浙江省舟山市2020年中考数学真题试卷含解析

这是一份浙江省舟山市2020年中考数学真题试卷含解析，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m．数36000000用科学记数法表示为（ ）


A．0.36×108B．36×107C．3.6×108D．3.6×107


2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）





A．B．C．D．


3．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ）


A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．方差是3.2


4．一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（ ）


A．B．


C．D．


5．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）





A．（﹣1，﹣1）B．（﹣，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）


6．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）


A．B．


C．D．


7．如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）





A．2B．C．D．


8．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）


A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3


9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：


①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；


②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；


③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．


则⊙O的半径为（ ）





A．2B．10C．4D．5


10．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（ ）


A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值


B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值


C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值


D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值


二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）


11．分解因式：x2﹣9＝ ．


12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： ，使▱ABCD是菱形．





13．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．





14．如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为 ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为 ．





15．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ．


16．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为 cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 cm．





三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）


17．（1）计算：（2020）0﹣+|﹣3|；


（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．


18．比较x2+1与2x的大小．


（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：


①当x＝1时，x2+1 2x；


②当x＝0时，x2+1 2x；


③当x＝﹣2时，x2+1 2x．


（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．


19．已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：


小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．





20．经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．


（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．


（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．





21．小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区A、B、C三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：





根据上述三个统计图，请解答：


（1）2014～2019年三种品牌电视机销售总量最多的是 品牌，月平均销售量最稳定的是 品牌．


（2）2019年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？


（3）货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．


22．为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：








（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？


（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）





23．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．


活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．


【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．


【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．


活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．


【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．





24．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．


（1）求该抛物线的函数表达式．


（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．


①求OD的长．


②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．











参考答案


一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）


1．2020年3月9日，中国第54颗北斗导航卫星成功发射，其轨道高度约为36000000m．数36000000用科学记数法表示为（ ）


A．0.36×108B．36×107C．3.6×108D．3.6×107


【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．


解：36 000 000＝3.6×107，


故选：D．


2．如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）





A．B．C．D．


【分析】找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．


解：从正面看易得第一列有2个正方形，第二列底层有1个正方形．


故选：A．


3．已知样本数据2，3，5，3，7，下列说法不正确的是（ ）


A．平均数是4B．众数是3C．中位数是5D．方差是3.2


【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和计算公式分别进行分析即可．


解：样本数据2，3，5，3，7中平均数是4，中位数是3，众数是3，方差是S2＝[（2﹣4）2+（3﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（7﹣4）2]＝3.2．


故选：C．


4．一次函数y＝2x﹣1的图象大致是（ ）


A．B．


C．D．


【分析】根据一次函数的性质，判断出k和b的符号即可解答．


解：由题意知，k＝2＞0，b＝﹣1＜0时，函数图象经过一、三、四象限．


故选：B．


5．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（ ）





A．（﹣1，﹣1）B．（﹣，﹣1）C．（﹣1，﹣）D．（﹣2，﹣1）


【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以﹣即可．


解：∵以点O为位似中心，位似比为，


而A （4，3），


∴A点的对应点C的坐标为（﹣，﹣1）．


故选：B．


6．不等式3（1﹣x）＞2﹣4x的解在数轴上表示正确的是（ ）


A．B．


C．D．


【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得不等式的解集，继而可得答案．


解：去括号，得：3﹣3x＞2﹣4x，


移项，得：﹣3x+4x＞2﹣3，


合并，得：x＞﹣1，


故选：A．


7．如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（ ）





A．2B．C．D．


【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解．


解：作AM⊥BC于M，如图：


重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形．


∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC，


∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°，


∴AM＝BM＝，


∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝，


∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝×＝；


故选：C．





8．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（ ）


A．①×2﹣②B．②×（﹣3）﹣①C．①×（﹣2）+②D．①﹣②×3


【分析】方程组利用加减消元法变形即可．


解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意；


B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意；


C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意；


D、①﹣②×3无法消元，符合题意．


故选：D．


9．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝8，按下列步骤作图：


①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB，AC于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；


②分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径作弧相交于点M，N，作直线MN，交射线AH于点O；


③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆．


则⊙O的半径为（ ）





A．2B．10C．4D．5


【分析】如图，设OA交BC于T．解直角三角形求出AT，再在Rt△OCT中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．


