专题九 解三角形及其应用-2021届高三《新题速递•数学》1月刊（江苏专用 适用于高考复习）

专题九     解三角形及其应用

一、单选题

1．（2020·全国高三专题练习（理））下列命题中错误的是（    ）

A．若､是的两个内角，且，则

B．若､为锐角，，，则

C．半径为，圆心角的弧度数为的扇形面积为

D．若､､分别为的内角､､的对边，且，则是钝角三角形

2．（2021·河南郑州市·高三一模（文））刘徽(约公元225年-295年)，魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，这个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想得到的近似值为（    ）

A． B．

C． D．

3．（2021·浙江高三学业考试）在中，角所对的边分别为，若，则（    ）

A． B．或 C． D．或

4．（2021·全国高三专题练习（理））秦九韶，字道古，汉族，鲁郡（今河南范县）人，南宋著名数学家，精研星象、音律、算术、诗词、弓、剑、营造之学．1208年出生于普州安岳（今四川安岳），咸淳四年（1268）二月，在梅州辞世． 与李冶、杨辉、朱世杰并称宋元数学四大家．他在著作《数书九章》中创用了“三斜求积术”，即是已知三角形的三条边长，求三角形面积的方法．其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为，若满足，，且a<b<c，则用“三斜求积”公式求得的面积为（    ）

A． B．

C．1 D．

5．（2020·镇远县文德民族中学校高三月考（理））在中，内角、、所对的边分别为，若的面积为，则（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·平罗中学高二月考）在中，，，，则此三角形的解的情况是（    ）

A．有两解 B．有一解 C．无解 D．有无数个解

7．（2020·平罗中学高二月考）已知中，，，，则其面积等于（    ）

A．或 B． C．或 D．

8．（2020·江苏高一课时练习）如图，设、两点在水库的两岸，测量者在的同侧的库边选定一点，测出的距离为m，，，就可以计算出、两点的距离为（　　）

A．m B．m C．m D．m

9．（2020·江苏高一课时练习）某快递公司在我市的三个门店A，B，C分别位于一个三角形的三个顶点处，其中门店A，B与门店C都相距akm，而门店A位于门店C的北偏东50°方向上，门店B位于门店C的北偏西70°方向上，则门店A，B间的距离为（　　）

A．akm B． C． D．2akm

10．（2020·福建泉州市·高二期中）在中，，，，则（    ）

A． B． C． D．

11．（2020·河南高二月考（理））设的内角，，所对边的长分别为，，.若，，则角（    ）

A． B． C． D．

第II卷（非选择题）

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二、解答题

12．（2020·全国高三专题练习（文））中，、、分别为的内角、、的对边，且.

（1）求角的大小；

（2）若，求的最大值；

（3）求的值.

13．（2020·全国高三专题练习（理））在中，角、、的对边分别为、、，已知面积为，，.

（1）求；

（2）求的外接圆的周长和内切圆的周长.

14．（2021·河南郑州市·高三一模（文））在中，角的对边分别为，已知.

（1）求边的长﹔

（2）在边上取一点，使得，求的值.

15．（2020·上海奉贤区·高三一模）在①；②；③三边成等比数列.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求解此三角形的边长和角的大小；若问题中的三角形不存在，请说明理由.

问题：是否存在，它的内角、、的对边分别为、、，且，，______________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

16．（2021·江苏泰州市·高三期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，，成等差数列.

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值.

17．（2021·天津高三期末）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，的面积为.

（1）求，，的值；

（2）求的值.

18．（2021·兴宁市第一中学高三期末）设的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c且，.

（1）求；

（2）当取最小值时，求的面积.

19．（2021·兴宁市第一中学高三期末）在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的面积；若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，__________，？

20．（2020·四川成都市·高三一模（文））在中，点在边上，，，．

（1）求角的大小；

（2）若，求的面积．

21．（2020·四川凉山彝族自治州·高三一模（理））已知函数(，，)的部分图象如图所示，为图象与轴的交点，，分别为图象的最高点和最低点，中，角，，所对的边分别为，，，的面积.

