（人教版）数学中考总复习53中考冲刺：创新、开放与探究型问题（提高）珍藏版

中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题
1. 下列图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑥个图形中平行四边形的个数为（   ）

 A、55  B、42      C、41  D、29

2．如图，直角三角形纸片ABC中，AB=3，AC=4，D为斜边BC中点，第1次将纸片折叠，使点A与点D重合，折痕与AD交与点P1；设P1D的中点为D1，第2次将纸片折叠，使点A与点D1重合，折痕与AD交于点P2；设P2D1的中点为D2，第3次将纸片折叠，使点A与点D2重合，折痕与AD交于点P3；…；设

Pn﹣1Dn﹣2的中点为Dn﹣1，第n次将纸片折叠，使点A与点Dn﹣1重合，折痕与AD交于点Pn（n＞2），则AP6的长为（　　）

　  A．   B． C．       D． 

3．下面两个多位数1248624…、6248624…，都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘以2，若积为一位数，将其写在第2位上，若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……，后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是(    )

A．495    B．497    C．501    D．503

二、填空题

4. 如图所示，一个4×2的矩形可以用3种不同的方式分割成2或5或8个小正方形，那么一个5×3的矩形用不同的方式分割后，小正方形的个数可以是____         ____．

5. 一园林设计师要使用长度为4L的材料建造如图1所示的花圃，该花圃是由四个形状、大小完全一样的扇环面组成，每个扇环面如图2所示，它是以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过O点的两条直线段围成，为使得绿化效果最佳，还须使得扇环面积最大．

    (1)使图①花圃面积为最大时R－r的值为         ，以及此时花圃面积为         ，其中R、r分别为大圆和小圆的半径；

    (2)若L＝160 m，r＝10 m，使图面积为最大时的θ值为         ．

6．如图所示，已知△ABC的面积，

在图(a)中，若，则；

在图(b)中，若，则；

在图(c)，若，则．

…

按此规律，若，则________．

三、解答题

7．如图所示，∠ABM为直角，C为线段BA的中点，D是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连接AD，作BE⊥AD，垂足为E，连接CE，过点E作EF⊥CE，交BD于F．

(1)求证：BF＝FD；

(2)∠A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形?并说明理由；

(3)∠A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件？并说明理由．

8.如图(a)、(b)、(c)，在△ABC中，分别以AB，AC为边，向△ABC外作正三角形、正四边形、正五边形，BE，CD相交于点O．

(1)①如图(a)，求证：△ADC≌△ABE；

  ②探究：

图(a)中，∠BOC＝________；

图(b)中，∠BOC＝________；

图(c)中，∠BOC＝________；

(2)如图(d)，已知：AB，AD是以AB为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边；AC，AE是以AC为边向△ABC外所作正n边形的一组邻边．BE，CD的延长相交于点O．

①猜想：图(d)中，∠BOC＝________________；(用含n的式子表示)

②根据图(d)证明你的猜想．

9. 如图(a)，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°， AD＝9，BC＝12，AB＝a，在线段BC上任取一点P(P不与B，C重合)，连接DP，作射线．PE⊥DP，PE与直线AB交于点E．

    (1)试确定CP＝3时，点E的位置；

    (2)若设CP＝x(x＞0)，BE＝y(y＞0)，试写出y关于自变量x的函数关系式；

(3)若在线段BC上能找到不同的两点P1，P2，使按上述作法得到的点E都与点A重合，试求出此时a的取值范围．

10. 点A，B分别是两条平行线m，n上任意两点，在直线n上找一点C，使BC＝k·AB．连接AC，在直线AC上任取一点E，作∠BEF＝∠ABC，EF交直线m于点F．

(1)如图(a)，当k＝1时，探究线段EF与EB的关系，并加以说明；

说明：

①如果你经过反复探索没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写三步)；

    ②在完成①之后，可以自己添加条件(添加的条件限定为∠ABC为特殊角)，在图(b)中补全图形，完成证明．

(2)如图(c)，若∠ABC＝90°，k≠l，探究线段EF与EB的关系，并说明理由．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】C；

【解析】找出规律：∵图②平行四边形有5个=1+2+2，图③平行四边形有11个=1+2+3+2+3，

图④平行四边形有19=1+2+3+4+2+3+4，∴图⑥的平行四边形的个数为1+2+3+4+5+6+2+3+4+5+6=41.