解：如图，设OA交BC于T．





∵AB＝AC＝2，AO平分∠BAC，


∴AO⊥BC，BT＝TC＝4，


∴AE＝＝＝2，


在Rt△OCT中，则有r2＝（r﹣2）2+42，


解得r＝5，


故选：D．


10．已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时m≤y≤n，则下列说法正确的是（ ）


A．当n﹣m＝1时，b﹣a有最小值


B．当n﹣m＝1时，b﹣a有最大值


C．当b﹣a＝1时，n﹣m无最小值


D．当b﹣a＝1时，n﹣m有最大值


【分析】①当b﹣a＝1时，先判断出四边形BCDE是矩形，得出BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，进而得出AC＝n﹣m，即tan＝n﹣m，再判断出0°≤∠ABC＜90°，即可得出n﹣m的范围；


②当n﹣m＝1时，同①的方法得出NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，进而得出MH＝n﹣m＝1，而tan∠MHN＝，再判断出45°≤∠MNH＜90°，即可得出结论．


解：①当b﹣a＝1时，如图1，


过点B作BC⊥AD于C，


∴∠BCD＝90°，


∵∠ADE＝∠BED＝90°，


∴∠ADD＝∠BCD＝∠BED＝90°，


∴四边形BCDE是矩形，


∴BC＝DE＝b﹣a＝1，CD＝BE＝m，


∴AC＝AD﹣CD＝n﹣m，


在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝n﹣m，


∵点A，B在抛物线y＝x2上，


∴0°≤∠ABC＜90°，


∴tan∠ABC≥0，


∴n﹣m≥0，


即n﹣m无最大值，有最小值，最小值为0，故选项C，D都错误；





②当n﹣m＝1时，如图2，


过点N作NH⊥MQ于H，


同①的方法得，NH＝PQ＝b﹣a，HQ＝PN＝m，


∴MH＝MQ﹣HQ＝n﹣m＝1，


在Rt△MHQ中，tan∠MNH＝＝，


∵点M，N在抛物线y＝x2上，


∴m≥0，


当m＝0时，n＝1，


∴点N（0，0），M（1，1），


∴NH＝1，


此时，∠MNH＝45°，


∴45°≤∠MNH＜90°，


∴tan∠MNH≥1，


∴≥1，


∴b﹣a无最小值，有最大值，最大值为1，故选项A错误；


故选：B．








二、填空题（本题有6小题，每题4分，共24分）


11．分解因式：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．


【分析】本题中两个平方项的符号相反，直接运用平方差公式分解因式．


解：x2﹣9＝（x+3）（x﹣3）．


故答案为：（x+3）（x﹣3）．


12．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： AD＝DC（答案不唯一） ，使▱ABCD是菱形．





【分析】根据菱形的定义得出答案即可．


解：∵邻边相等的平行四边形是菱形，


∴平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：可以为：AD＝DC；


故答案为：AD＝DC（答案不唯一）．


13．一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是 ．





【分析】直接利用概率公式求解．


解：蚂蚁获得食物的概率＝．


故答案为．


14．如图，在半径为的圆形纸片中，剪一个圆心角为90°的最大扇形（阴影部分），则这个扇形的面积为 π ；若将此扇形围成一个无底的圆锥（不计接头），则圆锥底面半径为 ．





【分析】由勾股定理求扇形的半径，再根据扇形面积公式求值；根据扇形的弧长等于底面周长求得底面半径即可．


解：连接BC，


由∠BAC＝90°得BC为⊙O的直径，


∴BC＝2，


在Rt△ABC中，由勾股定理可得：AB＝AC＝2，


∴S扇形ABC＝＝π；


∴扇形的弧长为：＝π，


设底面半径为r，则2πr＝π，


解得：r＝，


故答案为：π，．





15．数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程 ＝ ．


【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列方程即可得到结论．


解：根据题意得，＝，


故答案为：＝．


16．如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝5cm，BC＝2cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．当点B'恰好落在边CD上时，线段BM的长为 cm；在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为 （﹣） cm．





