2020-2021学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）期末数学试卷（解析版）

这是一份2020-2021学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）期末数学试卷（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

2020-2021学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）期末数学试卷





一、选择题：（每小题3分，共18分）


1．若实数a满足|a|=﹣a，则一定等于（ ）


A．2aB．0C．﹣2aD．﹣a





2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）





A．2B．3C．4D．5





3．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）


A．矩形B．菱形


C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形





4．一次函数y=mx+n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）


A．B．C．D．





5．下列定义一种关于n的运算：①当n是奇数时，结果为3n+5 ②n为偶数时结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则…，若n=449，则第449次运算结果是（ ）


A．1B．2C．7D．8





6．直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=﹣2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围（ ）


A．﹣2＜m＜1B．m＞﹣1C．﹣1＜m＜1D．m＜1








二、填空题：（每小题3分，共24分）


7．已知函数y=，则自变量x的取值范围是 ．





8．已知x=，y=，则x2y+xy2= ．





9．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 ．








10．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为 cm2．








11．一次函数y=mx+n的图象经过一、三、四象限，则化简+所得的结果 ．





12．如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 cm．








13．设，其中a为正整数，b在0，1之间，则= ．





14．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 ．








三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）


15．计算：．





16．已知直线y=﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．


（1）求A，B两点的坐标；


（2）求直线y=﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．





17．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．


（1）试求该车从A点到B点的平均速度；


（2）试说明该车是否超过限速．








18．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200=0，试判断△ABC的形状．








四、（共4小题，每小题8分，共32分）


19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．


（1）求证：AF=DC；


（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．








20．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，若甲种玩具的进价为每件30元，乙种玩具的进价为每件27元；


（1）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受七折优惠；若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系；


（2）在（1）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．





21．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．


（1）三角形有 条面积等分线，平行四边形有 条面积等分线；


（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；


（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．








22．化简+﹣．








五、（本大题1小题，共10分）


23．准备一张矩形纸片，按如图操作：


将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．


（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；


（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．











六、（本大题共1小题，12分）


24．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．


（1）求边AB的长；


（2）求点C，D的坐标；


（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．














2020-2021学年江西省宜春市丰城中学八年级（上）期末数学试卷


参考答案与试题解析





一、选择题：（每小题3分，共18分）


1．若实数a满足|a|=﹣a，则一定等于（ ）


A．2aB．0C．﹣2aD．﹣a


【考点】二次根式的性质与化简．


【分析】根据|a|=﹣a，即可确定a的范围，再根据二次根式的性质即可化简．


【解答】解：因为|a|=﹣a，所以a≤0，


故|a﹣|=|a﹣（﹣a）|=|2a|=﹣2a．


故选：C．


【点评】本题主要考查了二次根式的化简，首先根据绝对值的应用，确定a的范围是解题的关键．





2．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（ ）





A．2B．3C．4D．5


【考点】角平分线的性质；勾股定理．


【分析】过E作DE⊥BC于E，根据勾股定理求出AD，根据角平分线性质求出AD=DE=3，即可得出答案．


【解答】解：如图：





过E作DE⊥BC于E，


∵∠A=90°，BD平分∠ABC，


∴AD=DE，


∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，BD=5，由勾股定理得：AD=3，


∴DE=3，


即点D到BC的距离是3，


故选B．


【点评】本题考查了角平分线性质，勾股定理的应用，能根据角平分线性质求出AD=DE是解此题的关键，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．





3．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（ ）


A．矩形B．菱形


C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形


【考点】矩形的判定；三角形中位线定理．


【分析】此题要根据矩形的性质和三角形中位线定理求解；首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．


【解答】解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．


证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，


根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；


∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，


∴AC⊥BD，[来源:学§科§网Z§X§X§K]


故选：C．





【点评】本题主要考查了矩形的性质和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．





4．一次函数y=mx+n与y=mnx（mn≠0），在同一平面直角坐标系的图象是（ ）


A．B．C．D．


【考点】一次函数的图象．


【专题】分类讨论．


【分析】由于m、n的符号不确定，故应先讨论m、n的符号，再根据一次函数的性质进行选择．


【解答】解：（1）当m＞0，n＞0时，mn＞0，


一次函数y=mx+n的图象一、二、三象限，


正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；


（2）当m＞0，n＜0时，mn＜0，


一次函数y=mx+n的图象一、三、四象限，


正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，C选项符合；


（3）当m＜0，n＜0时，mn＞0，


一次函数y=mx+n的图象二、三、四象限，


正比例函数y=mnx的图象过一、三象限，无符合项；


（4）当m＜0，n＞0时，mn＜0，


一次函数y=mx+n的图象一、二、四象限，


正比例函数y=mnx的图象过二、四象限，无符合项．


故选C．


【点评】一次函数y=kx+b的图象有四种情况：


①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限；


②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限；


③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限；


④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限．





5．下列定义一种关于n的运算：①当n是奇数时，结果为3n+5 ②n为偶数时结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．例如：取n=26，则…，若n=449，则第449次运算结果是（ ）


