点O，连接 FO，FB＝FO＝OB＝1，∠FBO＝60°，
设G在上底面的投影为E，连接BE、 AE、 EO、则EO＝GP＝AO=1，∠AOE＝60°，
所以BF∥EO∥GP，故A选项正确；
由A选项知CG∥BE，直线AF、CG所成角等于BE与AF夹角，等于60°，故B选项正确；
，故C选项错误；
取DG中点H，连接HP、 AH则易知sin∠PAH即为所求，
，故D选项正确.
综上，选ABD.
故选: ABD
【点睛】关键点睛：求空间角关键在于找出空间角所对应的平面角.
12．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数是周期函数 B．函数在[，]上有4个零点
C．函数的图象关于(，)对称 D．函数的最大值为
【答案】ACD
【分析】由选项的问题逐一计算，A选项，代入周期的公式验证即可；B选项，求导求函数的单调性以及极值和端点值，从而判断函数的零点个数；C选项，代入，计算的值验证；D选项，由B选项可知结果.
【详解】A：由于，所以函数是周期函数，A正确；
B：，研究[，]情况，发现在(，)，(，)单调递增，在(，)单调递减，求得，，，，所以函数在[，]上有2个零点，故B错误；
C：由于，
所以，所以函数的图象关于(，)对称；
D：由B选项的过程可知，的最大值为，D正确.
故选：ACD.
【点睛】本题考查含三角函数的复合型函数的周期性，零点个数以及对称性，属于中档题.
易错点睛：（1）含三角函数的复合型函数求导时的解为增区间；的解为减区间；不考虑三角函数本身的增减性.
（2）正弦型、余弦型复合函数的单调性要看内外层函数的单调性.


三、填空题
13．已知向量，，且，则_______.
【答案】
【分析】利用向量的坐标运算和垂直关系的坐标表示即可构造方程求得结果.
【详解】，又，
，解得：.
故答案为：.
14．设函数，则_______.
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，结合分段条件，代入计算，即可求解.
【详解】由题意，函数，可得，
所以.
故答案为：.
15．已知抛物线C： ，斜率为的直线l经过点 ，且与C交于A，B两点（其中A点在轴上方）.若B点关于轴的对称点为P，则 外接圆的方程为_______.
【答案】
【分析】依题意求出A、B、C三点的坐标，再设圆的一般方程可求解.
【详解】，从而 ， ，则P(，)，
设圆的方程为，
，
解得D＝，E＝0，F＝1，故圆的方程为.
故答案为: .
16．某公司周年庆典活动中，制作的“水晶球”工艺品如图所示，底座是用一边长为2m的正方形钢板，按各边中点连线垂直折起四个小三角形制成，再将一个水晶玻璃球放入其中.若水晶球最高点到底座底面的距离为(＋1)m，则水晶球的表面积为_______m2.

【答案】4π
【分析】根据条件求得四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离、小圆面到底座的距离和球的的半径和即为水晶球最高点到底座底面的距离可得答案.
【详解】如图，原边长为2正方形的四个顶点为，四个边的中点分别是，且四边形是边长为的正方形，折起后正方形四个点在底面上的射影分别为，是正方形的中点，且是边长为1的正方形，其对角线长为，所以，即则四个小三角形的项点所在平面截球面得小圆的半径为，由勾股定理求得球心到小圆圆心的距离为，小圆面到底座的距离为，设球的半径为R，
由条件得R＋＋＝＋1，解得R＝1，所以水晶球的表面积4πm2.
故答案为：4π.

【点睛】本题考查点、线、面间的距离的计算，解题时要认真审题，注意挖掘题中的隐含条件，合理地化空间问题为平面问题，注意数形结合法的合理运用.

四、解答题
17．在①csinA＝acosC；②tan＝2＋；③a2＋b2＝c2＋ab这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.
已知△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，若c＝4，B＝105°， ，求a和S.
【答案】选①：，；选②：，；选③：，.
【分析】选①由csinA＝acosC，利用正弦定理得到，求得角C;选②由tan(C＋)＝2＋，利用两角和的正切公式得到求得角C；选③由a2＋b2＝c2＋ab，利用余弦定理求得角C；然后利用正弦定理求得a，再利用三角形面积公式求解.,
【详解】选①∵正弦定理且csinA＝acosC；
∴，
∵在△ABC中，，
∴sinA≠0，
∴，
∴,
选②∵tan(C＋)＝2＋，
∴，即，
则，
选③∵a2＋b2＝c2＋ab，
∴由余弦定理得：，
∵在△ABC中，C(0，)，
∴C＝，
∵在△ABC中，A＋B＋C＝，且B＝105°，
∴A＝，
∵正弦定理且，
∴，则，
,
,
,
∴.
【点睛】方法点睛：（1）在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息，一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．（2）解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制．
18．已知数列的前n项和为，且，，n.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，数列的前n项和为，求证：≤＜.
【答案】（1），；（2）证明见解析.
【分析】（1）由可得当n≥2时，，两式相减可得， ， 利用等比数列的通项公式可得，进而可求；
（2）结合（1）可得，利用裂项相消法求得，结合数列的增减性，可得结论.
【详解】（1）∵
当n＝1时，，即，∴；
当n≥2时，，
∴，
∴，即；
∴是等比数列，且首项为，公比为，
∴
∴；
（2）
，
∴