【分析】第一个问题证明BM＝MB′＝NB′，求出NB即可解决问题．第二个问题，探究点E的运动轨迹，寻找特殊位置解决问题即可．


解：如图1中，





∵四边形ABCD是矩形，


∴AB∥CD，


∴∠1＝∠3，


由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，


∴∠2＝∠3，


∴MB′＝NB′，


∵NB′＝＝＝（cm），


∴BM＝NB′＝（cm）．


如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，


在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x＝，


∴DE＝4﹣＝（cm），


如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），


如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝5﹣1﹣＝（4﹣）（cm），


∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝2﹣+2﹣（4﹣）＝（﹣）（cm）．





故答案为，（﹣）．


三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）


17．（1）计算：（2020）0﹣+|﹣3|；


（2）化简：（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）．


【分析】（1）直接利用零指数幂的性质和二次根式的性质、绝对值的性质分别化简得出答案；


（2）直接利用平方差公式以及单项式乘以多项式计算得出答案．


解：（1）（2020）0﹣+|﹣3|


＝1﹣2+3


＝2；





（2）（a+2）（a﹣2）﹣a（a+1）


＝a2﹣4﹣a2﹣a


＝﹣4﹣a．


18．比较x2+1与2x的大小．


（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：


①当x＝1时，x2+1 ＝ 2x；


②当x＝0时，x2+1 ＞ 2x；


③当x＝﹣2时，x2+1 ＞ 2x．


（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．


【分析】（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；


（2）根据完全平方公式，可得答案．


解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；


②当x＝0时，x2+1＞2x；


③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．


（2）x2+1≥2x．


证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，


∴x2+1≥2x．


故答案为：＝；＞；＞．


19．已知：如图，在△OAB中，OA＝OB，⊙O与AB相切于点C．求证：AC＝BC．小明同学的证明过程如下框：


小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程．





【分析】连结OC，根据切线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．


解：证法错误；


证明：连结OC，


∵⊙O与AB相切于点C，


∴OC⊥AB，


∵OA＝OB，


∴AC＝BC．


20．经过实验获得两个变量x（x＞0），y（y＞0）的一组对应值如下表．


（1）请画出相应函数的图象，并求出函数表达式．


（2）点A（x1，y1），B（x2，y2）在此函数图象上．若x1＜x2，则y1，y2有怎样的大小关系？请说明理由．





【分析】（1）利用描点法即可画出函数图象，再利用待定系数法即可得出函数表达式．


（2）根据反比例函数的性质解答即可．


解：（1）函数图象如图所示，设函数表达式为，


把x＝1，y＝6代入，得k＝6，


∴函数表达式为；





（2）∵k＝6＞0，


∴在第一象限，y随x的增大而减小，


∴0＜x1＜x2时，则y1＞y2．


21．小吴家准备购买一台电视机，小吴将收集到的某地区A、B、C三种品牌电视机销售情况的有关数据统计如下：





根据上述三个统计图，请解答：


（1）2014～2019年三种品牌电视机销售总量最多的是 B 品牌，月平均销售量最稳定的是 C 品牌．


（2）2019年其他品牌的电视机年销售总量是多少万台？


（3）货比三家后，你建议小吴家购买哪种品牌的电视机？说说你的理由．


【分析】（1）从条形统计图、折线统计图可以得出答案；


（2）求出总销售量，“其它”的所占的百分比；


（3）从市场占有率、平均销售量等方面提出建议．


解：（1）由条形统计图可得，2014～2019年三种品牌电视机销售总量最多的是B品牌，是1746万台；


由条形统计图可得，2014～2019年三种品牌电视机月平均销售量最稳定的是C品牌，比较稳定，极差最小；


故答案为：B，C；


（2）∵20×12÷25%＝960（万台），1﹣25%﹣29%﹣34%＝12%，


∴960×12%＝115.2（万台）；


答：2019年其他品牌的电视机年销售总量是115.2万台；


（3）建议购买C品牌，因为C品牌2019年的市场占有率最高，且5年的月销售量最稳定；


建议购买B品牌，因为B品牌的销售总量最多，收到广大顾客的青睐．


22．为了测量一条两岸平行的河流宽度，三个数学研究小组设计了不同的方案，他们在河南岸的点A处测得河北岸的树H恰好在A的正北方向．测量方案与数据如下表：








（1）哪个小组的数据无法计算出河宽？


（2）请选择其中一个方案及其数据求出河宽（精确到0.1m）．（参考数据：sin70°≈0.94，sin35°≈0.57，tan70°≈2.75，tan35°≈0.70）





