核心素养系列（四）数学运算-设而不求整体变化思想在圆锥曲线的应用 试卷

核心素养系列（四）数学运算——设而不求整体变换思想在圆锥曲线综合问题中的应用1.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程，解析几何正是利用数学运算解决几何问题的一门科学.2.“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简.解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：(1)灵活应用“点、线的几何性质”解题；(2)根据题意，整体消参或整体代入等.类型一　巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求【典例1】（2020·阳春市第一中学高三月考）在平面直角坐标系xOy中,双曲线的右支与焦点为F的抛物线交于A,B两点,若|AF|+|BF|=4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为________【素养指导】把x2＝2py（p＞0）→代入双曲线－＝1→a2y2﹣2pb2y+a2b2＝0→根与系数的关系→抛物线的定义及其性质→求双曲线的渐近线方程．【解析】由抛物线方程与双曲线方程联立得因此该双曲线的渐近线方程为【素养点评】联立抛物线与双曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．【素养专练】【原创】已知抛物线C：y2＝4x的焦点为，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交干M、N两点，直线l2与C交于D，E两点，则四边形MDNE面积的最小值为（   ）．A．12 B．16 C．24 D．36【答案】D【解析】由已知直线l1的斜率存在且不为0，设其方程为y＝k（x﹣1）．由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0．∵△＞0，设M（x1，y1）、N（x2，y2）∴，则|MN|＝x1+x2+2＝4（1+）；同理设D（x3，y3）、E（x4，y4），直线为∴，则|DE|＝x3+x4+2＝4（1+k2）．∴四边形MDNE的面积S＝|MN|•|DE|＝8（2+k2+）≥32．当且仅当k＝±1时，四边形BCDE的面积取得最小值32，故选D.类型二　中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法【典例2】已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（　　）A． B． C． D．【素养指导】设A（x1，y1），B（x2，y2）→代入椭圆的方程→两式相减→根据线段AB的中点坐标为（1，﹣1）→求出斜率→确定求方程．【答案】D【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，．∴，化为a2＝2b2，又c＝3，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．故选D．【素养点评】本题设出A，B两点的坐标，却不求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．【素养专练】1.（2017·莆田第九中学高二期中（理））椭圆内有一点P（3,2），过P点的弦恰好以P点为中点，则此弦所在的直线方程为            ．【答案】【解析】设过点的直线与椭圆交于两点其中点，则将两点代入题意方程作差可得：，即．所以直线方程为，整理可得，故答案为．2.抛物线y2＝2x上存在两点关于直线y＝m（x﹣4）对称，则m的范围是　　．【答案】【解析】设抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y＝m（x﹣4）对称，A，B中点M（x，y），则当m＝0时，有直线y＝0，显然存在点关于它对称．当m≠0时，，可得，所以y＝﹣m，所以M的坐标为（3，﹣m），因为M在抛物线内，则有2×3＞（﹣m）2，得且m≠0，综上所述，m∈．类型三　求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求【例4】已知F为抛物线C：y2＝2x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________.【素养指导】设出直线方程联立方程组→求解距离的和→利用基本不等式求解即可．【答案】8【解析】由题意知，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，F，设l1：x＝ty＋，则直线l1的斜率为，联立方程得，消去x得y2－2ty－1＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－1.所以|AB|＝＝2t2＋2，同理得，用替换t可得|DE|＝＋2，所以|AB|＋|DE|＝2＋4≥4＋4＝8，当且仅当t2＝，即t＝±1时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8.【素养点评】在运用圆锥曲线问题中的设而不求方法技巧时，需要做到：①凡是不必直接计算就能更简洁地解决问题的，都尽可能实施“设而不求”；②“设而不求”不可避免地要设参、消参，而设参的原则是宜少不宜多．【素养专练】已知F为椭圆C：的左焦点，过F作两条互相垂直的直线，，直线与C交于A，B两点，直线与C交于D，E两点，则四边形ADBE的面积最小值为（    ）A．4 B． C． D．【答案】C【解析】椭圆的左焦点为．（1）当直线斜率为0时，直线的方程为，或当直线斜率为0时，直线的方程为，把代入椭圆方程得，四边形ADBE的面积为．（2）当直线有斜率且斜率不为0时，设直线的方程为，直线的方程为．联立方程组，消元得：，设，，则，，，用替换k可得，四边形ADBE的面积为，令，则，当即时，S取得最小值．综上，四边形ABDE的面积的最小值为．故选C．