A．1B．2C．7D．8


【考点】代数式求值．


【专题】新定义．


【分析】把n值代入进行计算第一次，结果是1352，第二次，所以k=3，结果是169，以此类推，第三次代入计算结果是512，第四次代入k只能等于9，计算结果是1，第五次代入计算结果是8，第六次是1，此后计算结果8和1循环．


【解答】解：第一次：3×449+5=1352，


第二次：，根据题意k=3时结果为169；


第三次：3×169+5=512，


第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；


第五次：1×3+5=8；


第六次：，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．


因为449是奇数，所以第449次运算结果是8．


故选D．


【点评】根据题意代入进行计算，从计算中总结规律是本题的一大特点．





6．直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=﹣2x+4的交点在第一象限，则m的取值范围（ ）


A．﹣2＜m＜1B．m＞﹣1C．﹣1＜m＜1D．m＜1


【考点】一次函数图象与几何变换．


【分析】画出直线y=﹣x+3和直线y=﹣2x+4的图象，再由交点在第一象限，得出m的取值范围．


【解答】解：如图所示：把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后，与直线y=﹣2x+4的交点在第一象限，


则m的取值范围是：﹣1＜m＜1．


故选：C．





【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，正确利用数形结合得出m的取值范围是解题关键．





二、填空题：（每小题3分，共24分）


7．已知函数y=，则自变量x的取值范围是 x≥﹣且x≠2 ．


【考点】函数自变量的取值范围．


【专题】计算题．


【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．


【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣2≠0，


解得x≥﹣且x≠2．


故答案为：x≥﹣且x≠2．


【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．





8．已知x=，y=，则x2y+xy2= 2 ．


【考点】二次根式的化简求值；因式分解-提公因式法．


【分析】首先把所求的式子分解因式，然后代入数值计算即可．


【解答】解：原式=xy（x+y）=（+）（﹣）×2=2．


故答案是：2．


【点评】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行变形，以及对平方差公式的里理解是关键．





9．如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 3 ．





【考点】矩形的性质．


【专题】计算题．


【分析】根据矩形是中心对称图形寻找思路：△AOE≌△COF，图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．


【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，


∴OA=OC，∠AEO=∠CFO；


又∵∠AOE=∠COF，


在△AOE和△COF中，


，


∴△AOE≌△COF，


∴S△AOE=S△COF，


∴图中阴影部分的面积就是△BCD的面积．


S△BCD=BC×CD=×2×3=3．


故答案为：3．


【点评】此题主要考查了矩形的性质以及全等三角形的判定和性质，能够根据三角形全等，从而将阴影部分的面积转化为矩形面积的一半，是解决问题的关键．





10．如图，若▱ABCD的周长为36cm，过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，▱ABCD的面积为 40 cm2．





【考点】平行四边形的性质．


【分析】由▱ABCD的周长为36cm，可得AB+BC=18cm①，又由过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，由等积法，可得4AB=5BC②，继而求得答案．


【解答】解：∵▱ABCD的周长为36cm，


∴AB+BC=18cm①，


∵过点D分别作AB，BC边上的高DE，DF，且DE=4cm，DF=5cm，


∴4AB=5BC②，


由①②得：AB=10cm，BC=8cm，


∴▱ABCD的面积为：AB•DE=40（cm2）．


故答案为：40．


【点评】此题考查了平行四边形的性质．注意利用方程思想求解是解此题的关键．





11．一次函数y=mx+n的图象经过一、三、四象限，则化简+所得的结果 m﹣2n ．


【考点】一次函数图象与系数的关系．


【分析】根据题意可得m＞0，n＜0，再进行化简即可．


【解答】解：∵一次函数y=mx+n的图象经过一、三、四象限，


∴m＞0，n＜0，


∴m﹣n＞0，


∴+=|m﹣n|+|n|=m﹣n﹣n=m﹣2n．


故答案是：m﹣2n．


【点评】本题考查了二次根式的性质与化简以及一次函数的图象与系数的关系，是基础知识比较简单．





12．如图，一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行 5 cm．





【考点】平面展开-最短路径问题．


【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．


【解答】解：将圆柱展开，侧面为矩形，如图所示：


∵底面⊙O的周长为6cm，


∴AC=3cm，


∵高BC=4cm，


∴AB==5cm．


故答案为：5．





【点评】此题考查了圆柱的平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将圆柱展成矩形，求对角线的长即为最短路径