【分析】（1）第二个小组的数据无法计算河宽．


（2）第一个小组：证明BC＝BH＝60m，解直角三角形求出AH即可．


第二个小组：设AH＝xm，则CA＝，AB＝，根据CA+AB＝CB，构建方程求解即可．


解：（1）第二个小组的数据无法计算河宽．


（2）第一个小组的解法：∵∠ABH＝∠ACH+∠BHC，∠ABH＝70°，∠ACH＝35°，


∴∠BHC＝∠BCH＝35°，


∴BC＝BH＝60m，


∴AH＝BH•sin70°＝60×0.94≈56.4（m）．


第二个小组的解法：设AH＝xm，


则CA＝，AB＝，


∵CA+AB＝CB，


∴+＝101，


解得x≈56.4．


答：河宽为56.4m．


23．在一次数学研究性学习中，小兵将两个全等的直角三角形纸片ABC和DEF拼在一起，使点A与点F重合，点C与点D重合（如图1），其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝3cm，AC＝DF＝4cm，并进行如下研究活动．


活动一：将图1中的纸片DEF沿AC方向平移，连结AE，BD（如图2），当点F与点C重合时停止平移．


【思考】图2中的四边形ABDE是平行四边形吗？请说明理由．


【发现】当纸片DEF平移到某一位置时，小兵发现四边形ABDE为矩形（如图3）．求AF的长．


活动二：在图3中，取AD的中点O，再将纸片DEF绕点O顺时针方向旋转α度（0≤α≤90），连结OB，OE（如图4）．


【探究】当EF平分∠AEO时，探究OF与BD的数量关系，并说明理由．





【分析】【思考】


由全等三角形的性质得出AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，则AB∥DE，可得出结论；


【发现】


连接BE交AD于点O，设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），得出OF＝OA﹣AF＝2﹣x，由勾股定理可得，解方程求出x，则AF可求出；


【探究】


如图2，延长OF交AE于点H，证明△EFO≌△EFH（ASA），得出EO＝EH，FO＝FH，则∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，可证得△EOH≌△OBD（AAS），得出BD＝OH，则结论得证．


解：【思考】四边形ABDE是平行四边形．


证明：如图，∵△ABC≌△DEF，


∴AB＝DE，∠BAC＝∠EDF，


∴AB∥DE，


∴四边形ABDE是平行四边形；


【发现】如图1，连接BE交AD于点O，





∵四边形ABDE为矩形，


∴OA＝OD＝OB＝OE，


设AF＝x（cm），则OA＝OE＝（x+4），


∴OF＝OA﹣AF＝2﹣x，


在Rt△OFE中，∵OF2+EF2＝OE2，


∴，


解得：x＝，


∴AF＝cm．


【探究】BD＝2OF，


证明：如图2，延长OF交AE于点H，





∵四边形ABDE为矩形，


∴∠OAB＝∠OBA＝∠ODE＝∠OED，OA＝OB＝OE＝OD，


∴∠OBD＝∠ODB，∠OAE＝∠OEA，


∴∠ABD+∠BDE+∠DEA+∠EAB＝360°，


∴∠ABD+∠BAE＝180°，


∴AE∥BD，


∴∠OHE＝∠ODB，


∵EF平分∠OEH，


∴∠OEF＝∠HEF，


∵∠EFO＝∠EFH＝90°，EF＝EF，


∴△EFO≌△EFH（ASA），


∴EO＝EH，FO＝FH，


∴∠EHO＝∠EOH＝∠OBD＝∠ODB，


∴△EOH≌△OBD（AAS），


∴BD＝OH＝2OF．


24．在篮球比赛中，东东投出的球在点A处反弹，反弹后球运动的路线为抛物线的一部分（如图1所示建立直角坐标系），抛物线顶点为点B．


（1）求该抛物线的函数表达式．


（2）当球运动到点C时被东东抢到，CD⊥x轴于点D，CD＝2.6m．


①求OD的长．


②东东抢到球后，因遭对方防守无法投篮，他在点D处垂直起跳传球，想将球沿直线快速传给队友华华，目标为华华的接球点E（4，1.3）．东东起跳后所持球离地面高度h1（m）（传球前）与东东起跳后时间t（s）满足函数关系式h1＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7（0≤t≤1）；小戴在点F（1.5，0）处拦截，他比东东晚0.3s垂直起跳，其拦截高度h2（m）与东东起跳后时间t（s）的函数关系如图2所示（其中两条抛物线的形状相同）．东东的直线传球能否越过小戴的拦截传到点E？若能，东东应在起跳后什么时间范围内传球？若不能，请说明理由（直线传球过程中球运动时间忽略不计）．





