（人教版）数学中考总复习52中考冲刺：创新、开放与探究型问题（基础）珍藏版

中考冲刺：创新、开放与探究型问题—巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题
1．若自然数n使得三个数的加法运算“n+(n+1)+(n+2)”产生进位现象，则称n为“连加进位数”．例如：2不是“连加进位数”，因为2+3+4＝9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6＝15产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+63＝156产生进位现象．如果从0，1，2，…，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是(　　)

A．0.88     B．0.89     C．0.90    D．0.91

2．如图，点A，B，P在⊙O上，且∠APB＝50°，若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有(    )

    A．1个     B．2个     C．3个     D．4个

3．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，例如：

   他们研究过图(1)中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数，类似地，称图(2)中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数，下列数中既是三角形数又是正方形数的是(   )

    A．15     B．25     C．55     D．1225

二、填空题

4．电子跳蚤游戏盘是如图所示的△ABC，AB＝AC＝BC＝6．如果跳蚤开始时在BC边的P0处，BP0＝2．跳蚤第一步从P0跳到AC边的P1(第1次落点)处，且CP1＝CP0；第二步从P1跳到AB边的P2(第2次落点)处，且AP2＝AP1；第三步从P2跳到BC边的P3(第3次落点)处，且BP3＝BP2；…；跳蚤按照上述规则一直跳下去，第n次落点为Pn(n为正整数)，则点P2009与点P2010之间的距离为__________．

5．下图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D，请你按图中箭头所指方向(如A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是________(用含n的代数式表示)．

6. (1)如图(a)，∠ABC＝∠DCB，请补充一个条件：________，使△ABC≌△DCB．

(2)如图(b)，∠1＝∠2，请补充一个条件：________，使△ABC≌△ADE．

三、解答题

7．如图所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．

(1)求证：四边形EFOG的周长等于2OB；

(2)请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证，不必证明．

8．如图所示，平面直角坐标系内有两条直线，，直线的解析式为．如果将坐标纸折叠，使直线与重合，此时点(-2，0)与点(0，2)也重合．

(1)求直线的解析式；

(2)设直线与相交于点M．问：是否存在这样的直线，使得如果将坐标纸沿直线折叠，点M恰好落在x轴上？若存在，求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．

9．解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题．例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”，等等．

    (1)设，，求A与B的积；

    (2)提出(1)的一个“逆向”问题，并解答这个问题．

10. 已知：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，⊙O经过A，D，B三点，CB的延长线交⊙O于点E(如图(a))．

    在满足上述条件的情况下，当∠CAB的大小变化时，图形也随着改变(如图(b))，在这个变化过程中，有些线段总保持着相等的关系．

(1)观察上述图形，连接图(b)中已标明字母的某两点，得到一条新线段，证明它与线段CE相等；

(2)在图(b)中，过点E作⊙O的切线，交AC的延长线于点F．

①若CF＝CD，求sin∠CAB的值；

    ②若，试用含n的代数式表示sin∠CAB(直接写出结果)．

【答案与解析】

一、选择题
1.【答案】A；

【解析】不是“连加进位数”的有“0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，31，32”共有12个．

∴P(取到“连加进位数”)＝．

2.【答案】D；

【解析】如图，①过圆点O作AB的垂线交和于M1，M2．

②以B为圆心AB为半径作弧交圆O于M3．

③以A为圆心，AB为半径弧作弧交圆O于M4．

则M1，M2，M3，M4都满足要求．

3.【答案】D；

二、填空题

4.【答案】2．

【解析】如图，按要求作出P4，P5，P6…．

可发现如下规律：

P0，P6，P12，P18…重合；

P1，P7，P13，P19…重合；

P2，P8、P14，P20…重合；

P3，P9、P15，P21…重合；

P4，P10，P16，P22…重合；

P5，P11，P17，P23…重合．(以6为周期循环)

∵2009＝334×6+5，2010＝335×6，

∴P2009与P5重合；P2010与P0重合；求P2009与P2010之间距离也就是求P5与P0之间距离，

△BP0P5是等边三角形．

∴P0P5＝2，即P2009与P2010之间距离为2．

5.【答案】B；  603；  6n+3．

【解析】由题意知A→B→C→D→C→B→A→B→C→D→C→B→A→B…，每隔6个数重复一次“A→B→C→D→C→B→”，所以，当数到12时对应的字母是B；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是201×3＝603；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是(2n+1)×3＝6n+3．

6.【答案】答案不唯一．(1)如图(a)中∠A＝∠D，或AB＝DC；(2)图(b)中∠D＝∠B，或等．

三、解答题

7.【答案与解析】

   (1)证明：∵四边形ABCD是梯形，AD∥BC，AB＝CD，

∴∠ABC＝∠DCB．

又∵BC＝CB，AB＝DC，

∴△ABC≌△DCB．

∴∠1＝∠2．

又∵ GE∥AC，∴∠2＝∠3．

∴∠1＝∠3．

∴EG＝BG．

∵EG∥OC，EF∥OB，

∴四边形EGOF是平行四边形．

∴EG＝OF，EF＝OG．

∴四边形EGOF的周长＝2(OG+GE)＝2(OG+GB)＝2OB．

(2)方法1：如图乙，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC上一个动点(点E不与B，C两点重合)，EF∥BD，交AC于点F，EG∥AC交BD于点G．

求证：四边形EFOG的周长等于2OB．图略．

方法2：如图丙，已知正方形ABCD中，……其余略．

8. 【答案与解析】  

解：(1)直线与y轴交点的坐标为(0，1)．

由题意，直线与关于直线对称，直线与x轴交点的坐标为(-1，0)．

又∵直线与直线的交点为(-3，3)，

∴直线过点(-1，0)和(3，3)．

设直线的解析式为y＝kx+b．则有

解得

所求直线的解析式为．

(2)∵直线与直线互相垂直，且点M(-3，3)在直线上，

∴如果将坐标纸沿直线折叠，要使点M落在x轴上，那么点M必须与坐标原点O重合，此时直线过线段OM的中点．

将，代入y＝x+t，解得t＝3．

∴直线l的解析式为y＝x+3．

9．【答案与解析】

解：(1)

．

    (2)“逆向”问题一：

       已知，，求A．

       解答：．

    “逆向”问题二：

        已知，，求B．

解答：

．

“逆向”问题三：

已知A·B＝2x+8，A+B＝x+10，求(A－B)2．

解答：(A－B)2＝(A+B)2－4A·B

＝(x+10)2－4(2x+8)

＝x2+12x+68．

10．【答案与解析】

解：(1)连接AE．求证：AE＝CE．

证法一：如图(a)，连接OD．

∵∠ABC＝90°，CB的延长线交⊙O于点E，

∴∠ABE＝90°．

∴AE是⊙O的直径．

∵D是AC的中点，O是AE的中点，

∴．

∵，

∴AE＝CE．

证法二：如图(b)，连接DE．同证法一，得AE是⊙O的直径．

∴∠ADE＝90°．

∵D是AC的中点，

∴DE是线段AC的垂直平分线．

∴AE＝CE．

(2)①根据题意画出图形．如图(c)，连接DE．

∵AE是⊙O的直径，EF是⊙O的切线，

∴∠ADE＝∠AEF＝90°．

∴Rt△A1DE∽Rt△EDF．

∴．

设AD＝k是(k＞0)，则DF＝2k．

∴．

∴．

在Rt△CDE中，∵ CE2＝CD2+DE2＝3k2，

∴．

∵∠CAB＝∠DEC．

∴sin∠CAB＝sin∠DEC＝．

    ②．