（1）求的角的大小；

（2）若，点的坐标为，求的最小正周期及的值.

22．（2020·天津河北区·高三期末）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

（1）求角B的大小；

（2）若，求的值；

（3）若，，求边a的值.

23．（2020·广东高三一模）从条件①，②，③中任选一个，补充在下面的问题中，并给出解答．

在中，内角，，所对的边分别为，，，且，，________，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分．

24．（2021·天津高三期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足，．

（1）求的值；

（2）求的值．

25．（2021·天津滨海新区·高三月考）已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，三角形的面积为.

（1）求边上的高：

（2）求.

26．（2021·湖南株洲市·高三一模）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答.

已知的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，，，若______，求角B的值与的面积.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）

27．（2020·海原县第一中学高二期中（理））四边形的内角A与C互补，

（1）求角C；

（2）求四边形的面积

28．（2021·河北张家口市·）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中.若问题中的三角形存在，请求出；若问题中的三角形不存在，请说明理由.

问题：是否存在，满足且，________________？注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

29．（2020·江苏高一课时练习）如图所示，高邮漫水公路AB一侧有一块空地OAB，其OA＝6km， km，∠AOB＝90°．市政府拟在中间开挖一个人工湖OMN，其中M，N都在边AB上

（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．

（1）若M在距离A点4km处，求点M，N之间的距离；

（2）为节省投入资金，人工湖OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使OMN的面积最小，并求出最小面积．

30．（2020·重庆九龙坡区·渝西中学高三月考（理））在中，角，，所对的边分别为，，，，，．

（1）求的值；             

（2）若为锐角三角形，求的面积．

31．（2020·海口市·海南中学高三月考）如图所示，有一段河流，河的一侧是一段笔直的河岸l，河岸l边有一烟囱不计B离河岸的距离，河的另一侧是以O为圆心，半径为12米的扇形区域OCD，且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为，，和.

（1）求烟囱AB的高度；

（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长.

32．（2020·江苏高一课时练习）如图，已知平面四边形中，为正三角形，，，记四边形的面积为.

（1）将表示为的函数；

（2）求的最大值及相应的值.

33．（2020·贵州贵阳一中高三月考（文））在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足

（1）求角C的大小；

（2）若a=，b=c，求△ABC的面积

34．（2020·梅河口市第五中学高三月考（文））在的中，角，，的对边分别为，且

（1）求角；

（2）若，求的取值范围.

35．（2020·山东济南市·高三开学考试）在四边形中，，是上的点且满足与相似，，，.

（1）求的长度；

（2）求三角形面积的最大值.

36．（2020·北京海淀区·人大附中高三期中）已知．

（1）求的单调递减区间；

（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，求面积的最大值．

37．（2020·浙江高一期末）在锐角中，角所对的边分别是a，b，c，.

（1）求角A的大小；

（2）求的取值范围.

38．（2020·浙江高三月考）在中，角，，的对边分别为，，，.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围.

三、填空题

39．（2020·全国高三专题练习（理））在中，、、分别为内角、、的对边，，则_____

40．（2020·四川内江市·高三一模（文））在中，角、、的对边分别为、、，且，，的面积为，则的值为______．

41．（2020·上海浦东新区·高三一模）在中，若，，，则_________.

42．（2020·上海松江区·高三一模）在中，角A，B，C对的边分别为a，b，c，且，则角____.

43．（2020·广东高三一模）在中，若，则是________三角形．

44．（2020·陕西宝鸡市·高三月考（理））在有一个内角为的中，三边长分别为x，，，则的面积为______.

45．（2020·四川省成都列五中学高二期中（理））如图，河的一侧是以点为圆心，米为半径的扇形区域，河的另一侧有一建筑物垂直于水平面、假设扇形与点处于同一水平面上，记交于点．若在点，，处看点的仰角分别为45°，30°和60°，则的余弦值为______．

46．（2020·中山市华侨中学高二月考）设的内角所对的边分别为，已知，则的取值范围为__________.