13．设，其中a为正整数，b在0，1之间，则= 6﹣7 ．


【考点】二次根式的化简求值．


【专题】计算题．


【分析】先把化简求出a+b的值，再根据a为正整数，b在0，1之间求出符合条件的a的值，求出对应的b的值，代入原式进行计算即可．


【解答】解：∵===5﹣．


∴a+b=5﹣．


∵a为正整数，b在0，1之间，


∴a=3，b=2﹣，


∴==6﹣7．


故答案为：6﹣7．


【点评】本题考查的是二次根式的化简求值及估算无理数的大小，根据题意求出符合条件的a、b的值是解答此题的关键．





14．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2．以AC为一边，在△ABC外部作等腰直角三角形ACD，则线段BD的长为 4或2或 ．


【考点】勾股定理．


【专题】压轴题；分类讨论．


【分析】分情况讨论，①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC；②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD；③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC．分别画图，并求出BD．


【解答】解：①以A为直角顶点，向外作等腰直角三角形DAC，





∵∠DAC=90°，且AD=AC，


∴BD=BA+AD=2+2=4；


②以C为直角顶点，向外作等腰直角三角形ACD，





连接BD，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于E．


∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACD=90°，


∴∠DCE=45°，


又∵DE⊥CE，


∴∠DEC=90°，


∴∠CDE=45°，


∴CE=DE=2×=，


在Rt△BAC中，BC==2，


∴BD===2；


③以AC为斜边，向外作等腰直角三角形ADC，





∵∠ADC=90°，AD=DC，且AC=2，


∴AD=DC=ACsin45°=2×=，


又∵△ABC、△ADC是等腰直角三角形，


∴∠ACB=∠ACD=45°，


∴∠BCD=90°，


又∵在Rt△ABC中，BC==2，


∴BD===．


故BD的长等于4或2或．


【点评】分情况考虑问题，主要利用了等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识．





三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）


15．计算：．


【考点】实数的运算．


【分析】先把二次根式化简后再计算．


【解答】解：原式=4+2﹣﹣，


=．


【点评】本题主要考查了实数的运算，关键是二次根式的化简求值，是中学阶段的重点．





16．已知直线y=﹣3x+6与x轴交于A点，与y轴交于B点．


（1）求A，B两点的坐标；


（2）求直线y=﹣3x+6与坐标轴围成的三角形的面积．


【考点】一次函数图象上点的坐标特征．


【分析】（1）分别令x=0、y=0求解即可得到与坐标轴的交点；


（2）根据三角形的面积公式列式计算即可得解．


【解答】解：（1）当x=0时，y=﹣3x+6=6，


当y=0时，0=﹣3x+6，x=2．


所以A（2，0），B（0，6）；





（2）直线与坐标轴围成的三角形的面积=S△ABO=×2×6=6．


【点评】此题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数y=kx+b与x轴的交点为（﹣，0），与y轴的交点为（0，b）．





17．《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：“小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h”，一辆小汽车在一条城市街道上由西向东行驶，在距路边25m处有“车速检测仪O”，测得该车从北偏西60°的A点行驶到北偏西30°的B点，所用时间为1.5s．


（1）试求该车从A点到B点的平均速度；


（2）试说明该车是否超过限速．





【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．


【专题】计算题．


【分析】（1）分别在Rt△AOC、Rt△BOC中，求得AC、BC的长，从而求得AB的长．已知时间则可以根据路程公式求得其速度．


（2）将限速与其速度进行比较，若大于限速则超速，否则没有超速．此时注意单位的换算．


【解答】解：（1）在Rt△AOC中，AC=OC•tan∠AOC=25×tan60°=25m，


在Rt△BOC中，BC=OC•tan∠BOC=25×tan30°=m，


∴AB=AC﹣BC=（m）．


∴小汽车从A到B的速度为÷=（m/s）．





（2）∵70km/h=m/s=m/s，


又∵≈＜，


∴小汽车没有超过限速．


【点评】此题主要考查学生对方向角的掌握及单位的换算与比较的能力，难易程度适中．





18．已知a，b，c是△ABC的三边，且a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200=0，试判断△ABC的形状．


【考点】因式分解的应用．


【分析】通过对式子分组分解因式，整理得到a、b、c的值，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．


