初二数学.春.直升班.教师版.第9讲 梅涅劳斯定理

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梅涅劳斯定理
模块一 梅涅劳斯定理的应用
模块二 梅涅劳斯定理的逆定理
模块一：梅涅劳斯定理的应用
梅涅劳斯定理：如果一条直线与的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么．这条直线叫的梅氏线，叫梅氏三角形．
梅涅劳斯定理的证明：
证法一：如图，过C作CG//DF，
∵，，
∴．
证法二：如图，过A作AG//BD交DF的延长线于G，
∴，，
三式相乘即得：．
证法三：如图，分别过A、B、C作DE的垂线，
分别交于、、．则有////，
∴．
模块二：梅涅劳斯定理的逆定理
梅涅劳斯定理的逆定理：若F、D、E分别是的三边AB、BC、CA或其延长线的三点，如果，则F、D、E三点共线．
模块一 梅涅劳斯定理的应用
0
如图，在中，AD为中线，过点C任作一直线交AB于点F，交AD于点E，求证：．
∵直线是的梅氏线，∴．
而，
∴，即．
【教师备课提示】梅氏定理的主要应用是利用梅氏定理求求比例，这道题主要考查梅氏定理的直接应用．
如图，在中，AD、CE交于点F，若，，求．
∵直线是的梅氏线，
∴，
又，，
∴，∴，∴．
【教师备课提示】这道题也是梅氏定理的直接应用，但是对于梅氏定理的应用的难点，在于找梅氏线．
如图，点D、E分别在的边AC、AB上，，，BD与CE交于点F，．
求．
对和截线，由梅氏定理得：，
即，∴．∴．
∴．
【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和面积问题．
如图，在中，，，，，BF交DE于点P．求．
如图，过点作AG//DE交BC于G，交BF于O，则可得：，且．
∵直线是的梅氏线，∴．
∴．
【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和线束模型的综合．
已知AD是的高，点D在线段BC上，且，，作于点E，于点F，连接EF并延长，交BC的延长线于点G，求CG．
如图，设，EFG是的梅氏线．
则由梅涅劳斯定理．
显然的，，
于是，得．
【教师备课提示】这道题主要考查梅内劳斯定理和射影模型的综合．
如图，在中，D为BC的中点，．求．
∵HFC是的梅氏线，
∴，
∵D为BC的中点，，
∴，．
∴，
∴．
∵GEC是的梅氏线，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴．
【教师备课提示】这道题主要考查多个梅氏定理的应用，考查相对综合．
模块二 梅涅劳斯定理的逆定理
0
P是平行四边形ABCD内任意一点，过P作AD的平行线，分别交AB于E，交CD于F；又过P作AB的平行线，分别交AD于G，交BC于H，又CE，AH相交于Q．求证：D，P，Q三点共线．
对和截线DPQ，
由梅涅劳斯定理的逆定理得：
，
故D，P，Q三点共线．
【教师备课提示】这道题主要是考查梅氏定理逆定理判定三点共线．
如图，在中，的外角平分线与边BC的延长线交于点P，的平分线与边CA交于点Q，的平分线与边AB交于点R，求证：P、Q、R三点共线．
AP是的外角平分线，则 ①
BQ是的平分线，则 ②
CR是的平分线，则 ③
得，
因R在AB上，Q在CA上，P在BC的延长线上，
则根据梅涅劳斯定理的逆定理得：P、Q、R三点共线．
【教师备课提示】这道题主要考查梅氏定理和角平分线定理的综合应用．
复习巩固
模块一 梅涅劳斯定理的应用
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如图，在中，，，AD、BE交于点，求．
由AFD截可得，
又，，
∴．
如图，在中，，．AM为BC边上的中线，于点D，CD的延长线交AB于点E．求．
由题设，在中，，，
由射影定理．
对和截线EDC，由梅涅劳斯定理，
，即．
∴．
如图，在中，D为AC中点，，求证：．
∵直线AE是的梅氏线，∴．
∴，∴，
∵直线AF是的梅氏线，∴，
∴，．∴．
模块二 梅涅劳斯定理的逆定理
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如图，CD、BE、AF分别为（不是等边三角形）的三个外角平分线，分别交AB、AC、BC于D、E、F．证明：D、E、F三点共线．
过C作BE的平行线，则，
所以是等腰三角形．则．
则有：．
同理；．
所以．
所以D、E、F共线．