故选C.

2.【答案】A；

【解析】由题意得，AD=BC=，AD1=AD﹣DD1=，AD2=，AD3=，ADn=，

故AP1=，AP2=，AP3=…APn=，

故可得AP6=.

故选A.

3.【答案】A；

【解析】根据题意，当第1位数字是3时，按操作要求得到的数字是3624862486248…，从第2位数字起每隔四位数重复一次6248，因为(100-1)被4整除得24余3，所以这个多位数前100位的所有数字之间和是3+(6+2+4)+(6+2+4+8)×24＝495，答案选A．

二、填空题

4.【答案】4或7或9或12或15；

【解析】 一个5×3的矩形可以有下面几种分割方式，如图所示．

5.【答案】（1）R－r的值为，以及此时花圃面积为；  （2）θ值为．

【解析】要使花圃面积最大，则必定要求扇环面积最大．

设扇环的圆心角为θ，面积为S，根据题意得：

，

∴

∴

．

∵，

∴S在时取最大值为．

∴花圃面积最大时R－r的值为，最大面积为．

(2)∵当时，S取大值，

∴(m)，

(m)，

∴．

6.【答案】．

【解析】

…

三、解答题

7．【答案与解析】

   解：(1)Rt△AEB中，∵AC＝BC，∴CE＝AB．

   ∴CB＝CE．∴∠CEB＝∠CBE．

∵∠CEF＝∠CBF＝90°，

∴∠BEF＝∠EBF．

∴EF＝BF．

∵∠BEF+∠FED＝90°，

∠EBD+∠EDB＝90°．

∴∠FED＝∠EDF．

∴EF＝FD．

∴BF＝FD．

(2)由(1)得BF＝FD，而BC＝CA，

∴CF∥AD，即AE∥CF．

若AC∥EF，则AC＝EF，∴BC＝BF．

∴BA＝BD，∠A＝45°．

∴当0°＜∠A＜45°或45°＜∠A＜90°时，四边形ACFE为梯形．

(3)作GH⊥BD，垂足为H，则GH∥AB．

∵DG＝DA，∴DH＝DB．

又F为BD的中点，∴H为DF的中点．

∴GH为DF的中垂线．

∴∠GDF＝∠GFD．

∵点G在ED上，∴∠EFD≥∠GFD．

∵∠EFD+∠FDE+∠DEF＝180°，

∴∠GFD+∠FDE+∠DEF≤180°．

∴3∠EDF≤180°．

∴∠EDF≤60°．

又∠A+∠EDF＝90°，

∴30°≤∠A＜90°．

∴30°≤∠A＜90°时，DE上存在点G，满足条件DG＝DA，

8．【答案与解析】

 (1)证法一：

∵△ABD与△ACE均为等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，且∠BAD＝∠CAE＝60°．