【解答】解：∵a2+b2+c2﹣12a﹣16b﹣20c+200=0，


∴（a﹣6）2+（b﹣8）2+（c﹣10）2=0，


∴（a﹣6）=0，（b﹣8）=0，（c﹣10）=0，


∴a=6，b=8，c=10，


∵62+82=102，


∴a2+b2=c2，


∴△ABC是直角三角形．


【点评】本题考查了因式分解的应用．解答此题要用到勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理知a2+b2=c2，△ABC是直角三角形．





四、（共4小题，每小题8分，共32分）


19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．


（1）求证：AF=DC；


（2）若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．





【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．


【分析】（1）根据AAS证△AFE≌△DBE，推出AF=BD，即可得出答案；


（2）得出四边形ADCF是平行四边形，根据直角三角形斜边上中线性质得出CD=AD，根据菱形的判定推出即可．


【解答】（1）证明：∵AF∥BC，


∴∠AFE=∠DBE，


∵E是AD的中点，AD是BC边上的中线，


∴AE=DE，BD=CD，


在△AFE和△DBE中





∴△AFE≌△DBE（AAS），


∴AF=BD，


∴AF=DC．





（2）四边形ADCF是菱形，


证明：AF∥BC，AF=DC，


∴四边形ADCF是平行四边形，


∵AC⊥AB，AD是斜边BC的中线，


∴AD=BC=DC，


∴平行四边形ADCF是菱形．


【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定，菱形的判定的应用，主要考查学生的推理能力．





20．某超市计划购进一批甲、乙两种玩具，若甲种玩具的进价为每件30元，乙种玩具的进价为每件27元；


（1）如果购进甲种玩具有优惠，优惠方法是：购进甲种玩具超过20件，超出部分可以享受七折优惠；若购进x（x＞0）件甲种玩具需要花费y元，请你求出y与x的函数关系；


（2）在（1）的条件下，超市决定在甲、乙两种玩具中选购一种，且数量超过20件，请你帮助超市判断购进哪种玩具省钱．


【考点】一次函数的应用．


【分析】（1）分两种情况：不超过20件时，每件30元可列表达式；超过20件时，总花费=前20件的总费用+超出部分的费用，列式即可；


（2）由（1）知，超过20件时选购甲的费用为21x+180，选购乙的费用为27x，比较大小可得x的取值情况．


【解答】解：（1）当0＜x≤20时，y=30x，


当x＞20时，y=30×20+30×0.7（x﹣20）=21x+180，


即y=；


（2）根据题意，购买x件甲玩具需（21x+180）元，购买x件乙玩具需27x元，


若21x+180＜27x，即x＞30时，选甲玩具；


若21x+180=27x，即x=30时，甲、乙玩具花钱一样多；


若21x+180＞27x，即x＜30时，选乙玩具；


综上，购买数量为30件时，甲乙玩具花钱一样多；购买数量在20到30件时，选乙种玩具；购买数量超过30件时，选甲种玩具；


【点评】本题主要考查一次函数的实际应用能力，当数量超过20件时准确找到相等关系列出函数关系式是关键．





21．如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．


（1）三角形有 无数 条面积等分线，平行四边形有 无数 条面积等分线；


（2）如图①所示，在矩形中剪去一个小正方形，请画出这个图形的一条面积等分线；


（3）如图②，四边形ABCD中，AB与CD不平行，AB≠CD，且S△ABC＜S△ACD，过点A画出四边形ABCD的面积等分线，并写出理由．





【考点】面积及等积变换；平行线之间的距离；三角形的面积；平行四边形的性质；矩形的性质．


【专题】压轴题．


【分析】（1）读懂面积等分线的定义，得出三角形的面积等分线；平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线；


（2）由（1）知，矩形的一条对角线所在的直线就是矩形的一条面积等分线；


（3）能．过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．根据“△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等”推知S△ABC=S△AEC；然后由“割补法”可以求得S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED．


【解答】解：（1）在△ABC中，做BC的中线AD，在这BC上任意取一点E，并将其与顶点A相连，过中点D做它的平行线，交AC与点F，连接EF，即是△ABC的面积等分线．因为连接EF，设EF与AD交于点O，作中线后，△ABD与△ACD的面积相等，即S四边形ABEO+S△EOD=S△AFO+S四边形FODC．作平行线后，连接EF，设EF与AD交于点O，则△AOF与△EOD面积相等，那么S四边形ABEO+S△AFO=S△EOD+S四边形FODC，即S四边形ABEF=S△EFC，因此直线EF将△ABC分成了面积相等的两部分，是三角形的面积等分线．因此，按这样的做法，可以作无数条三角形的面积等分线；对于平行四边形应该有无数条，只要过两条对角线的交点的直线都可以把平行四边形的面积分成2个相等的部分；