【分析】（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），将A（0，3）代入求解即可得出答案；


（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，解方程求出x，即可得出OD＝1m；


②东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，设MD＝h1，NF＝h2，当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，证明△MPN∽△NEH，得出，则NH＝5MP．分不同情况：（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，分别求出t的范围可得出答案．


解：（1）设y＝a（x﹣0.4）2+3.32（a≠0），


把x＝0，y＝3代入，解得a＝﹣2，


∴抛物线的函数表达式为y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32．


（2）①把y＝2.6代入y＝﹣2（x﹣0.4）2+3.32，


化简得（x﹣0.4）2＝0.36，


解得x1＝﹣0.2（舍去），x2＝1，


∴OD＝1m．


②东东的直线传球能越过小戴的拦截传到点E．


由图1可得，当0≤t≤0.3时，h2＝2.2．





当0.3＜t≤1.3时，h2＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7．


当h1﹣h2＝0时，t＝0.65，


东东在点D跳起传球与小戴在点F处拦截的示意图如图2，


设MD＝h1，NF＝h2，


当点M，N，E三点共线时，过点E作EG⊥MD于点G，交NF于点H，过点N作NP⊥MD于点P，





∴MD∥NF，PN∥EG，


∴∠M＝∠HEN，∠MNP＝∠NEH，


∴△MPN∽△NEH，


∴，


∵PN＝0.5，HE＝2.5，


∴NH＝5MP．


（Ⅰ）当0≤t≤0.3时，


MP＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣2.2＝﹣2（t﹣0.5）2+0.5，


NH＝2.2﹣1.3＝0.9．


∴5[﹣2（t﹣0.5）2+0.5]＝0.9，


整理得（t﹣0.5）2＝0.16，


解得（舍去），，


当0≤t≤0.3时，MP随t的增大而增大，


∴．


（Ⅱ）当0.3＜t≤0.65时，MP＝MD﹣NF＝﹣2（t﹣0.5）2+2.7﹣[﹣2（t﹣0.8）2+2.7]＝﹣1.2t+0.78，


NH＝NF﹣HF＝﹣2（t﹣0.8）2+2.7﹣1.3＝﹣2（t﹣0.8）2+1.4，


∴﹣2（t﹣0.8）2+1.4＝5×（﹣1.2t+0.78），


整理得t2﹣4.6t+1.89＝0，


解得，（舍去），，


当0.3＜t≤0.65时，MP随t的增大而减小，


∴．


（Ⅲ）当0.65＜t≤1时，h1＜h2，不可能．


给上所述，东东在起跳后传球的时间范围为．





证明：连结OC，


∵OA＝OB，


∴∠A＝∠B，


又∵OC＝OC，


∴△OAC≌△OBC，


∴AC＝BC．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．
测量数据
BC＝60m，


∠ABH＝70°，


∠ACH＝35°．
BD＝20m，


∠ABH＝70°，


∠BCD＝35°．
BC＝101m，


∠ABH＝70°，


∠ACH＝35°．
证明：连结OC，


∵OA＝OB，


∴∠A＝∠B，


又∵OC＝OC，


∴△OAC≌△OBC，


∴AC＝BC．
x
1
2
3
4
5
6
y
6
2.9
2
1.5
1.2
1
课题
测量河流宽度
测量工具
测量角度的仪器，皮尺等
测量小组
第一小组
第二小组
第三小组
测量方案示意图
说明
点B，C在点A的正东方向
点B，D在点A的正东方向
点B在点A的正东方向，点C在点A的正西方向．
测量数据
BC＝60m，


∠ABH＝70°，


∠ACH＝35°．
BD＝20m，


∠ABH＝70°，


∠BCD＝35°．
BC＝101m，


∠ABH＝70°，


∠ACH＝35°．