∴∠BAD+∠BAC＝∠CAE+∠BAC，

即∠DAC＝∠BAE．

∴△ADC≌△ABE．

证法二：∵△ABD与△ACE均为等边三角形，

∴AD＝AB，AC＝AE，

且∠BAD＝∠CAE＝60°．

∴△ADC可由△ABE绕着点A按顺时针方向旋转60°得到．

∴△ABE≌△ADC．

②120°，90°，72°．

(2)①．

②证法一：依题意，知∠BAD和∠CAE都是正n边形的内角，AB＝AD，AE＝AC，

∴∠BAD＝∠CAE＝．

∴∠BAD－∠DAE＝∠CAE－∠DAE，

即∠BAE＝∠DAC．

∴△ABE≌△ADC．

∴∠ABE＝∠ADC．

∵∠ADC+∠ODA＝180°，

∴∠ABO+∠ODA＝180°．

∴∠ABO+∠ODA+∠DAB+∠BOC＝360°．

∴∠BOC+∠DAB＝180°．

∴∠BOC＝180°－∠DAB＝．

证法二：延长BA交CO于F，证∠BOC＝∠DAF＝180°-∠BAD．

证法三：连接CE．证∠BOC＝180°－∠CAE．

9．【答案与解析】

   解：(1)作DF⊥BC，F为垂足．

    当CP＝3时，四边形ADFB是矩形，则CF＝3．

    ∴点P与点F重合．

又∵BF⊥FD，

∴此时点E与点B重合．

    (2)(i)当点P在BF上(不与B，F重合)时，(见图(a))

∵∠EPB+∠DPF＝90°，∠EPB+∠PEB＝90°，

∴∠DPF＝∠PEB．

    ∴Rt△PEB∽△ARt△DPF．

∴．    ①

又∵ BE＝y，BP＝12-x，FP＝x-3，FD＝a，代入①式，得

∴，整理，

得    ②

(ii)当点P在CF上（不与C，F重合）时，（见上图(b))同理可求得．

由FP＝3-x得．

∴

(3)解法一：当点E与A重合时，y＝EB＝a，此时点P在线段BF上．

由②式得．

整理得．   ③

∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，

    ∴方程③有两个不相等的正实根．

    ∴△＝(-15)2－4×(36+a2)＞0．

    解得．

又∵a＞0，

∴．

    解法二：当点E与A重合时，

∵∠APD＝90°，

∴点P在以AD为直径的圆上．设圆心为M，则M为AD的中点．

    ∵在线段BC上能找到两个不同的点P1与P2满足条件，

    ∴线段BC与⊙M相交．即圆心M到BC的距离d满足．    ④

又∵AD∥BC，

∴d＝a．

∴由④式得．

10．【答案与解析】

解：(1)EF＝EB．

证明：如图(d)，以E为圆心，EA为半径画弧交直线m于点M，连接EM．

∴EM＝EA，∴∠EMA＝∠EAM．

∵BC＝k·AB，k＝1，

∴BC＝AB．

∴∠CAB＝∠ACB．

∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB，∠FAB＝∠ABC．

∴∠MAC＝∠CAB．

∴∠CAB＝∠EMA．

∵∠BEF＝∠ABC，

∴∠BEF＝∠FAB．

∵∠AHF＝∠EHB，

∴∠AFE＝∠ABE．

    ∴△AEB≌△MEF．

    ∴EF＝EB．

探索思路：如上图(a)，∵BC＝k·AB，k＝1，

∴BC＝AB．

∴∠CAB＝∠ACB．

∵m∥n，∴∠MAC＝∠ACB．

添加条件：∠ABC＝90°．

证明：如图(e)，在直线m上截取AM＝AB，连接ME．

∵  BC＝k·AB，k＝1，

∴  BC＝AB．

∵  ∠ABC＝90°，

∴  ∠CAB＝∠ACB＝45°．

∵  m∥n，

∴  ∠MAE＝∠ACB＝∠CAB＝45°，∠FAB＝90°．

    ∵  AE＝AE，∴△MAE∽△BAE．

    ∴  EM＝EB，∠AME＝∠ABE．

    ∵  ∠BEF＝∠ABC＝90°，

∴  ∠FAB+∠BEF＝180°．

又∵  ∠ABE+∠EFA＝180°，

∴  ∠EMF＝∠EFA．

∴  EM＝EF．

∴  EF＝EB．

    (2)EF＝EB．

说明：如图(f)，过点E作EM⊥m，EN⊥AB，垂足为M，N．

∴  ∠EMF＝∠ENA＝∠ENB＝90°．

    ∵  m∥n，∠ABC＝90°，

    ∴  ∠MAB＝90°．

∴  四边形MENA为矩形．

∴  ME＝NA，∠MEN＝90°．

∵∠BEF＝∠ABC＝90°．

∴∠MEF＝∠NEB．

∴△MEF∽△NEB．

∴，

∴

在Rt△ANE和Rt△ABC中，

，

∴．