又∵单调递增，所以，
∴≤＜.
【点睛】方法点睛：数列求和的常见方法：1、等差等比公式法；2、裂项相消法；3错位相减法；4、倒序相加法.
19．近年来，我国肥胖人群的规模不断扩大，肥胖人群有很大的心血管安全隐患，目前，国际上常用身体质量指数(Bodv Mass Index，缩写BMI)来衡量人体胖瘦程度以及是否健康，其计算公式是BMI＝体重（单位：千克）身高（单位：），中国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖.某单位随机调查了100名员工，测量身高、体重并计算出BMI值.
（1）根据调查结果制作了如下2×2列联表，请将2×2列联表补充完整，并判断是否有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；

肥胖
不肥胖
合计
经常运动员工

40
60
不经常运动员工
24

40
合计


100
（2）若把上表中的频率作为概率，现随机抽取3人进行座谈，记抽取的3人中“经常运动且不肥胖”的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望.
附：，.
P()
0.10
0.05
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879

【答案】（1）列联表见解析，有；（2）分布列见解析，.
【分析】(1) 根据调查结果数据直接填入列联表，并代入公式，计算出的值，与独立性检验判断表比较作出判断.
(2). 先计算经常运动且不肥胖的概率和变量的可能种数，判断随机变量X服从二项分布，用二项分布概率公式计算，再利用分布列求期望.
【详解】（1）

肥胖
不肥胖
合计
经常运动员工
20
40
60
不经常运动员工
24
16
40
合计
44
56
100

∴有99%的把握认为肥胖与不经常运动有关；
（2）经常运动且不肥胖的概率为：
X的所有可能取值为0，1，2，3


X的分布列：


0
1
2
3





.
【点睛】本题考查独立性检验和二项分布的概率及数学期望.
(1)独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出的值；独立性检验是对两个变量有关系的可信程度的判断，而不是对它们是否有关系的判断．
(2) 二项分布解题的一般思路是：根据题意设出随机变量→分析出随机变量服从二项分布→找到参数→写出二项分布的分布列→将值代入求解概率→列分布列，求期望.
20．如图，已知多面体ABCDEF的底面ABCD是边长为2的正方体，FA⊥底面ABCD，AF＝2，且＝(0＜＜1).

（1）求证：CE∥平面ABF；
（2）若二面角B—CF—E的大小为，求的值.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）要证明线面平行，可转化为证明面面平行，即证明平面平面；（2）利用空间向量坐标法分别求平面和平面的法向量，利用公式，求的值.
【详解】（1）∵＝
∴DE∥AF
DE平面ABF，AF平面ABF，
∴DE∥平面ABF
∵ABCD为正方形
∴CD∥AB
CD平面ABF，AB平面ABF，
∴CD∥平面ABF
DECD＝D，DE，CD平面CDE
∴平面CDE∥平面ABF
CE平面CDE
∴CE∥平面ABF
（2）以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE为x，y，z轴建立空间直角坐标系A—xyz

A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，E(0，2，2)，F(0，0，2)
设平面BCF的法向量为，
，∴，
不妨设，则，，即
设平面CFE的法向量为
，∴
不妨设，则，，即
∵二面角B—CF—E为
∴
或
又∵0＜＜1，∴.
【点睛】思路点睛：本题考查了线面平行的判断定理，以及二面角的求法，意在考查转化与化归和计算求解能力，不管是证明面面平行，还是证明线面平行，都需要证明线线平行，证明线线平行的几种常见形式，1.利用三角形中位线得到线线平行；2.构造平行四边形；3.构造面面平行.
21．已知O为坐标原点，椭圆C：，点D，M，N为C上的动点，O，M，N三点共线，直线DM，DN的斜率分别为，().
（1）证明：；
（2）当直线DM过点时，求的最小值；
（3）若，证明：为定值.
【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析.
【分析】（1）设，得出点，根据斜率公式和椭圆的方程，即可证得；
（2）设的方程为，联立方程组，求得，进而取得，得到，结合基本不等式，即可求解.
（3）由（1）求得的值，不妨设，，得到，联立方程组，得到，进而求得为定值.
【详解】（1）由题意知，点三点共线，且在椭圆上，
可得关于原点对称，设，，则，
由点和在曲线上，可得，
即
可得.
（2）由题意，直线DM过点，设的方程为，即
联立方程组，整理得，
可得，
则，且
所以

所以
令，则，
又由，当且仅当时，等号成立，
所以的最小值为.
（3）由（1）知，又由，可得或，
不妨设，，设直线，
联立方程组，整理得，
则，所以，
所以.
【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：
1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解；
2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围.
22．已知函数，(x＞﹣1).
（1）当a＝1时，证明：≤x≤；
（2）设函数，若有极值，且极值为正数，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）令，利用导数求最大值可得，，可由x分类讨论得，即可证明；
（2）分a≤0与a＞0讨论，a≤0时无极值，a＞0时可得函数有极大值，并且极值点，再由解出实数a的取值范围.
【详解】（1）当a＝1时，
令，∴，令得
且当时，，；当时，，
∴，∴，即
令，
当时，，当时，
∴当时，，即
∴≤x≤；
（2），
当a≤0时，，在上单调递减，无极值，舍去，
当a＞0时，令，
∴在上单调递减，注意到，

∴存在唯一的使，
且当时，，，；
当时，，，，
∴在处取极大值，即有极大值
且
∴
令，，
令得
∴当时，，，当时，，，
∴
∵，
∴，此时
令，，在
∵，
∴
故实数a的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：当函数求导后得，当a＞0时，令，利用导数确定出存在唯一的使，是解题关键，再利用导数确定是题目的难点，本题属于难题.