故答案是：无数；无数；





（2）如图①所示：连接2个矩形的对角线的交点的直线即把这个图形分成2个相等的部分．即OO′为这个图形的一条面积等分线；





（3）如图②所示．能，过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E，连接AE．


∵BE∥AC，


∴△ABC和△AEC的公共边AC上的高也相等，


∴有S△ABC=S△AEC，


∴S四边形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED；


∵S△ACD＞S△ABC，


所以面积等分线必与CD相交，取DE中点F，则直线AF即为要求作的四边形ABCD的面积等分线．


【点评】本题考查了学生的阅读理解能力、运用作图工具的能力，以及运用三角形、等底等高性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．还渗透了由“特殊”到“一般”的数学思想．





22．化简+﹣．


【考点】二次根式的性质与化简．


【分析】根据二次根式的性质把原式变形，分x＜﹣3、﹣3≤x≤1、1＜x≤2、x＞2四种情况，根据绝对值的性质计算即可．


【解答】解：原式=+﹣=|x+3|+|x﹣1|+|x﹣2|，


当x＜﹣3时，原式=﹣（x+3）﹣（x﹣1）+（x﹣2）=﹣x﹣4，


当﹣3≤x≤1时，原式=（x+3）﹣（x﹣1）+（x﹣2）=﹣x+2，


当1＜x≤2时，原式=（x+3）+（x﹣1）+（x﹣2）=3x，


当x＞2时，原式=（x+3）+（x﹣1）﹣（x﹣2）=x+4．


【点评】本题考查的是二次根式的性质与化简，掌握二次根式的性质： =|a|是解题的关键．





五、（本大题1小题，共10分）


23．准备一张矩形纸片，按如图操作：


将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．


（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；


（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．





【考点】翻折变换（折叠问题）；平行四边形的判定；菱形的性质．


【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形和折叠的性质可得EB∥DF，DE∥BF，根据平行四边形判定推出即可．


（2）求出∠ABE=30°，根据直角三角形性质求出AE、BE，再根据菱形的面积计算即可求出答案．


【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，


∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，[来源:ZXXK]


∴∠ABD=∠CDB，


∴∠EBD=∠ABD=∠FDB，


∴EB∥DF，


∵ED∥BF，


∴四边形BFDE为平行四边形．





（2）解：∵四边形BFDE为菱形，


∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，


∵四边形ABCD是矩形，


∴AD=BC，∠ABC=90°，


∴∠ABE=30°，


∵∠A=90°，AB=2，


∴AE==，BF=BE=2AE=，


故菱形BFDE的面积为：×2=．


【点评】本题考查了平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，含30度角的直角三角形性质的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．





六、（本大题共1小题，12分）


24．如图所示，在平面直角坐标系中，已知一次函数y=x+1的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD．


（1）求边AB的长；


（2）求点C，D的坐标；


（3）在x轴上是否存在点M，使△MDB的周长最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．





【考点】一次函数综合题．


【专题】综合题；一次函数及其应用．


【分析】（1）在直角三角形AOB中，由OA与OB的长，利用勾股定理求出AB的长即可；


（2）过C作y轴垂线，过D作x轴垂线，分别交于点E，F，可得三角形CBE与三角形ADF与三角形AOB全等，利用全等三角形对应边相等，确定出C与D坐标即可；


（3）作出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，连接BD，BM，此时△MDB周长最小，求出此时M的坐标即可．


【解答】解：（1）对于直线y=x+1，令x=0，得到y=1；令y=0，得到x=﹣2，


∴A（﹣2，0），B（0，1），


在Rt△AOB中，OA=2，OB=1，


根据勾股定理得：AB==；


（2）作CE⊥y轴，DF⊥x轴，可得∠CEB=∠AFD=∠AOB=90°，





∵正方形ABCD，


∴BC=AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，


∴∠DAF+∠BAO=90°，∠ABO+∠CBE=90°，


∵∠DAF+∠ADF=90°，∠BAO+∠ABO=90°，


∴∠BAO=∠ADF=∠CBE，


∴△BCE≌△DAF≌ABO，


∴BE=DF=OA=2，CE=AF=OB=1，


∴OE=OB+BE=2+1=3，OF=OA+AF=2+1=3，


∴C（﹣1，3），D（﹣3，2）；


（3）找出B关于x轴的对称点B′，连接B′D，与x轴交于点M，此时△BMD周长最小，





∵B（0，1），


∴B′（0，﹣1），


设直线B′D的解析式为y=kx+b，


把B′与D坐标代入得：，


解得：，即直线B′D的解析式为y=﹣x﹣1，


令y=0，得到x=﹣1，即M（﹣1，0）．


【点评】此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定一次函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．